Primera ley de Kepler

Cuando los primeros astrónomos comenzaron a realizar un modelo del Sistema Solar, fue conveniente suponer que los planetas orbitaban alrededor del Sol en trayectorias perfectamente circulares. Es una idea que se remonta a Platón y que siguió siendo común hasta el siglo XVII.

En el modelo heliocéntrico se supone que la Tierra gira alrededor del Sol en un círculo perfecto. Sin embargo, hay un problema con este modelo cuando observas atentamente el movimiento de los planetas. Aquí hay una secuencia de imágenes del Sol (tomadas desde la Tierra) en el transcurso de un año. Presta mucha atención al tamaño:

¿Observas que el tamaño del Sol está cambiando regularmente? Esto no es el resultado de que el Sol esté creciendo y encogiéndose. Se trata del cambio de la distancia entre la Tierra y el Sol.

Johannes Kepler (1571 – 1630) fue un astrónomo alemán que se dio cuenta de que las órbitas circulares no funcionan mientras investigaba el movimiento orbital de Marte con detalle. Kepler le escribió acerca de su descubrimiento a un amigo astrónomo (David Fabricius) el 11 de octubre de 1605:

Una elipse puede tener valores diferentes para su anchura y altura. Esto significa que el radio cambiará dependiendo del ángulo a través de toda la órbita. Una manera simple de pensar en una elipse es como la suma de dos círculos de tamaños diferentes que definen las coordenadas x y y respectivamente. En el siguiente ejemplo la coordenada x proviene del círculo más grande y la coordenada y proviene del círculo más pequeño. Convéncete a ti mismo de esto:

Es muy importante observar que un círculo es un conjunto de puntos que están a una distancia fija del centro. Sin embargo una elipse es un conjunto de puntos que se encuentran a una cierta distancia de dos puntos específicos (llamados focos). Estos son dos puntos en el eje mayor tales que la suma de las distancias entre cualquier punto sobre la elipse y ambos focos es constante.

A continuación hay una ilustración interactiva. Puedes hacer clic y arrastrar los focos para cambiar la forma. Observa que las líneas verde y azul siempre suman la misma distancia:

Lo que conduce a la primera ley de Kepler:

Para dibujar una órbita elíptica definimos el radio del eje x (a) y el radio del eje y (b). The major axis is the larger of the two, the minor axis, the smaller. Notice that if a=b, then the equations are the same as the ones we used for a perfect circle.

x = a x cos(θ)

y = b x sin(θ)

Ahora podemos definir una elipse con tres propiedades: su centro, su eje principal y su eje menor.

A continuación revisemos las ecuaciones de una elipse.