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Curso: Física - Preparación Educación Superior > Unidad 4
Lección 5: Ley de gravitación universalSegunda y tercera ley de Kepler
Descubriendo las órbitas planetarias y sus propiedades
Johannes Kepler fue más allá del descubrimiento de las órbitas elípticas, que describe en su primera ley (Recuerda la Primera ley de Kepler).
Velocidad de los planetas y sus órbitas
Kepler observó que los planetas no se mueven con una velocidad uniforme, sino que estos lo hacen con mayor rapidez mientras están más cerca al sol, y lo hacen con mayor lentitud, mientras más se alejan.
En ese momento, Kepler no sabía por qué los planetas y satélites se movían de la manera que había observado. Ahora podemos decir que esto ocurre gracias a que los cuerpos están bajo la influencia de un campo gravitacional.
Los cuerpos aceleran a medida que se acercan al campo y desaceleran a medida que se alejan de él, tal como un objeto desacelera cuando lo lanzas hacia arriba, pues está yendo en sentido contrario a la gravedad, y acelera al regresar a tu mano, cuando se mueve en la misma dirección de la gravedad.
Sin embargo, a pesar de no contar con este marco teórico, Kepler pudo establecer una relación, gracias a su aguda observación y a sus conocimientos matemáticos. Descubrió que el área que barre el cuerpo en cualquier sección de la órbita, será la misma en un intervalo de tiempo igual, es decir:
La línea recta que une a cualquier planeta con el Sol, barre áreas iguales de espacio en intervalos iguales de tiempo.
Esta relación se expresa gráficamente de la siguiente manera:
Esta ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, esto quiere decir que cuando el planeta está más alejado del Sol su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol.
En el afelio y en el perihelio, al estar los planetas alineados en línea recta con su estrella, son los dos únicos puntos de la órbita en los que el radio vector y la velocidad son perpendiculares. En estos puntos, el momento angular
Esta es la Segunda ley de Keplar.
Períodos y radios orbitales: la Tercera ley de Kepler
Kepler, como todo científico, buscaba modelos matemáticos que pudieran explicar y predecir el comportamiento de su objeto de estudio. Luego de diez años del planteamiento de la segunda ley, encontró que el período de un planeta y su órbita estaban relacionados de la siguiente manera:
Los cuadrados de los de los planetas son proporcionales a los cubos de su al Sol, es decir:
Esto quiere decir que para dos planetas (planeta 1 y planeta 2) orbitando una estrella, tenemos:
Esta misma ecuación puede expresarse de la siguiente manera:
Las leyes de Kepler se aplican no solo a los planetas, sino a todo satélite que orbite alrededor de cualquier cuerpo celeste.
Aplicaciones
Las leyes de Kepler nos ayudan a predecir el comportamiento de cuerpos celestes que orbitan otros cuerpos mayores.
Por ejemplo, la Luna orbita la Tierra con un periodo de 27.3 días, y su distancia promedio es de
¡La respuesta es sí!
Tenemos como datos:
Y nos están pidiendo
Según la tercera ley de Kepler, se cumple que:
Reemplazando:
El satélite tendrá un periodo de 1.93 horas a una altura de
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Un ingeniero de la NASA desea saber cual es la masa del sol, para esto la forma más fácil de hacerlo es usar la ecuación de la tercera ley de Kepler y tener en cuenta los datos ya conocidos, en tal caso se tienen los siguientes datos:
r=149 598 261 Km : Distancia entre la tierra y el sol
T=365,25 dias : Periodo orbital.
G=6.67408×〖10〗^(-11) m^3/(kg ∙s^2 ) : Constante de gravitación universal.
Demuestre que la masa del sol es aproximadamente: M≈1.9891×〖10〗^30 Kg realice los cálculos pertinentes mostrando cada paso y argumentando los mismos.(4 votos)