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Contenido principal

Segunda y tercera ley de Kepler

Descubriendo las órbitas planetarias y sus propiedades

Johannes Kepler fue más allá del descubrimiento de las órbitas elípticas, que describe en su primera ley (Recuerda la Primera ley de Kepler).

Velocidad de los planetas y sus órbitas

Kepler observó que los planetas no se mueven con una velocidad uniforme, sino que estos lo hacen con mayor rapidez mientras están más cerca al sol, y lo hacen con mayor lentitud, mientras más se alejan.
En ese momento, Kepler no sabía por qué los planetas y satélites se movían de la manera que había observado. Ahora podemos decir que esto ocurre gracias a que los cuerpos están bajo la influencia de un campo gravitacional.
Los cuerpos aceleran a medida que se acercan al campo y desaceleran a medida que se alejan de él, tal como un objeto desacelera cuando lo lanzas hacia arriba, pues está yendo en sentido contrario a la gravedad, y acelera al regresar a tu mano, cuando se mueve en la misma dirección de la gravedad.
Sin embargo, a pesar de no contar con este marco teórico, Kepler pudo establecer una relación, gracias a su aguda observación y a sus conocimientos matemáticos. Descubrió que el área que barre el cuerpo en cualquier sección de la órbita, será la misma en un intervalo de tiempo igual, es decir:
La línea recta que une a cualquier planeta con el Sol, barre áreas iguales de espacio en intervalos iguales de tiempo.
Esta relación se expresa gráficamente de la siguiente manera:
Representación gráfica de la segunda ley de Kepler
Se barren áreas iguales en intervalos iguales de tiempo. Créditos: CC BY-SA 2.0.
Esta ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, esto quiere decir que cuando el planeta está más alejado del Sol su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol.
Animación de la segunda ley de Kepler.
Animación de la segunda ley de Kepler. Nota las diferentes velocidades con respecto a la distancia del foco. Créditos: Gonfer (talk) - Gonfer, CC BY-SA 3.0.
En el afelio y en el perihelio, al estar los planetas alineados en línea recta con su estrella, son los dos únicos puntos de la órbita en los que el radio vector y la velocidad son perpendiculares. En estos puntos, el momento angular L es el producto de la masa del planeta, por su velocidad y por su distancia al centro del Sol:
L, equals, m, r, start subscript, 1, end subscript, times, v, start subscript, 1, end subscript, equals, m, r, start subscript, 2, end subscript, times, v, start subscript, 2, end subscript
Representación de la segunda ley de Kepler en perihelio y afelio.
Esta es la Segunda ley de Keplar.

Períodos y radios orbitales: la Tercera ley de Kepler

Kepler, como todo científico, buscaba modelos matemáticos que pudieran explicar y predecir el comportamiento de su objeto de estudio. Luego de diez años del planteamiento de la segunda ley, encontró que el período de un planeta y su órbita estaban relacionados de la siguiente manera:
Los cuadrados de los
de los planetas son proporcionales a los cubos de su
al Sol
, es decir:
start fraction, T, squared, divided by, R, cubed, end fraction, equals, K
Esto quiere decir que para dos planetas (planeta 1 y planeta 2) orbitando una estrella, tenemos:
start fraction, T, start subscript, 1, end subscript, squared, divided by, R, start subscript, 1, end subscript, cubed, end fraction, equals, start fraction, T, start subscript, 2, end subscript, squared, divided by, R, start subscript, 2, end subscript, cubed, end fraction
Esta misma ecuación puede expresarse de la siguiente manera:
start fraction, T, start subscript, 1, end subscript, squared, divided by, T, start subscript, 2, end subscript, squared, end fraction, equals, start fraction, R, start subscript, 1, end subscript, cubed, divided by, R, start subscript, 2, end subscript, cubed, end fraction
Las leyes de Kepler se aplican no solo a los planetas, sino a todo satélite que orbite alrededor de cualquier cuerpo celeste.

Aplicaciones

Las leyes de Kepler nos ayudan a predecir el comportamiento de cuerpos celestes que orbitan otros cuerpos mayores.
Por ejemplo, la Luna orbita la Tierra con un periodo de 27.3 días, y su distancia promedio es de 3, point, 84, times, 10, start superscript, 8, end superscript, start text, space, m, end text hasta el centro de la Tierra. Si el radio de la Tierra es 6380, start text, space, k, m, end text, ¿Podemos calcular el período de un satélite artificial que orbita a una altitud promedio de 1, comma, 500, start text, space, m, end text por encima de la superficie de nuestro planea?
¡La respuesta es sí!
Tenemos como datos:
R, start subscript, l, end subscript=3, point, 84, times, 10, start superscript, 8, end superscript, start text, space, m, end text, equals, 3, point, 84, times, 10, start superscript, 5, end superscript, start text, space, k, m, end text
T, start subscript, l, end subscript= 27, point, 3, start text, space, d, end text, equals, 655, point, 2, start text, space, h, end text
R, start subscript, s, end subscript= 1500, plus, 6380, equals, 880, start text, space, k, m, end text
Y nos están pidiendo T, start subscript, s, end subscript.
Según la tercera ley de Kepler, se cumple que:
start fraction, T, start subscript, l, end subscript, squared, divided by, T, start subscript, s, end subscript, squared, end fraction, equals, start fraction, R, start subscript, l, end subscript, cubed, divided by, R, start subscript, s, end subscript, cubed, end fraction
Reemplazando:
(655.2)2Ts2=(3.84×105)3(7880)3Ts2=(655.2)2(7880)3(3.84×105)3Ts=(655.2)(7880)3(3.84×105)3Ts=1.93 h \begin{aligned} \dfrac{(655.2)^2}{T_s^2}&= \dfrac{(3.84 \times 10^5)^3}{(7880)^3}\\\\ T_s^2&=(655.2)^2\dfrac{(7880)^3}{(3.84 \times 10^5)^3}\\\\ T_s&=(655.2)\sqrt{\dfrac{(7880)^3}{(3.84 \times 10^5)^3}}\\\\ T_s &= 1.93\text{ h}\end{aligned}
El satélite tendrá un periodo de 1.93 horas a una altura de 1500, start text, space, k, m, end text sobre la superficie terrestre. ¡Increíble!

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  • Avatar blobby green style para el usuario julian_rojas1083
    Un ingeniero de la NASA desea saber cual es la masa del sol, para esto la forma más fácil de hacerlo es usar la ecuación de la tercera ley de Kepler y tener en cuenta los datos ya conocidos, en tal caso se tienen los siguientes datos:
    r=149 598 261 Km : Distancia entre la tierra y el sol
    T=365,25 dias : Periodo orbital.
    G=6.67408×〖10〗^(-11) m^3/(kg ∙s^2 ) : Constante de gravitación universal.
    Demuestre que la masa del sol es aproximadamente: M≈1.9891×〖10〗^30 Kg realice los cálculos pertinentes mostrando cada paso y argumentando los mismos.
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