Segunda y tercera ley de Kepler

Johannes Kepler fue más allá del descubrimiento de las órbitas elípticas, que describe en su primera ley (Recuerda la Primera ley de Kepler).

Kepler observó que los planetas no se mueven con una velocidad uniforme, sino que estos lo hacen con mayor rapidez mientras están más cerca al sol, y lo hacen con mayor lentitud, mientras más se alejan.

En ese momento, Kepler no sabía por qué los planetas y satélites se movían de la manera que había observado. Ahora podemos decir que esto ocurre gracias a que los cuerpos están bajo la influencia de un campo gravitacional.

Los cuerpos aceleran a medida que se acercan al campo y desaceleran a medida que se alejan de él, tal como un objeto desacelera cuando lo lanzas hacia arriba, pues está yendo en sentido contrario a la gravedad, y acelera al regresar a tu mano, cuando se mueve en la misma dirección de la gravedad.

Sin embargo, a pesar de no contar con este marco teórico, Kepler pudo establecer una relación, gracias a su aguda observación y a sus conocimientos matemáticos. Descubrió que el área que barre el cuerpo en cualquier sección de la órbita, será la misma en un intervalo de tiempo igual, es decir:

Esta relación se expresa gráficamente de la siguiente manera:

Esta ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, esto quiere decir que cuando el planeta está más alejado del Sol su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol.

En el afelio y en el perihelio, al estar los planetas alineados en línea recta con su estrella, son los dos únicos puntos de la órbita en los que el radio vector y la velocidad son perpendiculares. En estos puntos, el momento angular $L$L es el producto de la masa del planeta, por su velocidad y por su distancia al centro del Sol:

Esta es la Segunda ley de Keplar.

Kepler, como todo científico, buscaba modelos matemáticos que pudieran explicar y predecir el comportamiento de su objeto de estudio. Luego de diez años del planteamiento de la segunda ley, encontró que el período de un planeta y su órbita estaban relacionados de la siguiente manera:

Los cuadrados de los

periodos orbitales

de los planetas son proporcionales a los cubos de su

distancia promedio

al Sol, es decir:

Esto quiere decir que para dos planetas (planeta 1 y planeta 2) orbitando una estrella, tenemos:

Esta misma ecuación puede expresarse de la siguiente manera:

Las leyes de Kepler se aplican no solo a los planetas, sino a todo satélite que orbite alrededor de cualquier cuerpo celeste.

Las leyes de Kepler nos ayudan a predecir el comportamiento de cuerpos celestes que orbitan otros cuerpos mayores.

Por ejemplo, la Luna orbita la Tierra con un periodo de 27.3 días, y su distancia promedio es de $3.84 \times 10^8\text { m}$3, point, 84, times, 10, start superscript, 8, end superscript, start text, space, m, end text hasta el centro de la Tierra. Si el radio de la Tierra es $6380\text{ km}$6380, start text, space, k, m, end text, ¿Podemos calcular el período de un satélite artificial que orbita a una altitud promedio de $1,500\text{ m}$1, comma, 500, start text, space, m, end text por encima de la superficie de nuestro planea?

Tenemos como datos:

$R_l$R, start subscript, l, end subscript=$3.84 \times 10^8\text { m}=3.84 \times 10^5\text { km}$3, point, 84, times, 10, start superscript, 8, end superscript, start text, space, m, end text, equals, 3, point, 84, times, 10, start superscript, 5, end superscript, start text, space, k, m, end text
$T_l$T, start subscript, l, end subscript= $27.3\text{ d}=655.2 \text{ h}$27, point, 3, start text, space, d, end text, equals, 655, point, 2, start text, space, h, end text
$R_s$R, start subscript, s, end subscript= $1500+6380=880\text{ km}$1500, plus, 6380, equals, 880, start text, space, k, m, end text

Y nos están pidiendo $T_s$T, start subscript, s, end subscript.

Según la tercera ley de Kepler, se cumple que:

Reemplazando:

El satélite tendrá un periodo de 1.93 horas a una altura de $1500\text{ km}$1500, start text, space, k, m, end text sobre la superficie terrestre. ¡Increíble!