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Segunda y tercera ley de Kepler

Descubriendo las órbitas planetarias y sus propiedades

Johannes Kepler fue más allá del descubrimiento de las órbitas elípticas, que describe en su primera ley (Recuerda la Primera ley de Kepler).

Velocidad de los planetas y sus órbitas

Kepler observó que los planetas no se mueven con una velocidad uniforme, sino que estos lo hacen con mayor rapidez mientras están más cerca al sol, y lo hacen con mayor lentitud, mientras más se alejan.
En ese momento, Kepler no sabía por qué los planetas y satélites se movían de la manera que había observado. Ahora podemos decir que esto ocurre gracias a que los cuerpos están bajo la influencia de un campo gravitacional.
Los cuerpos aceleran a medida que se acercan al campo y desaceleran a medida que se alejan de él, tal como un objeto desacelera cuando lo lanzas hacia arriba, pues está yendo en sentido contrario a la gravedad, y acelera al regresar a tu mano, cuando se mueve en la misma dirección de la gravedad.
Sin embargo, a pesar de no contar con este marco teórico, Kepler pudo establecer una relación, gracias a su aguda observación y a sus conocimientos matemáticos. Descubrió que el área que barre el cuerpo en cualquier sección de la órbita, será la misma en un intervalo de tiempo igual, es decir:
La línea recta que une a cualquier planeta con el Sol, barre áreas iguales de espacio en intervalos iguales de tiempo.
Esta relación se expresa gráficamente de la siguiente manera:
Se barren áreas iguales en intervalos iguales de tiempo. Créditos: CC BY-SA 2.0.
Esta ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, esto quiere decir que cuando el planeta está más alejado del Sol su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol.
Animación de la segunda ley de Kepler. Nota las diferentes velocidades con respecto a la distancia del foco. Créditos: Gonfer (talk) - Gonfer, CC BY-SA 3.0.
En el afelio y en el perihelio, al estar los planetas alineados en línea recta con su estrella, son los dos únicos puntos de la órbita en los que el radio vector y la velocidad son perpendiculares. En estos puntos, el momento angular L es el producto de la masa del planeta, por su velocidad y por su distancia al centro del Sol:
L=mr1×v1=mr2×v2
Esta es la Segunda ley de Keplar.

Períodos y radios orbitales: la Tercera ley de Kepler

Kepler, como todo científico, buscaba modelos matemáticos que pudieran explicar y predecir el comportamiento de su objeto de estudio. Luego de diez años del planteamiento de la segunda ley, encontró que el período de un planeta y su órbita estaban relacionados de la siguiente manera:
Los cuadrados de los
de los planetas son proporcionales a los cubos de su
al Sol
, es decir:
T2R3=K
Esto quiere decir que para dos planetas (planeta 1 y planeta 2) orbitando una estrella, tenemos:
T12R13=T22R23
Esta misma ecuación puede expresarse de la siguiente manera:
T12T22=R13R23
Las leyes de Kepler se aplican no solo a los planetas, sino a todo satélite que orbite alrededor de cualquier cuerpo celeste.

Aplicaciones

Las leyes de Kepler nos ayudan a predecir el comportamiento de cuerpos celestes que orbitan otros cuerpos mayores.
Por ejemplo, la Luna orbita la Tierra con un periodo de 27.3 días, y su distancia promedio es de 3.84×108 m hasta el centro de la Tierra. Si el radio de la Tierra es 6380 km, ¿Podemos calcular el período de un satélite artificial que orbita a una altitud promedio de 1,500 m por encima de la superficie de nuestro planea?
¡La respuesta es sí!
Tenemos como datos:
Rl=3.84×108 m=3.84×105 km
Tl= 27.3 d=655.2 h
Rs= 1500+6380=880 km
Y nos están pidiendo Ts.
Según la tercera ley de Kepler, se cumple que:
Tl2Ts2=Rl3Rs3
Reemplazando:
(655.2)2Ts2=(3.84×105)3(7880)3Ts2=(655.2)2(7880)3(3.84×105)3Ts=(655.2)(7880)3(3.84×105)3Ts=1.93 h
El satélite tendrá un periodo de 1.93 horas a una altura de 1500 km sobre la superficie terrestre. ¡Increíble!

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  • Avatar blobby green style para el usuario julian_rojas1083
    Un ingeniero de la NASA desea saber cual es la masa del sol, para esto la forma más fácil de hacerlo es usar la ecuación de la tercera ley de Kepler y tener en cuenta los datos ya conocidos, en tal caso se tienen los siguientes datos:
    r=149 598 261 Km : Distancia entre la tierra y el sol
    T=365,25 dias : Periodo orbital.
    G=6.67408×〖10〗^(-11) m^3/(kg ∙s^2 ) : Constante de gravitación universal.
    Demuestre que la masa del sol es aproximadamente: M≈1.9891×〖10〗^30 Kg realice los cálculos pertinentes mostrando cada paso y argumentando los mismos.
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