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Física - Preparación Educación Superior

Movimiento circular uniformemente variado: Repaso

Repasando lo aprendido

Ahora que ya conoces el Movimiento Circular Uniformemente Variado (MCUV) y sus variables, vamos a repasar sus principales fórmulas.
Antes que nada, recuerda:
omega: Es el símbolo que denota la velocidad angular.
theta: Símbolo de la posición angular.
alpha: Símbolo de aceleración angular.
start text, a, end text, start subscript, T, end subscript: Símbolo de aceleración tangencial.
start text, a, end text, start subscript, c, end subscript: Símbolo de aceleración centrípeta.
start text, a, end text: Símbolo que denota la aceleración resultante.
v: Símbolo de velocidad tangencial.
start text, R, end text: Símbolo de radio de la trayectoria.
t: Símbolo de tiempo.
T: Símbolo de período (tiempo que un móvil tarda en dar una vuelta completa).

Ecuaciones angulares

Cuando te refieres a los cambios de arco en el movimiento y estás utilizando los radianes como unidad de medida, debes utilizar las ecuaciones angulares.
Recuerda que un movimiento circular es considerado como uniformemente variado, cuando su aceleración angular es constante, es decir:
alpha, equals, start fraction, omega, minus, omega, start subscript, 0, end subscript, divided by, t, minus, t, start subscript, 0, end subscript, end fraction, equals start text, C, o, n, s, t, a, n, t, e, end text
De esta relación, despejamos la velocidad angular, de la siguiente manera:
omega, equals, omega, start subscript, 0, end subscript, plus, alpha, left parenthesis, t, minus, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
Si deseamos saber la posición de un móvil en un tiempo t dado, podemos utilizar:
theta, equals, theta, start subscript, 0, end subscript, plus, omega, left parenthesis, t, minus, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, alpha, left parenthesis, t, minus, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, squared
Estas dos fórmulas pueden simplificarse cuando el tiempo inicial es cero (t, start subscript, 0, end subscript, equals, 0), de tal manera que tenemos:
omega, equals, omega, start subscript, 0, end subscript, plus, alpha, t
y
theta, equals, theta, start subscript, 0, end subscript, plus, omega, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, alpha, t, squared
Si deseas saber la velocidad angular de un móvil que se mueve con MCUV, teniendo como datos su posición y su aceleración angular, puedes utilizar:
omega, squared, equals, omega, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, alpha, left parenthesis, theta, minus, theta, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
Igualmente, podemos relacionar el desplazamiento, o la variación de posición angular, como:
delta, theta, equals, left parenthesis, start fraction, omega, start subscript, f, end subscript, plus, omega, start subscript, i, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Ecuaciones tangenciales

Son aquellas propias del movimiento circular uniformemente variado y se refieren a lo que ocurre en un punto durante el movimiento circular. Cuando tienes datos de velocidad en start text, space, m, slash, s, end text, debes utilizar las ecuaciones tangenciales.

Relacionando variables tangenciales y angulares

La velocidad tangencial, es decir, la velocidad que experimenta un móvil en un determinado punto de la circunferencia, puede expresarse en relación a la velocidad angular, de la siguiente manera:
v, start subscript, t, end subscript, equals, omega, R

Aceleraciones

En un movimiento circular se presenta una aceleración en dirección tangencial a la circunferencia conocida como aceleración tangencial y otra aceleración en dirección radial y dirigida hacia el centro de la trayectoria, llamada aceleración centrípeta.
Como la velocidad es una magnitud vectorial, la aceleración tangencial se produce por un cambio en el módulo de la velocidad tangencial, mientras que la aceleración centrípeta se produce por el cambio en la dirección y sentido del vector velocidad.
Por tanto, un móvil con MCUV posee, además de aceleración centrípeta, una aceleración tangencial. Se produce entonces una aceleración resultante, que como su nombre lo indica, es la resultante de ambas aceleraciones.
Gráficamente, tenemos:
Gráfico mostrando las aceleraciones.
De esto, podemos concluir que:
a, equals, square root of, a, start subscript, c, end subscript, squared, plus, a, start subscript, T, end subscript, squared, end square root
La aceleración centrípeta es función de la velocidad tangencial, así como de la velocidad angular, por lo que puede hallarse de dos maneras, según los datos que tengas:
a, start subscript, c, end subscript, equals, start fraction, v, squared, divided by, R, end fraction
o
a, start subscript, c, end subscript, equals, omega, squared, R
Mientras que la aceleración tangencial va a depender de la aceleración angular de la siguiente manera:
a, start subscript, T, end subscript, equals, alpha, R

Veamos algunos ejemplos

Una lavadora empieza a centrifugar la carga de ropa desde el reposo, con una aceleración angular de 2, start text, space, r, a, d, slash, s, end text, squared. Luego de un segundo, la aceleración resultante adquiere la magnitud de 100, start text, space, c, m, slash, s, end text, squared. ¿Cuál es el radio del tambor de la lavadora?
Nos están pidiendo el radio (R) y nos dan los siguientes datos:
alpha: 2, start text, space, r, a, d, slash, s, end text, squared
t: 1, start text, space, s, end text
start text, a, end text: 100, start text, space, c, m, slash, s, end text, squared
Con esto, hallamos la velocidad angular
ω=αtω=(2)(1)ω=2 rad/s\begin{aligned}\omega &= \alpha t\\\\ \omega &= (2)(1) \\\\ \omega &= 2 \text{ rad/s}\end{aligned}
Con este dato, podemos encontrar las aceleraciones centrípeta y tangencial en función del radio R, de la siguiente manera:
ac=ω2Rac=(22)(R)ac=4R\begin{aligned}a_c&=\omega^2R\\\\ a_c&=(2^2)(R)\\\\ a_c&= 4R\end{aligned}
Ahora, encontremos la aceleración tangencial:
aT=αRaT=(2)(R)aT=2R\begin{aligned}a_T &=\alpha R\\\\ a_T&=(2)(R)\\\\ a_T&=2R\end{aligned}
Como conocemos por dato la aceleración resultante, podemos hallar R, a partir de:
a=ac2+aT2100=(4R)2+(2R)2100=16R2+4R2100=20R2R=105 cm \begin{aligned}a &= \sqrt{a_c^2 + a_T^2}\\\\ 100&=\sqrt{(4R)^2 + (2R)^2}\\\\ 100&=\sqrt{16R^2 + 4R^2}\\\\ 100&=\sqrt{20R^2}\\\\ R&= 10\sqrt5\text { cm}\end{aligned}
Es decir, el radio del tambor de la lavadora mide 10, square root of, 5, end square root, start text, space, c, m, end text.

Aceleración y posición angular

Un motor con MCUV, aumenta su velocidad angular de 40, start text, space, r, a, d, slash, s, end text a 200, start text, space, r, a, d, slash, s, end text en 2 segundos. ¿Cuál es su aceleración angular y cuál ha sido la magnitud de su desplazamiento hasta entonces?
Antes que nada, coloquemos los datos:
omega, start subscript, 0, end subscript : 50, start text, space, r, a, d, slash, s, end text
omega : 200, start text, space, r, a, d, slash, s, end text
t : 2, start text, space, s, end text
Primero, calculamos la aceleración angular:
α=ω0ωtα=200402α=1602α=80 rad/s2\begin{aligned}\alpha&=\dfrac{\omega_0 - \omega}{t}\\\\ \alpha&=\dfrac{200 - 40}{2}\\\\ \alpha&=\dfrac{160}{2}\\\\ \alpha&= 80 \text{ rad/s}^2\end{aligned}
Seguidamente, conociendo la aceleración, podemos hallar la magnitud de su desplazamiento angular:
θ=ω0t+12αt2θ=(40)(2)+12(80)(4)θ=80+160θ=240 rad\begin{aligned}\theta&= \omega_0 t + \dfrac{1}{2}\alpha t^2\\\\ \theta&= (40)(2) + \dfrac{1}{2} (80)(4)\\\\ \theta&= 80 + 160\\\\ \theta&= 240\text{ rad}\end{aligned}

Relacionamos velocidad tangencial y aceleración angular

Un cuerpo se mueve con MCUV en una pista de 2 metros de radio, y experimenta un incremento en su velocidad, de 0, start text, space, m, slash, s, end text a 4, start text, space, m, slash, s, end text en un tiempo de 6 segundos. ¿Cuál es su aceleración angular?
Antes que nada, debes haber notado que las unidades de la velocidad están en start text, space, m, slash, s, end text, por lo que nos estamos refiriendo a la velocidad tangencial.
Colocamos nuestros datos:
R: 2, start text, space, m, end text
v, start subscript, i, end subscript: 0, start text, space, m, slash, s, end text
v, start subscript, f, end subscript: 4, start text, space, m, slash, s, end text
Sabemos que la velocidad tangencial y la velocidad angular están relacionadas mediante la siguiente relación:
v, start subscript, t, end subscript, equals, omega, R
Podemos entonces, hallar las velocidades angulares:
Velocidad angular inicial:
omega, start subscript, i, end subscript, equals, start fraction, 0, divided by, 2, end fraction, equals, 0
Velocidad angular final:
omega, start subscript, f, end subscript, equals, start fraction, 4, divided by, 2, end fraction, equals, 2
Como ya conocemos las velocidades angulares, podemos calcular la aceleración angular:
alpha, equals, start fraction, omega, start subscript, f, end subscript, minus, omega, start subscript, i, end subscript, divided by, t, start subscript, f, end subscript, minus, t, start subscript, i, end subscript, end fraction
Reemplazando:
α=2 rad/s0 rad/s6s0sα=2 rad/s6 sα=13 rad/s2\begin{aligned}\alpha&= \dfrac {2\text{ rad/s}- 0\text{ rad/s}}{6\text{s}-0\text{s}}\\\\ \alpha&= \dfrac {2\text{ rad/s}}{6\text{ s}}\\\\ \alpha&= \dfrac{1}{3}\text { rad/s}^2\end{aligned}

Por último, un ejemplo con datos de revoluciones en un tiempo determinado

Las paletas de un ventilador giran a 160, start text, space, r, p, s, end text. Cuando el ventilador se desconecta, las paletas se detienen completamente a los 20 segundos. ¿Cuántas revoluciones realizaron hasta el momento de detenerse?
En primer lugar debes colocar tus datos.
omega, start subscript, i, end subscript: 160, start text, space, r, p, s, end text
t: 20, start text, space, s, end text
Te piden el número de revoluciones hasta tener una omega, start subscript, f, end subscript, equals, 0; es decir, te piden el desplazamiento, y con los datos que tenemos, podemos usar:
Δθ=(ωf+ωi2)tΔθ=(0+1602)(20)Δθ=1600 revoluciones\begin{aligned}\Delta\theta&=(\dfrac{\omega_f+\omega_i}{2})t\\\\ \Delta\theta&=(\dfrac{0 +160}{2})(20)\\\\ \Delta\theta&=1600\text{ revoluciones}\end{aligned}