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Física - Preparación Educación Superior

Curso: Física - Preparación Educación Superior > Unidad 3

Lección 5: Movimiento circular

Movimiento circular uniformemente variado: Repaso

Repasando lo aprendido

Ahora que ya conoces el Movimiento Circular Uniformemente Variado (MCUV) y sus variables, vamos a repasar sus principales fórmulas.

Antes que nada, recuerda:

ω

: Es el símbolo que denota la velocidad angular.

θ

: Símbolo de la posición angular.

α

: Símbolo de aceleración angular.

a_{T}

: Símbolo de aceleración tangencial.

a_{c}

: Símbolo de aceleración centrípeta.

a

: Símbolo que denota la aceleración resultante.

v

: Símbolo de velocidad tangencial.

R

: Símbolo de radio de la trayectoria.

t

: Símbolo de tiempo.

T

: Símbolo de período (tiempo que un móvil tarda en dar una vuelta completa).

Ecuaciones angulares

Cuando te refieres a los cambios de arco en el movimiento y estás utilizando los radianes como unidad de medida, debes utilizar las ecuaciones angulares.

Recuerda que un movimiento circular es considerado como uniformemente variado, cuando su aceleración angular es constante, es decir:

α = \frac{ω - ω_{0}}{t - t_{0}} =

Constante

De esta relación, despejamos la velocidad angular, de la siguiente manera:

ω = ω_{0} + α (t - t_{0})

Si deseamos saber la posición de un móvil en un tiempo

t

dado, podemos utilizar:

θ = θ_{0} + ω (t - t_{0}) + \frac{1}{2} α (t - t_{0})^{2}

Estas dos fórmulas pueden simplificarse cuando el tiempo inicial es cero (

t_{0} = 0

), de tal manera que tenemos:

ω = ω_{0} + α t

θ = θ_{0} + ω t + \frac{1}{2} α t^{2}

Si deseas saber la velocidad angular de un móvil que se mueve con MCUV, teniendo como datos su posición y su aceleración angular, puedes utilizar:

ω^{2} = ω_{0}^{2} + 2 α (θ - θ_{0})

Igualmente, podemos relacionar el desplazamiento, o la variación de posición angular, como:

Δ θ = (\frac{ω_{f} + ω_{i}}{2}) t

Ecuaciones tangenciales

Son aquellas propias del movimiento circular uniformemente variado y se refieren a lo que ocurre en un punto durante el movimiento circular. Cuando tienes datos de velocidad en

m/s

, debes utilizar las ecuaciones tangenciales.

Relacionando variables tangenciales y angulares

La velocidad tangencial, es decir, la velocidad que experimenta un móvil en un determinado punto de la circunferencia, puede expresarse en relación a la velocidad angular, de la siguiente manera:

v_{t} = ω R

Aceleraciones

En un movimiento circular se presenta una aceleración en dirección tangencial a la circunferencia conocida como aceleración tangencial y otra aceleración en dirección radial y dirigida hacia el centro de la trayectoria, llamada aceleración centrípeta.

Como la velocidad es una magnitud vectorial, la aceleración tangencial se produce por un cambio en el módulo de la velocidad tangencial, mientras que la aceleración centrípeta se produce por el cambio en la dirección y sentido del vector velocidad.

Por tanto, un móvil con MCUV posee, además de aceleración centrípeta, una aceleración tangencial. Se produce entonces una aceleración resultante, que como su nombre lo indica, es la resultante de ambas aceleraciones.

Gráficamente, tenemos:

De esto, podemos concluir que:

a = \sqrt{a_{c}^{2} + a_{T}^{2}}

La aceleración centrípeta es función de la velocidad tangencial, así como de la velocidad angular, por lo que puede hallarse de dos maneras, según los datos que tengas:

a_{c} = \frac{v^{2}}{R}

a_{c} = ω^{2} R

Mientras que la aceleración tangencial va a depender de la aceleración angular de la siguiente manera:

a_{T} = α R

Veamos algunos ejemplos

Una lavadora empieza a centrifugar la carga de ropa desde el reposo, con una aceleración angular de

2 {rad/s}^{2}

. Luego de un segundo, la aceleración resultante adquiere la magnitud de

100 {cm/s}^{2}

. ¿Cuál es el radio del tambor de la lavadora?

Nos están pidiendo el radio (R) y nos dan los siguientes datos:

α

2 {rad/s}^{2}

t

1 s

a

100 {cm/s}^{2}

Con esto, hallamos la velocidad angular

\begin{aligned} ω & = α t \\ ω & = (2) (1) \\ ω & = 2 rad/s \end{aligned}

Con este dato, podemos encontrar las aceleraciones centrípeta y tangencial en función del radio

R

, de la siguiente manera:

\begin{aligned} a_{c} & = ω^{2} R \\ a_{c} & = (2^{2}) (R) \\ a_{c} & = 4 R \end{aligned}

Ahora, encontremos la aceleración tangencial:

\begin{aligned} a_{T} & = α R \\ a_{T} & = (2) (R) \\ a_{T} & = 2 R \end{aligned}

Como conocemos por dato la aceleración resultante, podemos hallar

R

, a partir de:

\begin{aligned} a & = \sqrt{a_{c}^{2} + a_{T}^{2}} \\ 100 & = \sqrt{(4 R)^{2} + (2 R)^{2}} \\ 100 & = \sqrt{16 R^{2} + 4 R^{2}} \\ 100 & = \sqrt{20 R^{2}} \\ R & = 10 \sqrt{5} cm \end{aligned}

Es decir, el radio del tambor de la lavadora mide

10 \sqrt{5} cm

Aceleración y posición angular

Un motor con MCUV, aumenta su velocidad angular de

40 rad/s

200 rad/s

2

segundos. ¿Cuál es su aceleración angular y cuál ha sido la magnitud de su desplazamiento hasta entonces?

Antes que nada, coloquemos los datos:

ω_{0}

50 rad/s

ω

200 rad/s

t

2 s

Primero, calculamos la aceleración angular:

\begin{aligned} α & = \frac{ω_{0} - ω}{t} \\ α & = \frac{200 - 40}{2} \\ α & = \frac{160}{2} \\ α & = 80 {rad/s}^{2} \end{aligned}

Seguidamente, conociendo la aceleración, podemos hallar la magnitud de su desplazamiento angular:

\begin{aligned} θ & = ω_{0} t + \frac{1}{2} α t^{2} \\ θ & = (40) (2) + \frac{1}{2} (80) (4) \\ θ & = 80 + 160 \\ θ & = 240 rad \end{aligned}

Relacionamos velocidad tangencial y aceleración angular

Un cuerpo se mueve con MCUV en una pista de

2

metros de radio, y experimenta un incremento en su velocidad, de

0 m/s

4 m/s

en un tiempo de

6

segundos. ¿Cuál es su aceleración angular?

Antes que nada, debes haber notado que las unidades de la velocidad están en

m/s

, por lo que nos estamos refiriendo a la velocidad tangencial.

Colocamos nuestros datos:

R

2 m

v_{i}

0 m/s

v_{f}

4 m/s

Sabemos que la velocidad tangencial y la velocidad angular están relacionadas mediante la siguiente relación:

v_{t} = ω R

Podemos entonces, hallar las velocidades angulares:

Velocidad angular inicial:

ω_{i} = \frac{0}{2} = 0

Velocidad angular final:

ω_{f} = \frac{4}{2} = 2

Como ya conocemos las velocidades angulares, podemos calcular la aceleración angular:

α = \frac{ω_{f} - ω_{i}}{t_{f} - t_{i}}

Reemplazando:

\begin{aligned} α & = \frac{2 rad/s - 0 rad/s}{6 s - 0 s} \\ α & = \frac{2 rad/s}{6 s} \\ α & = \frac{1}{3} {rad/s}^{2} \end{aligned}

Por último, un ejemplo con datos de revoluciones en un tiempo determinado

Las paletas de un ventilador giran a

160 rps

. Cuando el ventilador se desconecta, las paletas se detienen completamente a los

20

segundos. ¿Cuántas revoluciones realizaron hasta el momento de detenerse?

En primer lugar debes colocar tus datos.

ω_{i}

160 rps

t

20 s

Te piden el número de revoluciones hasta tener una

ω_{f} = 0

; es decir, te piden el desplazamiento, y con los datos que tenemos, podemos usar:

\begin{aligned} Δ θ & = (\frac{ω_{f} + ω_{i}}{2}) t \\ Δ θ & = (\frac{0 + 160}{2}) (20) \\ Δ θ & = 1600 revoluciones \end{aligned}

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