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Contenido principal

Física - Preparación Educación Superior

Distancia o longitud de arco a partir del desplazamiento angular

Relacionar el desplazamiento angular con la distancia recorrida (o longitud de arco) para una pelota que viaja en un círculo. Derivación de la fórmula para la longitud de arco.

Transcripción del video

lo que vamos a hacer en este vídeo será relacionar el desplazamiento angular y la longitud de arco o la distancia recorrida imaginemos que aquí tenemos una pelota de tenis que está atada mediante una cuerda a un clavo si queremos mover esta pelota lo que hará será rotar alrededor del clavo y se moverá en esta trayectoria circular azul digamos que la longitud del radio de este círculo azul es de 6 metros que es la longitud de la cuerda si comenzamos aquí nuestro ángulo inicial que por convención medimos a partir de la parte positiva del eje x va a ser igual a pi entre 2 y digamos que vamos a rotar los dos y radiales positivos rotamos la pelota en sentido antihorario 2 irradian es y la pelota llegará al mismo lugar que estaba al principio de tal final va a ser igual a 2 pi más estudia acá lo que nos da 5 pi entre 2 también mencionamos que rotamos la pelota en dirección positiva que es en sentido antihorario y dijimos que rotamos 2p y radiales así que tenemos la respuesta de cuál fue él aplazamiento angular de la teta va a ser igual a 2 y radiant es la segunda pregunta que vamos a hacer es cuál es la distancia recorrida por la pelota recuerden que al hablar de distancia nos interesa la trayectoria recorrida y la distancia recorrida es la circunferencia de este círculo pausa en el vídeo y reflexionen sobre lo que significa este recorrido también traten de pensar en cuál será el desplazamiento de esta pelota supongo que ya reflexionaron sobre esto y la respuesta más sencilla es darnos cuenta de que la pelota inició y terminó en el mismo lugar por lo que el desplazamiento de esta pelota es cero al menos si pensamos en el desplazamiento tradicional si nos referimos al desplazamiento angular es 2 y radiant es y cuál es la distancia denotamos la distancia con la letra s mayúscula que también podemos ver como la longitud de arco en este caso el arco es todo el círculo a que será igual sabemos por las clases de geometría que hemos visto que esto es la circunferencia del círculo 2 y por el radio es igual a 2 x 6 metros lo que nos da 12 pi metros que es la distancia recorrida aquí lo interesante al menos en este caso particular es que para encontrar la distancia recorrida o la longitud de arco tomamos nuestro desplazamiento angular o mejor dicho la magnitud del desplazamiento angular podemos verlo como el valor absoluto de esto y lo multiplicamos por el radio de nuestro círculo r es la longitud de nuestra cuerda por lo que multiplicamos esto por r esta es nuestra longitud de arco en este caso tenemos la magnitud del cambio en el desplazamiento multiplicado por el radio veamos si esto se cumple siempre en este caso tengo una pelota atada con una cuerda de tres metros de longitud su ángulo inicial es pi radiales como podemos ver aquí y ahora digamos que la pelota va a rotar en sentido horario nuestra teta final espí entre dos radiales pausa en el vídeo y traten de calcular el desplazamiento angular en esta situación el desplazamiento angular es igual a theta final espí entre 2 - theta inicial que speed esto es igual a menos pi entre 2 tiene sentido esto sí porque la rotación no fue en sentido horario y mencionamos que la rotación en sentido horario siempre será negativa así que coincide con lo que tenemos aquí una rotación en sentido horario de pi entre 2 ahora con base en la información que acabamos de calcular vean si pueden encontrar la longitud de arco recorrida por esta pelota atada con una cuerda de 3 metros de longitud que será igual esta distancia hay un par de formas de pensar en esto pueden decir que esto es una cuarta parte de la circunferencia así que pueden decir que ese es igual a un cuarto por dos y por el radio que es 3 con esto obtendremos la respuesta correcta 2 por un cuarto es un medio por pi por 3 nos da tres pi entre dos metros pero ahora veamos si esto es consistente con la fórmula que definimos acá esto es lo mismo que tomar el valor absoluto del desplazamiento angular lo escribimos y multiplicarlo por el radio que es de 3 metros en efecto estas dos cosas son iguales esto es pi entre dos positivos por tres que es igual a tres pies entre dos parece que esta fórmula está funcionando bastante bien tiene sentido porque si tenemos la circunferencia tradicional que es 2 pipo radio y pensamos en cuál es la proporción del círculo que representa esta longitud de arco la proporción es la magnitud del desplazamiento angular es la proporción de la circunferencia que se recurrió al rotar la pelota si esto es 2 pi entonces será toda la circunferencia si es pi será la mitad de la circunferencia pero noten que estas dos cosas se cancelan por lo que nos queda la fórmula que encontramos para calcular la longitud de arco hagamos otro ejemplo digamos que la cuerda que sujeta la pelota tiene una longitud de 5 metros el ángulo inicial spears entre 6 radiales y el ángulo final está justo aquí y es igual a pie entre 3 base en todo lo que hemos comentado cuál es la distancia recorrida por la pelota cuál es la longitud de arco primero tenemos que encontrar el desplazamiento angular este va a ser igual a theta final que spears entre 3 - theta inicial que spears entre 6 que es igual a pie entre 6 para llegar a este punto rotamos la pelota en sentido antihorario con un ángulo de pi entre 6 radiales con esto vamos a calcular la longitud de arco multiplicando esto por el radio la longitud de arco es igual a pie entre 6 por el radio que es 5 metros lo que nos da 5 pi entre 6 metros así encontramos la longitud de arco aquí no hay nada mágico esto viene directamente de la idea de la circunferencia de un círculo nos vemos en otro vídeo