Movimiento circular uniformemente variado - Parte 1

En este video vamos a aprender sobre el  movimiento circular uniformemente variado o MCV;   también se le conoce como movimiento circular  uniformemente acelerado o MCUA. Como recordatorio,   en otros videos hemos visto que podemos expresar  la velocidad como el cambio de la posición con   respecto del tiempo y la aceleración como  el cambio de la velocidad con respecto del   tiempo. Esto aplica en términos generales  para el movimiento rectilíneo así como el   angular. Un movimiento circular uniforme, MCU,  es aquel que describe una trayectoria circular,   una circunferencia, con rapidez constante y  velocidad variable. Recuerda que la rapidez es   una cantidad escalar y la velocidad es un vector,  de modo que no cambia su magnitud, pero sí su   dirección; esto quiere decir que siempre tarda  el mismo tiempo en dar cada vuelta, es decir,   tiene un movimiento periódico. Algunos ejemplos  de MCU son las ruedas de un carro que se mueve con   rapidez constante, las aspas de un ventilador  en marcha, un satélite en órbita alrededor de   la Tierra. Para describir el movimiento en un MCU  solemos medir el ángulo que recorre y lo llamamos   desplazamiento angular, se mide en radianes y se  representa con la letra fi (φ). Recuerda que un   ángulo de 360° = 2π radianes. De manera análoga  al movimiento rectilíneo, la razón de cambio   del desplazamiento angular en el tiempo se llama  velocidad angular, se mide en radianes por segundo   y se representa con la letra omega (ω). La rapidez  angular es la magnitud de omega, la aceleración   angular es la razón de cambio de la velocidad  angular en el tiempo, se mide en radianes por   segundo al cuadrado y se representa con la letra  alfa (α). Una consecuencia de que en un MCU la   rapidez sea constante es que describe ángulos  iguales en tiempos iguales y, por lo tanto,   no tiene aceleración tangencial angular, pero sí  en dirección del centro de movimiento normal. Esta   aceleración se debe al cambio de la dirección de  la velocidad y se le llama aceleración centrípeta.   Cuando un cuerpo se mueve y describe una  trayectoria circular, una circunferencia,   y tiene una aceleración angular constante, tiene  un movimiento circular uniformemente variado. Hay   varios ejemplos sencillos de la vida cotidiana:  el movimiento de las aspas de un ventilador al   encenderlo o apagarlo, la rueda de una bicicleta  cuando empieza a andar o se está deteniendo,   una pelota atada a una cuerda que hacemos  girar, una pokebola. La diferencia fundamental   entre un MCU y un MCV es que en el primero la  velocidad angular es constante y en el segundo   no. No tener velocidad constante implica que  hay una aceleración. Para el caso del MCV,   la aceleración es constante; podemos pensar que de  ahí proviene el nombre de uniformemente variado,   de que la velocidad varía. Como en el caso del  MCU, el MCV también tiene aceleración centrípeta,   pero aquí pasan más cosas debido al cambio de la  velocidad: al cambiar la magnitud de la velocidad   hay una aceleración tangencial y al variar la  velocidad angular se genera una aceleración   angular. Vamos a analizar con más detalle el  movimiento del cuerpo que va girando en un   instante dado. Recuerda que la aceleración angular  es constante, de modo que alfa es igual a una   constante. Supón que el movimiento que estudiamos  inicia en el punto P₀, el cual forma un ángulo   φ₀ con respecto a la horizontal, un instante de  tiempo después está en el punto P, el cual forma   un ángulo φ con respecto a la horizontal, como la  aceleración angular es constante esto tiene que   ser igual al cambio de la velocidad angular entre  el cambio en el tiempo. El cambio en la velocidad   es la velocidad final menos la velocidad inicial;  el cambio en el tiempo es el tiempo final menos el   tiempo inicial. Podemos escoger que nuestro tiempo  inicial de t₀ sea 0, y esta fórmula se reduce a:   como escogemos que el tiempo inicial sea 0 esto  queda como la diferencia de la velocidad angular   ω - ω₀ / t, multiplicamos ambos lados de la  ecuación por t, y nos queda que αt = ω - ω₀,   y podemos despejar ω, esto es: la velocidad  angular es igual a una velocidad angular inicial   más algo que le vamos sumando o restando, y es un  factor que depende de la aceleración. Observa que   la ecuación de ω tiene la forma y = mx + b, la de  una recta, y esto implica que el valor promedio   de la velocidad angular se alcanza a la mitad del  camino del intervalo entre el tiempo inicial y el   tiempo final. De manera más formal, hay un teorema  que dice que un cuerpo en movimiento uniformemente   acelerado recorre, en un determinado intervalo  de tiempo, el mismo espacio que sería recorrido   por un cuerpo que se desplace con velocidad  constante e igual a la velocidad media del   primero. Consideremos que la velocidad aumenta  de manera uniforme en dos instantes de tiempo,   esto es lo mismo que considerar una velocidad  media constante entre esos dos instantes. Esto   es porque el área por debajo de la velocidad que  representa la distancia recorrida es la misma   en los dos casos. Ahora, la velocidad angular  es igual al cambio del desplazamiento angular   entre el cambio en el tiempo; ω es igual  al cambio de φ entre el cambio en t, o bien   φ - φ₀ / t - t₀. Volvemos a escoger el tiempo  inicial como 0 y tenemos que ω = φ - φ₀ / t,   de modo que al despejar φ tenemos que ωt = φ - φ₀;  y con la relación de la velocidad media de arriba,   podemos escribir que omega promedio u omega  barra (ϖ) por t es igual a φ - φ₀, y usando   el valor de ϖ que encontramos anteriormente, ½ω  + ω₀t = φ - φ₀; sustituyendo el valor de ω que   encontramos anteriormente, ω = ω₀ + αt, esto se  puede reescribir como ½(ω₀ + αt + ω₀), todo por t   es igual a φ - φ₀. Podemos agrupar dos veces ω₀,  y al expandir el paréntesis de la multiplicación   nos queda: ω₀t + ½αt² = φ - φ₀, que a su vez  podemos reescribir como φ = φ₀ + ω₀t + ½αt²; y   si comparamos este resultado con lo que conocemos  para el movimiento rectilíneo uniformemente   variado, vemos que se parecen mucho. Las  ecuaciones de posición en velocidad y aceleración   se ven iguales a las de posición angular,  velocidad angular y aceleración angular, pero   en vez de x tenemos φ, en vez de v, ω, y en vez  de a, α. Ahora, dijimos que en el MCV el cambio de   la magnitud de la velocidad provoca que haya una  aceleración tangencial, y al variar la velocidad   angular se genera una aceleración angular,  además de que hay una aceleración centrípeta   como en el MCU. En realidad si hacemos un diagrama  de fuerzas, podemos ver que la aceleración angular   es el resultado de las otras dos aceleraciones,  de modo que la dirección del vector de aceleración   está dada por la suma vectorial de la aceleración  centrípeta y de la aceleración tangencial,   mientras que su magnitud será la suma de las  componentes que se obtiene usando el Teorema   de Pitágoras. Así que en este video vimos que  las ecuaciones del movimiento uniformemente   acelerado se ven igual para los casos rectilíneo y  circular, lo único que cambia es que, en un caso,   a las variables las llamamos posición, velocidad y  aceleración, y, en el otro, son posición angular,   velocidad angular y aceleración angular. Con esto  terminamos este video, nos vemos en el siguiente.