El lanzamiento y el aterrizaje para diferentes alturas

ahora resolveremos un problema de movimiento de proyectiles en dos dimensiones un poquito más complicado en este caso voy a lanzar mi proyectil desde una plataforma más o menos así este proyectil va a aterrizar en esta plataforma que tiene una elevación diferente de la plataforma en donde fue lanzado el proyectil voy a lanzar el proyectil desde un cañón que está aquí y este cañón tiene un ángulo de 53 grados y este proyectil va a salir del cañón va a salir disparado así iba a salir disparado de la boca del cañón con una velocidad de 90 metros por segundo y para conocer a qué altura fue lanzado nuestro proyectil o va a ser lanzado para darnos una idea más precisa vamos a decir que desde la boca del cañón hasta el suelo tenemos una altura de 25 metros la elevación que tenemos aquí en esta otra plataforma es de 9 metros así que estamos lanzando este proyectil desde una altura de 25 metros yo sé que en el vídeo anterior vamos a verlo brevemente aquí supusimos que el lanzamiento se realizaba a nivel del suelo es decir no tenía ninguna elevación y el proyectil caía de vuelta al suelo sin ninguna elevación también en cambio aquí no estamos lanzando con una altura de 25 metros o desde una altura de 25 metros y comenzará a desacelerarse al menos al menos en el componente vertical tan pronto deje la boca del cañón y aquí también suponemos que no va a caer en la misma altura va a caer a una altura diferente como vamos a analizar este problema lo primero que queremos hacer siempre que trabajemos con este tipo de problemas es descomponer nuestro vector velocidad en sus componentes horizontal y vertical usaremos nuestro componente vertical para determinar cuánto tiempo esté al proyectil en el aire y después usaremos eso junto con ese componente horizontal para calcular qué tan lejos llegó y nuevamente aquí vamos a suponer que no tenemos ninguna resistencia al aire y con base lo que vimos en el vídeo anterior aunque aquí también voy a verlo paso por paso lo que hicimos es primero dibujar nuestro vector velocidad su longitud es de 90 y el ángulo que va a indicar la dirección de nuestro vector velocidad el ángulo que forma este vector con respecto a la horizontal es de 53 grados y ahora dibujemos el componente horizontal que va a quedar más o menos así y el componente vertical que estará así y cuál va a ser la longitud de este componente vertical bueno vemos que este es el lado que está opuesto al ángulo y sabemos de nuestra trigonometría básica que el seno relaciona el lado opuesto y la hipotenusa así que sabemos que el seno de 53 grados es igual a este lado que es la magnitud de nuestra velocidad vertical o el componente vertical de este vector y la longitud de nuestra hipotenusa es de 90 si multiplicamos ambos lados de esta ecuación por 90 nos va a quedar que este componente vertical o belle porque se encuentra en el eje de leyes va a ser igual a 90 por el seno de 53 grados ahora si queremos conocer este componente horizontal bueno vemos que este lado está adyacente al ángulo así que usaremos el cose no recordemos nuestro neumónico soca tohá que significa coseno del ángulo es igual al cateto adyacente entre la hipotenusa así que el componente horizontal o en la dirección x de nuestra velocidad que es este cateto adyacente entre la hipotenusa va a ser igual al coseno de 53 grados el coche no es el adyacente entre la hipotenusa este componente horizontal es el adyacente y esta es la hipotenusa multiplicamos ambos lados por 90 y nos queda que nuestro componente horizontal x va a ser igual a 90 por coseno de 53 grados bueno ahora como vamos a encontrar que tanto tiempo permanece este objeto en el aire bueno para eso usaremos nuestro componente vertical que es esto que acabamos de calcular y ya que aquí estamos trabajando con diferentes elevaciones no podemos usar nuestra fórmula simplificada como en el vídeo anterior en el que decíamos que con la misma velocidad de lanzamiento de despegue iba a ser la misma velocidad de aterrizaje solo que en dirección opuesta es decir la misma magnitud de la velocidad pero en dirección opuesta aquí no podemos aplicar esto porque tenemos diferentes elevaciones pero lo que sí podemos hacer es usar la fórmula que encontramos en el vídeo anterior esta fórmula de acá en el que el desplazamiento es igual a nuestra velocidad inicial por el cambio en el tiempo más la aceleración por el cambio en el tiempo al cuadrado entre 2 voy a copiar esto y pegarlo para tenerlo más a la mano aquí está aquí lo vamos a dejar y bueno ya habíamos explicado qué es esto el desplazamiento es igual a la velocidad inicial por el cambio en el tiempo o el tiempo que transcurre en el aire más la aceleración que en este caso es nuestra aceleración de la gravedad por el cambio en el tiempo al cuadrado entre dos como vamos a usar esta fórmula para encontrar el tiempo en el aire bueno verticalmente hablando cuál va a ser nuestro desplazamiento iniciamos con una altura de 25 metros y vamos a terminar con una altura de 9 metros así que mientras este objeto está en el aire vamos a tener el desplazamiento más o menos desde acá hacia abajo nuestro desplazamiento va a ser de 16 metros que es la diferencia entre 25 y 9 otra forma de verlo es que nuestro desplazamiento en la dirección de iu vertical va a ser igual a menos 16 metros así que podemos usar este desplazamiento y sustituirlo en la fórmula que encontramos en el vídeo anterior voy a tener menos 16 no voy a poner las unidades para no quedarme sin espacio ahorita que escriba a todos los números y esto va a ser igual a nuestra velocidad inicial esto solo aplica a nuestro componente vertical así que recordemos que esto solo es con respecto a la vertical o el componente vertical esta cantidad es negativa porque nuestro desplazamiento va a ser hacia abajo recordemos que por nuestra convención todas las cantidades negativas indican la dirección hacia abajo y las positivas indican la dirección hacia arriba al menos cuando estamos hablando del componente vertical y el componente vertical de la velocidad aquí lo encontramos nuestra belle es igual al 90 por 0 de 53 así que esto es igual 90 por el seno de 53 grados x el cambio en el tiempo por el cambio en el tiempo y lo que sigue es vamos a sumar la aceleración por el cambio en el tiempo al cuadrado entre 2 aquí la aceleración es la ocasionada por la fuerza de gravedad la aceleración va a ser hacia abajo así que aquí de entrada vamos a tener un signo negativo corresponde menos la aceleración de la gravedad es 9.8 metros por segundo al cuadrado hacia abajo entre 2 nos da 4.9 por el cambio en el tiempo al cuadrado por el cambio en el tiempo al cuadrado vamos a poner aquí esto para que quede más claro cómo resolvemos algo así aquí no podemos factorizar del tate y resolverlo pero pueden reconocer aquí que tenemos una ecuación cuadrática y recordamos que la forma de resolver ecuaciones cuadráticas es primero tener todos los términos de un lado de la ecuación y después factorizar lo o lo que parece que vamos a usar aquí es usar la fórmula cuadrática que ya demostramos en otro vídeo aquí vamos a obtener dos soluciones una de ellas va a ser con un valor negativo como si regresáramos en el tiempo lo cual pues no es posible ese no nos interesa lo que nos interesa es el tiempo transcurrido hasta que cayó el proyecto ir al suelo bueno aquí lo que queremos hacer es dejar todos los términos de un solo lado de la ecuación para eso vamos a sumar 16 en ambos lados de esta ecuación y al sumarlos nos va a quedar 0 de este lado menos 16 más 16 es igual a 0 y esto va a ser igual y todo esto lo voy a escribir de la manera tradicional en donde el término con la mayor potencia va primero después el siguiente hasta que lleguemos a la constante en este caso es - 4.9 por el cambio en el tiempo al cuadrado más 90 por el seno de 53 grados por delta t más lo que sumamos 6 todo esto es igual a 0 y esta es una ecuación cuadrática así que podemos encontrar sus raíces y estas raíces van a estar en términos de delta t y ahora usaremos la ecuación cuadrática y ahora usaremos nuestra fórmula cuadrática de estate es igual y si esto no les parece para nada familiar les recomiendo que vean nuestros vídeos en la lista de álgebra acerca de la fórmula cuadrática si no saben de dónde sale ahí se lo demostramos esto va a ser igual a menos b b en este caso este término que multiplican a delta t el coeficiente de delta t menos b entonces es menos 90 seno de 53 grados y mejor escribo la fórmula cuadrática por aquí arriba para aquellos de ustedes que no la recuerden exactamente tenemos que es a por x cuadrada más b por x más e igual a cero este es el formato de nuestra ecuación cuadrática la solución a las raíces de esta ecuación nos vamos a encontrar aplicando la fórmula menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrada -4 hace la raíz cuadrada de esto todo esto dividido entre 2 estos serán los valores de x que satisfacen a esta ecuación y eso es lo que estamos haciendo aquí abajo este es mi valor de b correspondiente esta ecuación y aquí como va menos b es menos 90 seno de 53 grados más menos y aquí bueno en este caso nosotros vamos a estar interesados solo en la raíz positiva pero vamos a escribir ambas aquí para mantener la congruencia con esta fórmula raíz cuadrada de be cuadrada nuestra ve cuadrada es esta misma 90 por seno de 53 grados al cuadrado y me estoy quedando sin espacio vamos a hacer un poquito más de espacio aquí menos 4 lo ponemos aquí 4 x a éste es a por 4 menos 4.9 por c que es este de aquí por 16 y vamos a extender aquí nuestra raíz todo esto dividido entre dos por a es menos 4.9 esto por 2 nos da menos 9.8 y ahora podemos sacar nuestra calculadora para encontrar el cambio en el tiempo y sólo nos va a interesar la versión positiva de esto les quedara ustedes de tarea encontrar la raíz negativa encontrar un valor negativo para el cambio en el tiempo lo cual realmente no tiene sentido ya que la podemos regresar en el tiempo así que sacamos la calculadora y nos queda vamos a hacer esto con mucho cuidado menos 90 por seno de 53 grados más recordamos que aquí estamos haciendo la versión positiva más la raíz cuadrada de 90 por seno de 53 grados al cuadrado estos dos signos negativos se cancelan por lo que queda más 4 por 4.9 por 16 aquí cerramos nuestra raíz y eso me va a dar el numerador de aquí y el numerador es 2.14 de 93 y vamos a dividir esto entre menos 9.8 y que queden aquí me equivoqué yo les había dicho que si tomábamos la parte positiva de este raíz obtendríamos el cambio en el tiempo positivo pero al hacer esta operación como tenemos en el denominador un signo negativo nos va a quedar un cambio en el tiempo negativo y es lo que no nos interesa entonces nos va a interesar el tiempo en donde aquí arriba tengamos un signo negativo vamos a reescribir de nuevo esto en la calculadora y vamos ahora a usar el valor negativo regresemos un poco aquí y cambiamos este signo de más a menos así que aquí me interese la revista negativa porque me interesa un tiempo positivo y ahora mi numerador es un número negativo menos 145 punto 9 y ahora sí teniendo el numerador negativo como tenemos un denominador negativo ambos se van a cancelar y nos va a quedar un resultado positivo ahora si dividimos esto entre menos 9.8 y esto nos va a dar 14.88 81 y vamos a redondear lo a 14.89 segundos así que nuestro cambio en el tiempo la versión positiva de esas posibles soluciones es 14.89 segundos así que mi comentario anterior de que nos interesaba aquí la raíz positiva era erróneo bien el signo del denominador realmente la que nos interesaba es la raíz negativa ya que solamente cuando tenemos nuestro numerador negativo tendremos toda nuestra expresión positiva así que obtenemos ésta de 14.89 segundos el tiempo que el proyectil permaneció en el aire desde aquí hasta acá es de 14.89 segundos para encontrar el desplazamiento total tendremos que multiplicar este cambio en el tiempo por la magnitud de nuestro componente horizontal de la velocidad y de hecho ya encontramos este valor del componente horizontal de nuestra velocidad así que para encontrar el desplazamiento total realizado desde nuestro lanzamiento hasta quedar el proyectil de nuevo en el suelo es hacer esta multiplicación sacamos nuestra calculadora y este tiempo lo vamos a multiplicar por este valor de aquí un 90 por coseno de 53 grados y eso nos da 800 6.39 metros si redondeamos podemos decir que este desplazamiento de aquí es de 800 6 metros