Péndulos

en lo que respecta a los osciladores armónicos simples las masas en los resortes son el ejemplo más común pero el siguiente ejemplo más común es el péndulo y es lo que vamos a hablar en este vídeo un péndulo es una masa m conectada a una cuerda que tiene una longitud l de manera que podemos hacer hacia atrás cierto espacio y después dejar que se columpia una y otra vez va a columpiarse hacia adelante y luego hacia atrás y de nuevo adelante y hacia atrás oscilando justo como un oscilador armónico simple y es por eso que lo estudiamos cuando vemos este tema de osciladores armónicos simples y técnicamente hablando debemos decir que este es un péndulo simple ya que es solamente una masa conectada a una cuerda lo cual no es complicado podemos tener ejemplos más complejos si por ejemplo a esta masa le conectaremos otra cuerda y a esa cuerda le pusiéramos otra masa esto se vuelve bastante complicado de hecho esto se vuelve lo que los físicos llaman caos lo que es bastante genial si no lo han visto busquen el doble péndulo es bastante genial pero bastante complicado de describir matemáticamente así que no vamos a molestarnos con esto ya tenemos suficientes cosas que estudiar con el péndulo simple podemos aprender mucho sobre el movimiento simplemente analizando este caso y a qué nos referimos con que el péndulo es un oscilador armónico simple pues significa que va a tener una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento lo que significa que se puede describir con la ecuación del oscilador armónico simple si recuerdan esa ecuación luce así una variable x que es función del tiempo que es igual a cierta amplitud multiplicada por el seno o el coseno aquí vamos a escribir coseno de 2 dividido entre el periodo multiplicado por el tiempo y si ustedes quieren podemos agregar una constante de fase pero en este caso no la vamos a usar porque no la necesitamos es la ecuación del oscilador armónico simple como aplicamos esta ecuación para el caso del péndulo bueno aquí no voy a usar x la variable más común de usar aquí una variable para describir a un péndulo es el ángulo en el que se encuentra el péndulo así que consideren que esta masa va a tener diferentes ángulos en diferentes instantes del tiempo así que comienza a khan digamos que está a 30 grados y comienza a balancearse a los 20 luego a los 10 luego llega a 0 porque estamos midiendo los ángulos a partir de este eje vertical y luego continúa balanceándose digamos a menos 10 después a menos 20 llega a menos 30 y todo el proceso se repite de nuevo por lo que en lugar de usar x vamos a usar theta vamos a tener un ángulo como función del tiempo así que teta como función del tiempo va a ser igual a cierta amplitud pero nuevamente ya que estoy midiendo a theta mi amplitud no va a una distancia o desplazamiento en x este no va a hacer el desplazamiento máximo regular sino que va a ser el máximo desplazamiento angular a partir de la posición de equilibrio esta línea de aquí es nuestra posición de equilibrio ya que si ponemos la masa aquí y la dejamos reposar continuará reposando no habrá una fuerza neta aquí es sólo cuando desplazamos la masa lejos de su punto de equilibrio es que tendremos una fuerza restauradora así que aquí tendremos y le voy a llamar theta máxima ya que este es el máximo desplazamiento angular que tenemos cuando jalamos esta masa el mayor ángulo que vamos a tener al desplazar la cualquiera que éste sea quizás son 20 grados quizás son 30 grados ese será el ángulo que yo ponga aquí y luego lo multiplicamos por el coche no íbamos a tener el mismo argumento aquí 2 pi entre el periodo por t recordemos que el periodo es el tiempo que le lleva a este péndulo reiniciarse o completar todo un ciclo no debemos de multiplicar por t minúscula que es nuestro tiempo es nuestra variable y es justo lo que hace que esto sea una función del tiempo y aquí debo hacer una aclaración técnicamente hablando el péndulo simple no es un oscilador armónico simple perfecto es muy cercano hacer un oscilador armónico simple perfecto y de hecho para ángulos pequeños esto solo estaría alejado menos de un 1% y es por eso que muchas veces tratamos al péndulo simple como un oscilador armónico simple pero técnicamente hablando esto solamente funciona muy bien cuando tenemos ángulos pequeños si nuestro ángulo es menor a 20 grados conforme llegamos a amplitudes más grandes esto se va a desviar cada vez más aunque quizá todavía sea razonablemente cercano digamos que un 20% pero solo con ángulos pequeños es que esto es extremadamente cercano así que si tenemos un péndulo que tiene un ángulo máximo de 20 grados o menos entonces podremos considerarlo como un oscilador armónico simple y esta ecuación lo va a describir bastante bien así que vamos a suponer que estamos en ese rango de ángulos pequeños si tenemos esto una de las preguntas que nos podemos hacer es cuál es el periodo que va a tener este péndulo y de qué depende que podríamos cambiar que afecte al periodo aquí de que depende el periodo bueno mi primera idea es que quizá depende de la masa pensemos en ello si yo incremento la masa incrementaremos el periodo del péndulo o lo disminuirá o lo dejará igual algunas personas podrían pensar que si se aumenta la masa vamos a aumentar la inercia de esta masa o del sistema y va a ser más difícil de mover cuando algo tiene mucha inercia se mueve con mucha más lentitud es más difícil de mover y de cambiar su dirección lo que significa que debería llevarle más tiempo completar un ciclo quizá eso significa que el periodo debería aumentar ya que el tiempo aumentaría pero otras personas podrían decir a ver un momento si aumentamos la masa esto va a aumentar la fuerza gravitacional la gravedad va a estar jalando hacia abajo con mayor fuerza y en este caso la gravedad va a ser la fuerza que va a estar restaurando esta masa de vuelta a su posición de equilibrio la gravedad va a estar jalando hacia abajo y si jalamos hacia abajo con una mayor fuerza podríamos pensar que esta masa se va a columpiar con una mayor rapidez y si tiene mayor rapidez pues va a completar este ciclo en menos tiempo ya que se está moviendo más rápido por lo que podemos pensar que el periodo va a disminuir estos dos efectos se cancelan exactamente el hecho de que la masa tenga mayor inercia cuando aumentamos la masa pues va a ser más difícil de mover y además la fuerza se va a incrementar debido a que va a aumentar la fuerza de gravedad y ambas se van a compensar exactamente por lo que esta masa no va a afectar al periodo así que resulta algo extraño el que cambiemos la masa aquí no nos va a afectar el periodo del péndulo imagínense que ustedes van a un parque y se suben a un columpio se columpian adelante y atrás y luego llega un niño de 5 años y se columpia también el periodo del movimiento de este niño que se está corrompiendo va a ser el mismo que el periodo que nosotros tenemos al columpiar nos ya que la más aquí al final no afecta al periodo así que es algo extraño pero es cierto y hay que tenerlo en mente la masa no afecta al periodo así que qué es lo que afecta al periodo voy a escribir aquí abajo la fórmula no la vamos a deducir ya que la deducción requiere del uso de cálculo y es una deducción sorprendente si ustedes ya saben cálculo deberían revisarla pero en caso de que no hayan visto cálculo pues vamos a escribir la fórmula tal cual aquí vamos a analizar de qué trata esta fórmula y quizás con esto ustedes tengan algo de intuición del por qué esta fórmula tiene las variables que tiene la primera variable es l arriba tenemos la longitud de la cuerda y la aceleración debida a la gravedad la g minúscula va aquí abajo y por qué es así esta fórmula bueno este 2 pi es una constante tenemos la raíz cuadrada y aquí arriba tenemos a él por lo que incrementar la longitud nos va a incrementar el período qué es así piensen en esto una masa en una cuerda rotando adelante y atrás si hay rotación una cantidad que es útil pensar es el momento de inercia el momento de inercia de esta masa en esta cuerda va a ser igual a esta masa puntual rotando sobre un eje el eje de rotación es este punto de acá y una masa puntual rotando sobre un eje está dada por m por r al cuadrado este será el momento de inercia pero esta r es la distancia del eje a la masa por lo que esto es m por l al cuadrado este es el momento de inercia y vean que si incrementamos la longitud de la cuerda aumentaremos el momento de inercia y si una longitud mayor nos da un momento de inercia mayor qué significa esto el momento de inercia es una medida de qué tan difícil es darle una aceleración angular a algo es una medida de qué tan lenta va a ser esta masa cuando la querramos mover para que tenga algún cambio en su velocidad angular así que un mayor momento de inercia significa que va a ser más difícil tomar esta masa y balancear la adelante y atrás y cambiar su dirección y ya que es más difícil de mover esta masa le llevará más tiempo completar un ciclo y es por eso que una mayor longitud significa un mayor momento de inercia y un mayor momento de inercia significa que nos lleva más tiempo mover la masa lo que finalmente nos va a incrementar el periodo y quizá algunas personas no acepten esto si son espabilados me pueden decir a ver un momento si esta longitud aumenta aquello que causa que esto se acelere angular mente es el torque y yo conozco la fórmula del torque esta fórmula luce así el torque es igual a r por efe por el seno de teta es la distancia desde el eje hasta donde se aplica la fuerza y cómo es la gravedad lo que proporciona el torque esa r también va a ser esta l pues vamos desde el eje hacia el punto donde se está aplicando la gravedad así que aquí tengo l por la fuerza de gravedad por el seno de teta y me pueden decir mira si la l aumenta también va a aumentar la cantidad de torque así que tengo más torque que va a estar moviendo esta cosa de aquí para allá y también tengo más inercia lo que hace que esto sea más difícil de mover estas características se compensan entre sí como muchas de estas otras cosas que vimos que se equilibran perfectamente pues no fíjense en este torque éste va a aumentar cuando aumente l pero solo va a aumentar directamente lo que aumente l es directamente proporcional a l en cambio este momento de inercia es proporcional a l al cuadrado así que si duplicamos la longitud vamos a cuadruplicar lo difícil que es de mover esta masa pero solo habremos duplicado la habilidad de este torque de mover esta masa lo que significa que le va a llevar más tiempo completar el ciclo por lo que el periodo va a aumentar este torque más grande no va a compensar el que esta masa sea más difícil de mover por el incremento de inercia de esta masa así que la longitud aumenta el periodo pero el incrementar a lage la aceleración gravitacional disminuye el periodo piensen en esto si yo aumento la aceleración gravitacional no se tomó este péndulo y lo llevo a un planeta que sea mucho más grande o masivo que va a jalar hacia abajo con una mayor fuerza de gravedad una mayor que quiere decir una mayor fuerza de gravedad jalando hacia abajo esta masa lo que me dará una mayor fuerza restauradora y una mayor fuerza quiere decir que me va a jalar a esta masa mucho más rápidamente tendrá una mayor aceleración lo que hará que tenga una mayor rapidez de manera que se va a columpiar más rápido y si se mueve más rápido le llevará menos tiempo a completar un ciclo y es por eso que el aumentar la aceleración gravitacional me va a disminuir el periodo me va a aumentar la fuerza y me va a decrementar el periodo esencialmente si ustedes saben de torque vamos a aumentar la fuerza que aumenta el torque lo que me va a aumentar la aceleración angular y le llevará menos tiempo a esto ir adelante y atrás por eso disminuye el periodo si aumentamos la aceleración gravitacional y si son aún más avispados me pueden decir eso es casi igual a la fórmula de una masa en un resorte tomamos el periodo de una masa en el resorte que es de dos tipos raíz cuadrada de algo entre algo y el término en el numerador de la masa en un resorte es la masa conectada al resorte y el término de abajo era la constante del resorte así que me pueden decir a ver esta es la misma idea el aumentar la masa significa aumentar la inercia de ese sistema y es por eso que le lleva más tiempo completar un ciclo completo lo mismo aquí el aumentar la longitud significa incrementar la inercia al menos la inercia rotacional de este sistema por lo que le va a llevar más tiempo completar un ciclo y me pueden decir que aumentar el valor de k es incrementar la fuerza restauradora en el sistema al aumentar la fuerza en el sistema vamos a aumentar la aceleración ocasionando una mayor rapidez lo que hace que le lleve menos tiempo completar un ciclo y es por eso que esta constante cada del resorte me va a disminuir el periodo si aumenta lo mismo con esta g el aumentar la que va a aumentar la fuerza lo que va a hacer que el sistema tenga una mayor aceleración ocasionando mayor rapidez y haciendo que este periodo se realice en menor tiempo así que estas fórmulas son muy parecidas y completamente análogas tenemos un término de inercia arriba un término de fuerza abajo y ambos afectan al periodo de la misma manera una cosa más que debemos notar es que la amplitud no afecta al periodo de una masa en un resorte y la amplitud o esta theta máxima tampoco afectará al periodo de un péndulo siempre y cuando el ángulo de mi amplitud sea pequeño por lo que debemos suponer que nos encontramos en esta región de la pequeña amplitud en donde está más en una cuerda se comporta como un oscilador armónico simple y si esto se cumple para ángulos pequeños la amplitud no va a afectar al periodo en el péndulo de la misma forma que la amplitud no afecta al periodo de una masa en un resorte veamos una última cosa aquí este péndulo simple solamente se va a comportar como un oscilador armónico simple para ángulos pequeños lo que significa que esta fórmula del período para el péndulo solo se cumple para ángulos pequeños pero qué tan pequeño tiene que ser este ángulo para darnos una idea digamos que está theta máxima o la amplitud de qué tan lejos vamos a jalar esta masa para que este péndulo comience a oscilar es menor a 20 grados si la jalamos menos de 20 grados la cantidad que nos va a entregar esta fórmula va a estar alejada comparada con el verdadero valor del periodo del péndulo va a estar alejada por menos del 1% así que esta fórmula va a estar muy cercana al valor real del periodo del péndulo está muy cercana a ser un oscilador armónico simple aquí y digamos que la teta máxima es menor a 40 grados aún así estaremos alejados por menos del 3% del valor real así que el valor de esta fórmula va a estar alejado del valor real del periodo por menos del 3% y ahora digamos que mi theta máxima es menor a 70 grados si jalamos nuestra masa 70 grados antes de dejarla ir l porque va a tener esta fórmula va a ser menor al 10% no es tan bueno pero aún es cercano así que esta fórmula que nos da el periodo del péndulo funciona muy bien para ángulos pequeños conforme este ángulo aumenta el valor que obtenemos de esta fórmula se va a desviar del valor real una cantidad mayor cada vez en resumen para ángulos pequeños o es decir amplitudes pequeñas podemos considerar al péndulo como un oscilador armónico simple y si la amplitud es pequeña podemos encontrar el periodo del péndulo usando dos por pi raíz cuadrada de l / g donde él es la longitud de la cuerda y que es la aceleración debida a la gravedad en la ubicación en donde se está columpiando el péndulo