If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal

La ecuación de una onda

En este video mostramos cómo determinar la ecuación de una onda, cómo funciona esta ecuación y qué es lo que representa. Creado por David SantoPietro.

¿Quieres unirte a la conversación?

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.

Transcripción del video

ahora quiero mostrarles la ecuación de una onda y explicarles cómo usarla pero antes de hacerlo quiero que veamos qué significa que una onda pueda tener una ecuación esto es lo que significa imaginen que tenemos una onda en el agua que se ve así y gráfica mos la altura vertical de esta onda de agua como una función de su posición así que digamos que ustedes están caminando por el muelle y vemos que llega una onda de agua que se dirige hacia la playa y pueden ver que la onda se mueve así hacia la playa y en la realidad el agua las ondas en el océano no se ven así pero esta es la forma matemática más sencilla que tenemos para describir esta onda así que vamos a comenzar con ella digamos entonces que esta es nuestra onda van caminando por el muelle se detienen en este punto y el lugar justo frente a ustedes es en donde esta onda tiene su altura máxima y uno a la derecha de ustedes el nivel del agua es 0 2 metros a la derecha de ustedes el nivel del agua llega a los menos 3 qué significa esto de menos 3 significa que si este fuera un día tranquilo y no hubiera ningún tipo de onda wola en el agua tendríamos un océano plana o lago o lo que estemos viendo pero si hay ondas u olas este nivel de agua puede estar por encima de esta posición o puede estar por debajo de esta posición digamos que esta posición cuando el agua está tranquila y sin moverse le llamaremos posición 0 así que grafica mos esto y nos queda este resultado que realmente solo es una imagen estática ya que esta posición vertical con respecto a esta posición horizontal es solamente una imagen en otras palabras puedo llenar todo esto con agua y decir ah bueno así es como luce el agua en este momento del tiempo pero si viéramos lo que hace el agua pues se va a estar moviendo hacia la costa de esta manera así que nuestra gráfica es una imagen estática de cómo luce el agua en cierto momento del tiempo y cómo va a ser nuestra ecuación pues será una ecuación de la posición vertical de la onda que al menos sea una función de la posición así que esta es una función no es una multiplicación esta debe ser una función de la posición de manera que tenga yo una función en donde pueda colocar cualquier valor de la posición horizontal digamos x igual a cero y me debe dar como resultado este valor máximo de aquí que es de tres metros por lo que esta ecuación de onda debe entregarme un 3 cada que yo le ponga x igual a 0 y cuando ponga x igual a 1 deberá darle como resultado 0 así que me debe dar un valor de 0 que es esta altura y si yo pusiera como valor en x 6 metros esta función me debería dar como resultado un menos 3 que es esta altura de acá así que no importa qué valor de x yo aquí la función me debe dar el valor exacto de la altura de la onda en esa posición como se va a ver esta ecuación pues vamos a tratar de encontrarla vamos a encontrar a que es igual de equis pues no debe ser mayor que 3 o menor que menos 3 ya esto le llamamos la amplitud si ésta es mi amplitud a mi función no debe ser mayor que esta amplitud en este caso mi amplitud es de 3 vamos a ponerlo de forma general por lo que usamos la literal como amplitud y que esto me pueda funcionar para cualquier onda vean la forma que tiene es como la de un seno o un coseno cual es en particular este bueno cuando x es igual a cero tenemos el valor máximo esto se parece más a una gráfica de un coseno ya que el coseno de cero inicia con el valor máximo así que decimos que este es el coseno de algo que va a estar aquí quizás nos veamos tentados de escribir simplemente x pero no nos va a funcionar si yo escribiera x aquí esta fórmula no sería lo suficientemente general como para describir cualquier onda ya que si yo aquí pongo solamente x el consell o de equis se va a reiniciar cada dos pies cada vez que todo lo que se encuentra aquí adentro es igual a dos pi se va a reiniciar el coseno pero vean este coseno de aquí se reinicia cada cuatro metros y quizá otra onda se reinicie cada ocho metros y quizá otra onda se reinicie a una distancia diferente necesito una forma de especificar aquí qué tan lejos debemos viajar en la dirección x para que se reinicie la onda x solita no lo va a hacer ya que si pongo x aquí mi onda siempre se va a reiniciar cuando llegue a 2000 cuando x sea igual a 2 pi así que lo que voy a hacer es hacer lo mismo que hicimos para los osciladores armónicos simples aquí digo que esto es 2 pin y lo divido entre no el periodo por el tiempo ya que esto no es una función del tiempo al menos no aún aquí no es una función del tiempo sino una función de x así que aquí no pondríamos el periodo no es el tiempo que le tarda a esta onda reiniciarse de hecho es la distancia que tiene que recorrer esta onda para reiniciarse en otras palabras lo que llamamos longitud de onda por lo que la distancia entre dos picos que llamamos longitud de onda y la representamos con la letra griega lambda es la distancia que le lleva a una onda reiniciarse y es entre lo que vamos a dividir esto esto tiene unidades de metros y después multiplicamos todo esto por equis de esta manera si yo comienzo con x igual a cero el coseno comienza con un máximo y aquí voy a tener tres si yo digo que me x ha recorrido todo el camino de una longitud de onda que en este caso es de 4 metros ya que recorrí estos 4 metros que es mi longitud de onda y pongo este valor en la función esta lambda en lugar de la equis pues se va a cancelar con la lambda que está dividiendo y me va a quedar 2 pi y en este punto el coste no se va a reiniciar una vez que todo el argumento es igual a 2 espn el coche no se va a reiniciar y es lo que pasa con esta onda se va a reiniciar cada 4 metros cada longitud de onda recorre esta longitud de onda y se vuelve a reiniciar otra longitud de onda y se reinicia y como aplicamos esta ecuación de onda para esta onda en particular pues vamos a tomarlo aquí aquí ya tenemos el coche no lo cual está bien porque corresponde a esta gráfica podrían usarse no si su gráfica comenzará en este punto y aumentará a partir de ahí pero aquí comenzamos en el máximo así que usamos coseno y nuestra amplitud ya no es a va a ser igual atrás nuestra agua alcanza la altura de tres metros por encima del nivel de equilibrio de la misma dejamos el coseno aquí también el 2 pin pero la lambda la sustituimos por la longitud de onda de este ejemplo nuestra longitud de onda que es la distancia de pico a pico es de 4 metros o también la pueden medir de valle a valle o de mínimo a mínimo esta distancia también es de 4 metros es así como medimos la longitud de onda y que pongo en lugar de la equis no la sustituyó porque ésta es una función de x es decir puedo poner valores en x y saben que vamos a hacerlo vamos a comprobar si esta función realmente nos sirve vamos a comprobar si esta función es correcta recordamos que esta función nos dice dependiendo del valor de x cuál es la altura de esta onda en esa posición así que vamos a probar si esto funciona aquí en lugar de la equis ponemos el cero y para cero que el resultado me va a dar esta función pues me dice que el coseno de todo esto que es 0 yo sé que el coseno de 0 es 1 por lo que toda esta función va a ser igual a 3 metros cuando x sea igual a 0 lo que es cierto la altura de esta gráfica cuando x es igual a 0 es de 3 metros así que esta función a probemos otra ahora digamos que la posición horizontal es de 2 metros sí aquí pongo 2 metros me va a quedar aquí 3 metros por el coseno 2 x 2 es 44 entre 4 es 1 por lo que aquí tengo el coseno de pi y el coseno de ti es menos 1 por lo que aquí voy a tener menos 3 lo que es cierto la altura de esta onda en los dos metros es de menos 3 metros por lo que esta fórmula no se está dando la posición de la onda en cualquier momento en cualquier lugar lo que está bastante bien sin embargo quizás ustedes ya se dieron cuenta de un problema me puedan decir a ver un momento esto está muy bien pero esto es para un instante del tiempo esta onda se está moviendo recuerden que toda esta onda se dirige a la costa así que en un momento particular del tiempo esta ecuación nos puede dar la posición o la altura de esta onda en cierto lugar pero si espero un momento ya todo esto no me va a funcionar porque mi onda se movió ahora cuando la posición es igual a 2 pues mi altura ya no va a ser menos 3 y cuando x es igual a 0 la altura tampoco va a ser de 3 solo va a llegar hasta acá ahora que hacemos como describimos esta onda que se está moviendo hacia la derecha con una sola ecuación no está tan difícil como podrían imaginarse vamos a quitar esto y vamos a complementar la función que ya encontramos aquí ya que lo que necesito es una ecuación de onda que no sea solamente una función de x sino también una función del tiempo así que esta función de aquí no solo es una función con respecto a x sino que también tiene que ser una función del tiempo de manera que yo pueda poner cualquier posición y cualquier momento en el tiempo y me dirá cuál es el valor de la altura de esta onda como encuentro la dependencia del tiempo aquí bueno recuerden que si agregamos una constante de fase aquí recuerden si sumamos un número aquí adentro en el argumento del coseno va a desplazar a la onda de hecho si agregamos una constante nos va a desplazar nuestra onda hacia la izquierda y como nuestra onda se mueve a la derecha no queremos agregar una constante de fase vamos a restar una constante así que vamos a restar cierta cantidad y así nuestra onda se va a desplazar hacia la derecha pero no me va a servir poner aquí simplemente una constante tal cual ya que las olas en la playa no es que se muevan un momento hacia la derecha y se detengan se siguen moviendo todo el tiempo por lo que necesitamos una onda que continúe desplazándose y quizá ustedes ya se dieron cuenta de que a lo mejor aquí nos conviene poner esta constante de desplazamiento como función del tiempo de esta forma conforme aumenta el tiempo la onda continuará desplazándose cada vez más si este término del cambio de fase aumenta cada vez que aumenta el tiempo nuestra onda va a continuar desfasando pse y desplazándose hacia la derecha y así tendremos una ecuación que representa una onda que se está moviendo que es lo que vamos a poner aquí y quizá piensen que esto va a ser complicado pero no lo es tanto ya que como la longitud de onda es la distancia que le lleva a esta onda reiniciarse tenemos algo llamado periodo que representamos con la letra t mayúscula y el periodo es el tiempo que les lleva a esta onda reiniciarse si yo espero todo un periodo esta onda se va a mover de tal manera que va a llegar al punto en donde no podremos darnos cuenta de que se movió en donde luce exactamente igual vamos a verlo así digamos que esta es nuestra onda en el agua y tomo esta onda y la nuevo todo un periodo la onda habrá llegado justo a donde estaba cuando comenzó esta onda se está moviendo hacia la costa ustedes cierran los ojos durante todo un periodo y cuando los vuelven a abrir la onda luce exactamente igual así que vamos a usar este hecho aquí necesitamos que esta función se reinicie no solamente después de una longitud de onda sino que también se reinicie después de un período como representamos eso pues hacemos exactamente lo mismo aquí no puedo poner directamente el tiempo lo que voy a hacer es poner dos pi entre el periodo de mayúscula y luego lo multiplicó por el tiempo de esta forma igual que cada vez que x alcanza una longitud de onda cada vez que caminamos una longitud de onda en el muelle vemos la misma altura ya que esto se vuelve dos pi cada vez que esperamos un periodo completo esto se vuelve dos pi y todo esto se va a reiniciar otra vez y esta es la ecuación de la onda y creo que podríamos hacerla un poco más general este coche no pudo haber quizás nos encontremos con alguna onda que se describa mejor con un seno que comience aquí en cero y vaya aumentando conforme aumenta la distancia y el negativo recuerden que este negativo hace que esta onda se desplace hacia la derecha y podríamos usar positivo o negativo dependiendo de hacia qué lado se esté desplazando la onda a la derecha con el negativo o hacia la izquierda con el positivo un signo positivo aquí describe una onda que se está moviendo hacia la izquierda y un signo negativo describe una onda que se está moviendo hacia la derecha y técnicamente hablando podríamos hacer esto un poco más general agregando otra constante de fase que va hacia la derecha si lo agregamos podemos incluir casos que sean un poco extraños como por ejemplo nuestra onda puede comenzar aquí en donde no comienza ni como xenon y como coseno y para expresarla tenemos que desplazar la un poquito pero en nuestro caso no tenemos que preocuparnos por esto ya que comenzó en un máximo pero es no tener esta constante de fase y esta es nuestra ecuación de la onda es lo que queríamos una función de la posición y el tiempo que nos da la altura de la onda para cualquier posición horizontal equis y para cualquier tiempo t así que vamos a aplicar esta fórmula para nuestra onda particular que tenemos aquí vamos a quitar esto ya que fue la expresión para encontrar la altura solamente como función de la posición y en un momento del tiempo quizá esta imagen que tomamos de la onda fue en un momento que llamaremos de igual a cero segundos así que cuando te dé igual a cero segundos tomamos esta imagen así luce esta onda y esta es la función que describe a esta onda en este momento del tiempo pero la podemos mejorar ahora podemos describirla para cualquier posición x en cualquier momento te vamos a hacer lo cual es la amplitud es fácil sigue siendo 3 la onda nunca va a ser más alta que tres metros y tampoco va a estar más abajo de menos tres metros por lo que nuestra amplitud sigue siendo tres metros y en x igual a cero y t igual a cero nuestra gráfica comienza en un máximo así que queremos seguir usando coseno llegamos aquí 2 por x sobre lambda y lambda sigue siendo holanda siguen siendo 4 metros ya que le lleva 4 metros a esta gráfica para reiniciarse tendríamos que caminar 4 metros sobre el muelle para ver que se reinicia esta gráfica aunque no realmente tendríamos que correr muy rápido para hacer esto ya que la onda se va a estar moviendo conforme nosotros caminemos así que digamos que si ustedes están en cero y un amigo de ustedes está a 4 metros ambos verán la misma altura ya que la onda se reinicia cada cuatro metros aquí queremos que sea positivo o negativo pues como se está moviendo a la derecha va a ser negativo aquí no voy a necesitar el término de cambio de fase porque esto inicia en un coseno perfecto y no en una función extraña en el medio y lo único que falta es ver qué es lo que voy a poner en el lugar del periodo así que voy a necesitar una pieza más de información si me dijeran el periodo no tendría problema pero a veces hay preguntas capciosas quizás les digan que esta onda se está desplazando a la derecha a 0.5 metros por segundo digamos que esta es la rapidez de la onda y les piden escribir una ecuación de la onda que describa a esta onda en espacio y en tiempo y ustedes sabían esto pero entonces llegan a este punto y se preguntan cómo encuentro el periodo pues tenemos que usar el hecho de que si recuerdan la velocidad de una onda pues recuerden que la rapidez de una onda es igual a la longitud de la onda por la frecuencia del tiempo o la pueden escribir como la longitud de la onda entre el periodo y ahora despejamos el período el periodo de esta onda si me dan la rapidez y la longitud de la onda el periodo de esta onda va a ser igual a la longitud de la onda dividida entre la rapidez nuestra longitud de onda es de 4 metros y nuestra rapidez es de punto 5 metros por segundo lo que nos da un periodo de 8 segundos por lo que tenemos que poner 8 segundos aquí en lugar del periodo y ahora si esta es mi ecuación para esta onda y ahora si esta es mi ecuación para esta onda y esta ecuación es genial me describe la altura de la onda para cualquier posición x y cualquier tiempo t en otras palabras aquí puedo poner 3 metros en lugar de la equis y 5.2 segundos en lugar de la t y medir a la altura de esta onda a los 3 metros en el tiempo 5.2 segundos a los 5.2 segundos lo que es bastante genial en resumen esta es la ecuación de la onda que describe la altura de la onda para cualquier posición x usamos el signo negativo si la onda se mueve hacia la derecha y el signo positivo si nuestra onda se mueve hacia la izquierda