Ejemplo resuelto: encontrar el vector unitario de una dirección dada

en este vídeo quiero exploremos la idea de lo que es un vector unitario y déjenme apuntarlo aquí quiero explorar la idea de un vector vector unitario unitario vector unitario ok y un vector unitario no es ni más ni menos que un vector que va hacia una dirección y que tiene una magnitud de 1 lo voy a escribir tiene una magnitud de 1 una magnitud de 1 y es más vamos a verlo con un ejemplo imagínate que yo me tomo al vector a este va a ser director am y tiene como coordenadas vamos a abrir paréntesis y le voy a poner las coordenadas 3 4 así que déjame escribirlo y tiene como coordenadas entonces voy a poner justo aquí un 3 y después voy a poner un 4 con este color si yo te pregunto cuál es la longitud o la magnitud de este vector como lo puedes obtener y vamos a ponerlo así la magnitud de este vector a yo lo que voy a buscar es la magnitud de este vector a que por cierto no es otra cosa más que la longitud de este vector al vamos a visualizarlo por aquí a la derecha y es que de una manera horizontal yo voy a caminar tres unidades de una manera horizontal voy a caminar tres unidades estas son tres unidades y después de una manera vertical hacia arriba voy a caminar cuatro unidades así que déjame ponerlo así por cada tres unidades que yo me mueva hacia la derecha voy a caminar cuatro unidades hacia arriba y entonces mi vector se va a ver más o menos así es un vector que va a empezar aquí y entonces va a subir hasta acá es este vector de aquí este sería mi vector a mi vector a ok y bueno entonces cuál es la magnitud de este vector te das cuenta no es más que otra cosa que tomarnos un teorema de pitágoras esta es muy poderosa y aquí tengo mis otros dos lados de este triángulo rectángulo y por lo tanto puedo decir que el vector av tiene como magnitud que por cierto recuerda que es la longitud de este vector bueno pues la raíz cuadrada ok de cada una de sus dos componentes elevadas al cuadrado es decir me va a quedar 3 elevado al cuadrado 3 elevado al cuadrado ya esto tengo que sumarle la otra componente que es 4 elevado al cuadrado así que déjame ponerlo así 4 elevado al cuadrado y si te das cuenta esto es lo mismo que tomar de la raíz cuadrada de 9 16 lo cual es 25 y bueno sabemos que la raíz de 25 5 por lo tanto la magnitud de este vector o la longitud de este vector am y lo voy a poner así la magnitud de este vector a bueno son 5 unidades y eso se notaba también de una manera muy clara porque tenemos un traer 1 rectángulo 345 la magnitud o la longitud es lo mismo que 5 unidades es lo mismo que 5 unidades y bueno si te das cuenta claramente este no es un vector unitario porque su magnitud es distinta de 1 y como un vector unitario debe de tener una longitud una magnitud de 1 bueno pues este no es un vector unitario ahora imagina que queremos construir un vector voluntario que tenga la misma dirección que este vector a pero entonces va a tener que tener una magnitud de 1 es decir queremos un vector a me lo voy a poner así este va a ser un nuevo veto ni vector unitario el cual quiero que tenga la misma dirección que este vector a pero que tenga una magnitud de 1 es decir de una quinta parte de este vector a una magnitud de y bueno una forma de encontrarlo es dividiendo cada una de estas componentes entre 5 es decir me voy a tomar una quinta parte de cada una de estas proponentes y bueno también hay otra forma de verlo podríamos tomarnos cada una de estas entradas del vector am y dividirlas entre la magnitud del vector es decir dividirlas entre la magnitud que 5 es más debe ponerlo así y voy a utilizar la letra o la letra de vector unitario ok y le voy a poner un gorro encima y le voy a poner un gorro encima porque así se denota el vector unitario así podemos saber que este es un vector unitario y es más déjeme ponerlo así este es un vector unitario unitario y ahora para construir este vector unitario que tenga la misma dirección que este vector a y bueno entonces para encontrarlos lo que vamos a hacer es tomarnos las componentes de este rectorado y lo voy a poner es más con este mismo color a tomar las dos componentes de esta rectora pero las voy a dividir entre la longitud de este vector a es decir me va a quedar 33 pero a este 3 lo voy a dividir entre la longitud o la magnitud de este vector a lo voy a poner si entre la magnitud de este apertura ok y ahora me falta la otra componente la otra componente es 44 y también lo voy a dividir entre entre la magnitud de este vector a entre la magnitud de este vector y bueno con esto ya tengo un vector unitario que va en la misma dirección y entonces que nos quedarían esto es exactamente lo mismo que tomarme 3 entre 5 3 quintos y lo voy a poner con este color es dividido entre 5 ok y la otra componente es lo mismo que 4 que 4 dividido entre 5 también entre 5 de lujo ahora vamos a recorrer tres quintos en nuestra forma horizontal y cuatro quintos de forma vertical y si te das cuenta tiene la misma proporción que este que tenemos aquí tiene exactamente la misma proporción y por eso podemos decir que va en la misma dirección pero ahora este vector tiene una magnitud de 1 tiene una longitud de 1 y es más es justo lo que quiero que trabajemos en este momento así que si nosotros nos fijamos en la magnitud en la magnitud de este vector y de este vector y también le pongo su gorro por aquí ok esta magnitud es la que yo quiero averiguar justo ahora bueno pues esto es lo mismo que la raíz cuadrada que la raíz cuadrada que la raíz cuadrada ok de la suma de los cuadrados de cada una de las componentes si nosotros elevamos al cuadrado está el primer componente que me va a quedar 3 al cuadrado es 9 ok entre 5 al cuadrado lo cual es 25 ok ya esto le voy a sumar la otra componente elevada al cuadrado 4 al cuadrado es 16 entre 5 elevado al cuadrado entre 5 elevado al cuadrado lo cual es 25 y entonces yo me voy a tomar a la suma de estos dos lo cual es lo mismo que la raíz cuadrada de 9 16 es 25 es 25 9 más 16 estos dos suman 25 ya esto lo voy a dividir entre el mínimo común múltiplo que es 25 es decir me voy a tomar la raíz cuadrada la raíz cuadrada de 25 entre 25 lo cual es 1 y si ahora me fijo en la raíz principal o en la raíz positiva de 1 bueno pues eso es 1 y ya está llegamos justo a lo que queríamos tengo ahora este y el cual va en la misma dirección que este vector tenemos exactamente la misma dirección pero este es un vector unitario porque tiene una magnitud de 1 y una magnitud de 1 y es por eso que tenemos un vector unitario