Calcular la velocidad usando la energía

Tenemos un resorte que tiene una constante  de resorte igual a 4 N/m (cuatro Newtons   por metro). Lo que hacemos ahora es colocar  una masa de 10 gramos encima del resorte,   después lo empujamos para comprimir el resorte  10 centímetros. Y entonces, ¡lo soltamos! Estamos interesados en saber cuál será la  magnitud de la velocidad de esta esfera,   que representa la masa de 10 gramos, justo  cuando el resorte ya no está comprimido, o,   esencialmente, cuando la esfera sea  lanzada por la fuerza del resorte. Pausa el video y ve si puedes resolverlo. Te daré una pista: la energía total   en este primer estado, tiene que ser igual a la   energía total de este segundo estado, ya  que no podemos crear o destruir energía. Muy bien, ahora trabajemos juntos en el problema. Llamemos a este primer escenario estado uno. Entonces, en el estado uno,   ¿cuál es la energía total? La energía total es la suma de la energía   potencial gravitacional —que es igual a m por g  por la altura en el estado uno—, más la energía   potencial elástica, que es ½ (un medio) por la  constante de resorte por cuánto se ha comprimido   el resorte en el estado uno, elevado a la segunda  potencia, más la energía cinética, igual a ½   por la masa multiplicada por la magnitud de la  velocidad en el estado uno elevada al cuadrado. Esta suma tiene que ser igual,  como mencionamos anteriormente,   a la energía total en el estado dos.  ¿Cómo representamos la energía  total en el estado dos?  Como la suma de la energía potencial gravitacional en el estado dos más la energía potencial   elástica en el estado dos más la  energía cinética en el estado dos. Ahora analicemos cuáles variables conocemos y  cuáles tenemos que determinar. En primer lugar,   la masa, la constante de resorte y la fuerza  del campo gravitacional, son valores conocidos:   la masa es igual a 10 gramos. la fuerza del campo  gravitatorio, o constante de aceleración del campo   gravitacional de la Tierra cerca de la superficie  de la Tierra, es 9.8 (nueve punto ocho) metros por   segundo al cuadrado. La constante de resorte  es igual a 4 (cuatro) Newtons por metro.  Recordemos que un Newton, es igual a un  kilogramo por metro sobre segundo al cuadrado. Así que esto también se puede expresar como cuatro  kilogramos por metro sobre segundo al cuadrado,   pero tenemos otros metros aquí, por lo que  los metros se cancelarán. Este resultado es   útil porque nos recuerda que es necesario  que todas las cantidades de la suma estén   expresadas en términos de kilogramos  y metros. Con lo anterior en mente,  Podemos reescribir el valor de la masa  como 0.01 (cero punto cero uno) kilogramos. Ahora podemos considerar qué es lo que está   sucediendo específicamente  en cada uno de los estados. Entonces, ¿cuál es el valor de h  subíndice 1 (h1), la altura inicial?  No lo dije al inicio, pero lo que realmente  importa es la diferencia entre h subíndice uno   y h subíndice dos (h2). Podemos establecer que h1  es igual a cero. Así que permítanme escribir eso:   h1 es igual a cero. Si h1 es igual  a cero, ¿qué valor tienen h2? h2   es por lo tanto igual a 10 centímetros, pero  recuerda, expresamos todas las cantidades en   kilogramos y metros, por lo que 10 centímetros  es equivalente a 0.1 (cero punto uno) metros. Ahora bien, ¿Cuál es el valor de la  compresión del resorte en el estado   uno? Como podemos ver en el diagrama, es  igual a 10 centímetros. Pero una vez más,   es necesario escribir la compresión en metros,  por lo que expresamos la compresión como 0.1   metros. Para el estado dos, toma en cuenta que  el resorte está completamente descomprimido,   entonces la compresión del resorte en  el estado dos es igual a cero metros. Tenemos también la velocidad. La pregunta es:  ¿Cuál es la velocidad, o al menos la magnitud de   la velocidad en el estado uno? En este caso, el  sistema es estacionario, por lo que la magnitud   de la velocidad es cero metros por segundo. Ahora bien, la magnitud de la velocidad en   el estado dos, es exactamente  lo que queremos calcular. La velocidad en el estado dos,  es la velocidad de lanzamiento.  Veamos si podemos simplificar la igualdad  y luego resolver para v subíndice dos (v2). Comencemos con h subíndice 1 (h1). Como  la altura del estado 1 es igual a cero,   este término también es cero. Después  tenemos a v subíndice uno (v1),   que es cero, por lo que este término se  simplifica y es igual a cero. Delta x en   el estado dos (Δx2) es igual a cero, así  que este término también es igual a cero. Así, podemos reescribir la ecuación: ½ por k por  delta x subíndice uno al cuadrado (Δx12) es igual   a m por g por h subíndice dos (h2) más ½ por m  por v subíndice dos al cuadrado (v22). A partir   de la ecuación simplificada, calcularemos  el valor de la velocidad en el estado dos. Por lo que restamos el término mgh subíndice  dos (mgh2) en ambos lados. Tenemos entonces   ½ por k por delta x subíndice uno al  cuadrado (Δx12) menos m por g por h   subíndice dos (mgh2) es igual a ½ por m  por v subíndice dos al cuadrado (v22).  Ahora multiplicamos ambos lados de la igualdad  por el factor dos sobre m (2/m), con lo que   anulamos el término ½ por m; al multiplicar  por 2/m, realizamos dos pasos al mismo tiempo. Una forma de ver esta operación es como la  multiplicación por el recíproco del coeficiente   que acompaña a v subíndice dos al cuadrado. Es decir, el coeficiente es m sobre dos,   por lo que el recíproco es 2 sobre m. Por último, debemos asegurarnos de que   la multiplicación por el recíproco se  realiza en ambos lados de la igualdad. Y entonces, ¿qué tenemos ahora,  después de realizar estas operaciones?  El primer término es k por delta x  subíndice uno al cuadrado sobre m,   menos dos por g por h subíndice dos es  igual a v subíndice dos al cuadrado. Para encontrar la velocidad de lanzamiento,   simplemente calculamos la raíz  cuadrada de ambos lados de la igualdad. Como resultado, v subíndice dos, que  es igual a la velocidad de lanzamiento,   es igual a la raíz cuadrada de la constante de  resorte por delta x subíndice uno al cuadrado   sobre la masa menos dos por la constante de  aceleración de la gravedad por h subíndice dos. Ahora solo tenemos que  sustituir los valores numéricos.  Para realizar esta operación, utilizaremos esta  versión de la constante de resorte para poder   trabajar con todas las unidades  y asegurarnos de que funcionen.  Así, sustituimos cuatro kilogramos por segundo  al cuadrado; delta x subíndice uno es igual   a 0.1 metros, que, elevado al cuadrado,  da como resultado 0.01 metros cuadrados;   todo sobre la masa, que es 0.01 kilogramos, menos  dos por 9.8 metros por segundo al cuadrado por   la altura en el estado dos, que es igual a 0.1  metros, por lo que multiplicamos por 0.1 metros. Analicemos primero las unidades.  solo para asegurarnos de que estamos   obteniendo las unidades correctas. Entonces, este kilogramo se va a   cancelar con este kilogramo, por lo que  este término tiene unidades de metros   cuadrados por segundos al cuadrado, Luego, en esta multiplicación   obtendremos las unidades de metros  cuadrados por segundos al cuadrado.  Así que esta operación tiene sentido.  porque representa una diferencia de   dos términos con unidades de metros  cuadrados por segundos al cuadrado.  Después, cuando se calcule la raíz  cuadrada, obtendremos metros por segundo,   que son las unidades correspondientes  a la magnitud de la velocidad. Una vez que analizamos las unidades, con ayuda  de una calculadora podemos determinar el valor   de la velocidad de lanzamiento. Los números 0.01  se cancelarán, por lo que el primer término es   cuatro. A este valor le restaremos la  multiplicación de 2 por 9.8 por 0.1,   cerramos los paréntesis y guardamos el resultado. Después, calculamos la raíz cuadrada del resultado   anterior, obteniendo así este valor. que es  aproximadamente igual a 1.43 metros por segundo,  En conclusión, 1.43 metros por segundo es la   velocidad en el estado 2 o velocidad  de lanzamiento de la masa de 0.01 kg.