Las leyes de Kirchhoff describen el comportamiento de la corriente en un nodo y del voltaje alrededor de una malla. Estas dos leyes son las bases del análisis de circuitos avanzados. Escrito por Willy McAllister.
Las leyes de Kirchhoff del voltaje y la corriente están en el corazón del análisis de circuitos. Con estas dos leyes, más las ecuaciones para cada componente individual (resistor, capacitor, inductor), tenemos el conjunto de herramientas básicas que necesitamos para comenzar a analizar circuitos.
En este artículo supongo que estás familiarizado con las definiciones de nodo, nodo distribuido, rama y malla.
Tal vez quieras tener a la mano papel y lápiz para trabajar los problemas de ejemplo.

Las corrientes en un nodo

Antes de que hablemos de la teoría, trata de resolver este ejemplo. El esquema a continuación muestra cuatro corrientes de rama que fluyen dentro y fuera de un nodo distribuido. Las distintas corrientes están en miliamperes, mA\text{mA}. Una de las corrientes, i\blueD i, es desconocida.
Problema 1: ¿Cuánto vale ii?
Aquí hay otro ejemplo, esta vez con variables en vez de valores numéricos. Este nodo resulta tener 55 ramas, y por cada rama puede (o no) pasar una corriente, que denotamos i1ai5i_1 \,\text{a} \, i_5.
Todas las flechas dibujadas apuntan hacia adentro. Esta elección para las direcciones es arbitraria; a estas alturas, que apunten hacia adentro es tan buena opción como cualquier otra. Las flechas establecen una dirección de referencia para lo que decidimos llamar una corriente positiva.
Observa la corriente de rama i1{i_1}.
¿Hacia dónde va?
La primera cosa que hace i1{i_1} es fluir hacia adentro del nodo (representado por el punto negro).
¿Y luego?
Hay dos cosas que i1{i_1} no puede hacer: la carga que fluye en i1{i_1} no puede permanecer en el nodo (pues este no tiene un lugar para almacenarla), y la carga de i1{i_1} no puede esfumarse de los cables, al menos bajo circunstancias normales.
¿Qué le queda?: la corriente tiene que salir del nodo por una o más de las ramas restantes.
Para el nodo de nuestro ejemplo, escribiríamos esta situación como
i1+i2+i3+i4+i5=0i_1 + i_2 + i_3 + i_4 + i_5 = 0
Si i1{i_1} es una corriente positiva que fluye hacia adentro del nodo, entonces una o más de las otras corrientes debe fluir hacia afuera. Estas corrientes que salen tendrán un signo negativo -.
La ley de corriente de Kirchhoff captura muy bien esta observación sobre las corrientes que fluyen en un nodo.

La ley de corriente de Kirchhoff

La ley de la corriente de Kirchhoff dice que la suma de todas las corrientes que fluyen hacia un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del nodo. Se puede escribir como,
iadentro=iafuera\large \displaystyle \sum i_{adentro} = \sum i_{afuera}

La ley de corriente de Kirchhoff: verificación de conceptos

Todas las corrientes están en miliamperes, mA\text{mA}.
Problema 2: ¿cuánto vale i5i_5?
Problema 3: ¿cuánto vale i3i_3 en este nodo distribuido?

Voltaje alrededor de una malla

A continuación mostramos un circuito con cuatro resistores y una fuente de voltaje. Vamos a resolver desde cero este circuito por medio de la ley de Ohm. Después, estudiaremos los resultados y haremos algunas observaciones. El primer paso para resolver el circuito es calcular la corriente; luego, el voltaje que pasa a través de cada resistor.
Reconocemos que este es un circuito en serie, por lo que solo fluye una corriente, i\blueD i, a través de los cinco componentes. Para encontrar i\blueD i, podemos reducir los cuatro resistor en serie a un solo resistor equivalente:
Rserie=100+200+300+400=1000ΩR_{serie} = 100 + 200 + 300 + 400 = 1000\,\Omega
Por medio de la ley de Ohm, la corriente es:
i=VRserie=20V1000Ω=0.020A=20mA\blueD i = \dfrac{V}{R_{serie}} = \dfrac{20\,\text V}{1000\,\Omega} = 0.020\,\text A = 20 \,\text{mA}
Ahora conocemos la corriente. En el paso siguiente, encontramos el voltaje que pasa a través de cada una de los cuatro resistores. Regresa al diagrama original y añade etiquetas a cada uno de los cinco componentes, así:
Aplica la ley de Ohm cuatro veces más para encontrar el voltaje que pasa a través de cada resistor:
vR1=iRv\phantom{_{\text{R1}}} = \blueD i\,\text R
vR1=20mA100Ω=+2Vv_{\text{R1}} = 20\,\text{mA} \cdot 100\,\Omega = +2\,\text{V}
vR2=20mA200Ω=+4Vv_{\text{R2}} = 20\,\text{mA} \cdot 200\,\Omega = +4\,\text{V}
vR3=20mA300Ω=+6Vv_{\text{R3}} = 20\,\text{mA} \cdot 300\,\Omega = +6\,\text{V}
vR4=20mA400Ω=+8Vv_{\text{R4}} = 20\,\text{mA} \cdot 400\,\Omega = +8\,\text{V}
Ahora conocemos la corriente y todos los voltajes. Hemos resuelto el circuito.
Podemos escribir los voltajes para los resistores y la fuente en el esquema. Nos referimos a cada uno de estos cinco voltajes como voltaje del componente (también etiquetamos los nodos del circuito, a\greenE{\text a} a e\greenE{\text e}, de tal manera que nos podemos referir a ellos).
Hagamos una verificación rápida. Suma todos los voltajes que pasan a través de los resistores,
2V+4V+6V+8V=20V2\,\text{V} + 4\,\text{V} + 6\,\text{V} + 8\,\text{V} = 20 \,\text V
La suma de los voltajes individuales es igual al voltaje de la fuente. Esto tiene sentido, y confirma nuestros cálculos.
A continuación sumaremos de nuevo los voltajes, pero con un nuevo procedimiento: "ir alrededor de la malla". No haremos nada nuevo, simplemente reordenaremos el mismo cálculo.

Procedimiento: suma todos los voltajes de los componentes alrededor de la malla

Paso 1: escoge un nodo inicial.
Paso 2: escoge una dirección para recorrer la malla (en el sentido o contrasentido de las manecillas del reloj).
Paso 3: recorre la malla.
Incluye los voltajes de los componentes en una suma creciente de acuerdo a estas reglas:
  • Cuando te encuentres un nuevo componente, observa el signo del voltaje conforme lo atraviesas.
  • Si el signo es ++, entonces habrá una bajada en el voltaje a través del componente. Resta el voltaje del componente.
  • Si el signo es -, entonces habrá una subida en el voltaje a través del componente. Suma el voltaje del componente.
Paso 4: continúa al rededor de la malla hasta que regreses al punto de partida y hayas incluido todos sus componentes.

Aplica el procedimiento de malla

Sigamos el procedimiento paso a paso.
  1. Comienza en el nodo de la esquina izquierda a\greenE{\text a}.
  2. Camina en dirección de las manecillas del reloj.
  1. El primer componente con el que nos encontramos es la fuente de voltaje, y el primer signo del componente es -, por lo que habrá una subida de voltaje a través de él. Al consultar el paso 3 del procedimiento, inicializamos la suma de la malla sumando la fuente de voltaje.
vmalla=+20Vv_{malla} = +20\,\text V que pasan de la fuente de voltaje al nodo b\greenE{\text b}.
El siguiente componente que encontramos es el resistor de 100Ω100\,\Omega. El primer signo de su voltaje es ++. Al consultar de nuevo el procedimiento, restamos el voltaje del componente de la suma.
vmalla=+20V2Vv_{malla} = + 20\,\text V - 2\,\text V que pasan del resistor de 100Ω100\,\Omega al nodo c\greenE{\text c}.
Sigue caminando. A continuación visitamos el resistor de 200Ω200\,\Omega, y de nuevo encontramos primero un signo ++, por lo que restamos este voltaje.
vmalla=+20V2V4Vv_{malla} = + 20\,\text V - 2\,\text V - 4\,\text V que pasan del resistor de 200Ω200\,\Omega al nodo d\greenE{\text d}.
Completamos la malla con la suma de dos componentes más,
vmalla=+20V2V4V6Vv_{malla} = + 20\,\text V - 2\,\text V - 4\,\text V - 6\,\text V \, que va del resistor de 300Ω300\,\Omega al nodo e\greenE{\text e}.
vmalla=+20V2V4V6V8Vv_{malla} = + 20\,\text V - 2\,\text V - 4\,\text V - 6\,\text V - 8\,\text V\, después del resistor de 400Ω400\,\Omega.
(Revisa el diagrama del circuito y asegúrate de que mis dos últimos signos - son correctos).
  1. Listo. Hemos vuelto al nodo a\greenE{\text a}. ¿Cuánto suma la expresión para vmallav_{malla}?
vmalla=+20V2V4V6V8V=0v_{malla} = + 20\,\text V - 2\,\text V - 4\,\text V - 6\,\text V - 8\,\text V = 0
La suma de los voltajes alrededor de la malla es 00. El nodo inicial y final es el mismo, por lo que el voltaje inicial y final es el mismo. En tu "camino", encontraste subidas y bajadas de voltaje, que se cancelan una vez que vuelves al comienzo. Esto sucede porque la fuerza eléctrica es conservativa. Si regresas al comienzo, no hay una ganancia o pérdida neta de energía.
Vamos a hacer otro ejemplo, esta vez con variables en vez de valores numéricos. Los voltajes y los nodos del diagrama siguiente están propiamente etiquetados. La polaridad en estos resistores está dispuesta de una forma que tal vez no esperabas, con todas las flechas apuntando en la misma dirección alrededor de la malla. Esto revela una propiedad interesante de las mallas.
Vamos a recorrer la malla al sumar voltajes a medida que avanzamos. Nuestro punto de partida es el nodo a\greenE{\text a} en la esquina inferior izquierda. Nuestro recorrido va en sentido de las manecillas del reloj alrededor de la malla (una elección arbitraria, en cualquier sentido funciona).
Empezando en el nodo a\greenE{\text a}, subiendo, primero encontramos un signo menos en la fuente de voltaje, lo que dice que va a ser una subida de voltaje de vabv_{ab} volts pasando por la fuente de voltaje. Puesto que es una subida de voltaje, este elemento de voltaje tiene signo ++ cuando lo incluimos en la suma de la malla.
Continúa alrededor de la malla, del nodo b\greenE{\text b} al c\greenE{\text c} al d\greenE{\text d} al e\greenE{\text e}, y terminamos en el nodo inicial a\greenE{\text a}. Añade los voltajes de los resistores a la suma del voltaje de la malla conforme los atravieses. Las etiquetas de polaridad para cada resistor están dispuestas de tal forma que siempre encuentres un signo - a medida que te acerques a cada uno. Así, todos los voltajes de los resistores tendrán un signo ++ dentro de la suma. Al final, la suma del voltaje de malla se ve así:
+vab+vR1+vR2+vR3+vR4+v_{\text{ab}} + v_{\text{R1}} + v_{\text{R2}} + v_{\text{R3}} + v_{\text{R4}}
¿Cuánto vale esta suma? Razonemos la respuesta.
La malla comienza y termina en el mismo nodo, por lo que los voltajes inicial y final son idénticos. Caminamos alrededor de la malla, sumamos los voltajes y volvimos al mismo voltaje. Esto significa que los voltajes deben sumar cero. Para la malla de nuestro ejemplo, escribiríamos este hecho como
vab+vR1+vR2+vR3+vR4=0v_{\text{ab}} + v_{\text{R1}} + v_{\text{R2}} + v_{\text{R3}} + v_{\text{R4}} = 0
La ley de voltaje de Kirchhoff captura de forma general esta observación sobre los voltajes alrededor de una malla.

Ley de voltaje de Kirchhoff

Ley de voltaje de Kirchhoff: La suma de los voltajes alrededor de una malla es igual a cero.
Podemos escribir la ley de voltaje de Kirchhoff como
nvn=0\large\displaystyle \sum_n v_n = 0
donde nn es el número de voltajes de los componentes en la malla.
También puedes enunciar la ley de voltaje de Kirchhoff de otra manera: alrededor de una malla, la suma de subidas de voltaje es igual a la suma de bajadas de voltaje.
vsubida=vbajada\large \displaystyle \sum v_{subida} = \sum v_{bajada}
La ley de voltaje de Kirchhoff tiene algunas propiedades simpáticas:
  • Puedes trazar una malla que comience en cualquier nodo. Si caminas alrededor de la malla y terminas en el nodo inicial, la suma de los voltajes de la malla es igual a cero.
  • Puedes recorrer la malla en cualquier dirección y la ley de voltaje de Kirchhoff conserva su validez.
  • Si un circuito tiene múltiples mallas, la ley de voltaje de Kirchhoff es válida para cada una.

¿Todos los voltajes positivos?

Si te estás preguntando: ¿cómo pueden los voltajes de los componentes ser todos positivos si suman cero? Está bien. Las flechas de los voltajes y los signos de polaridad son solo referencias para el voltaje. Cuando el análisis del circuito está terminado, uno o más de los voltajes de los componentes alrededor de la malla será negativo con respecto a su flecha de voltaje. Los signos de los voltajes reales siempre se arreglarán durante las cuentas.

Ley de voltaje de Kirchhoff: verificación de conceptos

Problema 4: ¿cuánto vale vR3v_{R3}?
Recuerda: revisa el primer signo en cada uno de los voltajes de los componentes conforme caminas alrededor de la malla.

Resumen

Fuimos presentados con nuestros dos nuevos amigos.
La ley de corriente de Kirchhoff para todas las corrientes de rama en un nodo,
nin=0\large\displaystyle \sum_n i_n = 0
La ley de voltaje de Kirchhoff para todos los voltajes alrededor de una malla,
nvn=0\large\displaystyle \sum_n v_n = 0
Nuestros nuevos amigos a veces se refieren a sí mismos por sus iniciales, LCK y LVK.
Y aprendimos que es importante prestar atención a los signos del voltaje y de la corriente si queremos obtener respuestas correctas. Este es un proceso tedioso que requiere mucha atención. Es una habilidad fundamental para cualquier ingeniero eléctrico de calidad.
Cargando