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Prueba: el campo generado por una placa infinita (parte 2)

Transcripción del video

en el vídeo pasado teníamos una placa infinita con densidad de carga uniforme y además tomamos una carga q h unidades arriba n sobre la placa ba lo que estábamos haciendo era calcular el campo eléctrico o bueno la componente n del campo eléctrico de un anillo de radio r alrededor de la base de donde se proyectaba la carga y bueno determinamos que era esta expresión de acá con esto podemos decir que eso justo es el campo eléctrico no sólo la componente en ye sino el campo eléctrico porque por el argumento que teníamos acá arriba las componentes en x se van a cancelar así que calcular la componente en ya basta para calcular el campo eléctrico bueno lo que habíamos dicho es que ahora teníamos que sumar todas estas expresiones para todos los radios para determinar el campo eléctrico causado por toda la placa por toda la placa entonces eso es lo que vamos a hacer ahorita sumando todas estas componentes en jr vamos a obtener la componente n del campo eléctrico del campo eléctrico de todas y con eso pues vamos a determinar el campo eléctrico no sólo la componente en ye por el argumento de simetría vale entonces vamos a hacer justo eso y ahora sumar bueno sumar no es precisamente sumar sino que es integrar porque estamos sumando una infinidad de radios y además tenemos aquí un cierto de r entonces justo lo que tenemos que hacer ahorita es una integral vale entonces esto va a ser un poco de matemáticas pesadas por eso baje para abrirme un poco de espacio y además deje el dibujo para que no se nos olvide que estamos haciendo a veces es fácil perderse en las cuentas pero bueno vamos a hacerlo entonces déjame déjame ponerle y ahora si este es el mero mero el campo eléctrico que nos interesa es igual a la integral de y lo que vamos a lo que vamos a hacer es sumar todas estas expresiones k por h por 2 y sigma r / / h cuadrada + r cuadrada a la tres medios de r y las queremos bueno las queremos considerar todas estas expresiones para todos los radios de modo que cubran todo el plano entonces vamos a pensar desde que el radio es cero hasta que el radio es infinito entonces esto de aquí ya nos da la expresión para el campo eléctrico que nos interesa muy bien esta integral parece más o menos fea así que déjame sacar las constantes las que no dependen de r para que se vea un poco más atacable entonces voy a sacar todo excepto este 2 que ahorita nos va a quedar este pues cómodo que esté ahí adentro entonces sacando todo lo demás que sería un y cig maca h lo voy a poner así bueno en el orden que están allá cada h sigma por la integral de 0 a infinito de 12 r / h cuadrada más r cuadrada de r de r muy bien entonces queremos determinar esta integral ya no se ve tan fea es con respecto a r ahora para resolverla es básicamente hacer la regla de la cadena inversa o sea hacer una sustitución entonces déjame hacer esta sustitución para ver cuánto nos queda la sustitución que nos conviene a perdonar y me faltan tres medios la sustitución que nos conviene exponer y igual a este denominador bueno a este cachito del denominador h cuadrada masri cuadrada vamos a ver qué nos queda voy a hacer la sustitución de este lado voy a poner y bueno lo que queremos es determinar la integral ahorita voy a hacer la indefinida de dos r / h cuadrada más r cuadrada a la tres medios de r y lo que propongo es hacer la sustitución o igual a h cuadrada más ere cuadrada de este modo si hacemos y si derivamos con respecto a r dvd r es igual a pues la h es constante con respecto a r así que nada más nos queda 12 r y por lo tanto tenemos que de un dv es igual a 12 r de r de esta forma esta integral indefinida es igual a la integral de déu de 1 entre igual a tres medios igual a tres medios por lo que es lo mismo la integral de iu a la menos tres medios de eeuu y esta es fácil de hacer verdad esta es simplemente pues algo elevado a una potencia entonces tenemos que sumarle uno a la menos un medio y dividir entre el exponente o sea nos quedaría menos 2 si entonces sería eso de ahí aquí bueno o sea sería bueno ponerle el mace pero después cuando hagamos la integral definida pues ya no nos va a importar esa constante porque se van a cancelar ok entonces esto está en términos de eeuu ya nada más no voy a poner aquí ya nada más lo ponemos en términos de de errebal entonces es menos 2 dividido entre porque elevar a la menos es dividir entre la raíz cuadrada de h cuadrada más ere cuadrada muy bien entonces lo único que hice de este lado aquí a la derecha es encontrar la integral indefinida de esta expresión pero ahora me interesa pues hacerla definida entonces déjame regresar al lado derecho voy a tomar este color azul que está bonito entonces me queda igual a k h sigma vale kh y sigma y tenemos que poner la integral definida y la integral definida de esta expresión pero ya calculamos la indefinida entonces ya nada más basta con evaluar con evaluar menos 2 entre raíz cuadrada de h cuadrada más ere cuadrada en infinito y a eso restarle la evaluación en cero si simplemente el segundo teorema fundamental del cálculo muy bien entonces cuánto nos queda pues vamos a ver o sea que le sucede a esta expresión se evalúa en infinito si evalúa en infinito entonces aquí abajo me queda aún algo al infinito r al 4 sea infinito al cuadrado es infinito esto de aquí me queda muy grande entonces esto es 0 esta expresión es cero entonces nos quedaría acá h y sigma por 0 - y luego esta expresión evaluada en 0 entonces esta expresión evaluada en 0 aquí arriba nos queda menos 2 y aquí abajo si r si r 0 nos queda raíz de h cuadrada entonces este menos con este menos se hace más dos entre raíz cuadrada de h cuadrada vamos a simplificar un poco para ver que nos quedan esto de aquí es igual h sigma y aquí el 22 sep y sigma y tenemos que dividir dividir entre la raíz de h cuadrada pero la raíz de h cuadrado simplemente h entonces observa aquí tenemos h aquí tenemos h se cancelan y de este modo hasta el final nos queda dos por k por pi por sigma y déjame poner esto en un color así más padre en un color más brillante porque esta de acá ya es la mera mera expresión para el campo eléctrico de la placa infinita sobre esta carga que pusimos por acá ahora esto está padrísimo sí fíjate teníamos una placa infinita con carga uniforme y pusimos un cierto punto altura h entonces pues parecería ser que pues la h tendría que interactuar aquí pero no esta expresión de acá es independiente de h no importa a qué altura pongamos la carga obtenemos el mismo campo eléctrico entonces justo eso lo que nos está diciendo es que el campo eléctrico es constante y por lo tanto la fuerza es constante verdad una vez que ponemos una carga la fuerza que se ejerce es constante entonces el campo es igualito por todas partes y por lo tanto es un campo eléctrico constante que está padrísimo además por aquí hay otras constantes verdad que podemos pues analizar las miradas o sea finalmente de qué depende el campo eléctrico pues 2 que es un numerito de acá la constante de q lo que es otro numerito de pi está padre que tenga un día tendríamos que pensar en eso a ver qué quiere decir pero bueno en el fondo la única cosa eléctrica que estamos pidiendo es este sigma que es la densidad vale entonces el campo eléctrico depende básicamente nada más de la densidad bueno espero que esto te haya parecido súper satisfactorio fue un problema largo y maratónico pero llegamos a un resultado bien bonito que el campo eléctrico no depende de la altura entonces si pongo una carga ahí o si pongo la carga ahí entonces a esta altura esta altura oa esta altura en cualquiera de esas situaciones tenemos que la fuerza ejercida o bien el campo eléctrico son constantes vale bueno a partir de esta información que hicimos en estos en esto en este vídeo y en el anterior ahora sí vamos a poder pensar que existen los campos eléctricos uniformes y con esto pues ya vamos a platicar un poco más cómodamente acerca de las placas paralelas y de qué sucede lejos de las orillas bueno nos vemos pronto