Energía potencial eléctrica (parte 2: cálculo involucrado)

en el vídeo pasado vimos cómo calcular el trabajo necesario para mover una carga en un campo eléctrico constante lo que vamos a hacer en este vídeo es lo mismo pero ahora nuestro campo eléctrico va a ser variable eso nos va a ayudar a determinar la energía potencial eléctrica de una carga con respecto a un punto vale bueno para todo esto vamos a empezar con una carga puntual que voy a poner por aquí voy a poner por aquí la edad no tiene por qué ser una carga puntual pero nos ayuda a pensar un poco más las cosas entonces está ya que es una carga puntual y le voy a poner más q un culo más es una carga de un culo mbps y es positiva vale y bueno aquí ya vamos viendo que tiene un campo eléctrico distinto al del vídeo pasado porque el campo eléctrico generado con esta carga ahora sí es variable verdad de hecho está dado en términos de la fórmula que teníamos antes que nos dice que el campo eléctrico el campo eléctrico es igual a la constante de colom por la carga q no por la carga q uno dividido entre el radio al cuadrado entonces dependiendo de a qué distancia estemos vamos a tener un distinto campo eléctrico o bueno una distinta magnitud del campo eléctrico entonces vamos a hacer el dibujo de cómo se vería ese campo eléctrico y para eso voy a poner los vectores para que van saliendo de aquí es decir pongo por aquí una carga positiva y veo hacia dónde se iría aquí como está muy cerca pues entonces estamos dividiendo entre algo chiquito y por lo tanto tendríamos una magnitud grande que va radialmente hacia afuera vemos similar si estamos por aquí pues vamos a tener también que radialmente hacia afuera nos alejamos fuertemente y de hecho si este punto y este punto están a la misma distancia entonces estos vectores deberían de tener la misma longitud voy a dibujar otros cuantos más o menos a esta misma a esa misma distancia otro por acá mirando de ser de la misma longitud de a lo mejor no me está quedando muy muy bien pero bueno entonces eso es estando pues aquí de cerquita pero si nos alejamos un poco más entonces ahora va a disminuir el tamaño de las flechitas verdad o de los vectores podemos pensar esto como un campo vectorial entonces a lo mejor aquí ya no ya no sale tanto ya son flechas un poco más chiquitas también por acá pero siempre van hacia afuera están entonces siempre va hacia afuera y hacia afuera por acá serían más chiquitas bueno se ve la idea verdad esto nada más es un repaso de lo que ya habíamos platicado y pues resulta que justo las longitudes de estos vectores van disminuyendo con el cuadrado de la distancia vale ok entonces aquí tenemos un dibujo del campo eléctrico así es como se ve y pues tiene bastante sentido verdad y todo esto venía de la ley de colom porque si poníamos otra carga q 2 esto sigue siendo un repaso pero si poníamos otra carga q 2 por acá voy a ponerla digamos por acá y poníamos otra carga q2 y pensamos que también es positiva entonces para encontrar la fuerza que ejerce el campo de ésta sobre ésta lo que tenemos que hacer es multiplicar esta carga por el campo eléctrico entonces tendríamos que la fuerza que la fuerza es igual a la carga por el campo eléctrico y finalmente nos queda igual a reacomodando cada por q1 por q 2 y eso dividido dividido entre la distancia al cuadrado que es justo la ley de colombia entonces bueno todo tiene mucho sentido hasta ahorita vale entonces vamos a tomar esta carga q2 y vamos a pensar que es positiva entonces como ya dijimos se va a alejar de esta carga de curriculums lo que quiero hacer ahorita es determinar el trabajo necesario para empujar esta carga a cierta distancia hacia adentro entonces vamos a hacerlo según el siguiente diagrama vamos a pensar que esta carga la queremos acercar bueno vamos a pensar que inicialmente déjame tomar otro color que inicialmente esta carga está no se deja no ponerle 10 metros 10 metros y que queremos acercarla hasta la mitad aquí hasta los 5 metros entonces estoy acá sería 5 metros esto es acá sería 5 metros vale queremos mover esta carga 5 metros hacia acá entonces la pregunta es cuánto trabajo necesitamos para hacer eso q1 y q2 pues no son numeritos entonces nuestra respuesta nos va a quedar en términos de q no de q2 quizás la constante de colom pero aquí sí vamos a poder meter el radio vale entonces cómo le hacemos para determinar esto bueno pues para encontrar el trabajo tenemos que ver la fuerza que aplicamos por la distancia pero ahora la fuerza que tenemos que aplicar en cada momento va cambiando porque la fuerza que causa este campo eléctrico que ejerce este campo eléctrico va variando entonces bueno para hacer las cosas ata cables para que podamos resolver el problema lo que vamos a pensar es que en un pequeño cambio voy a ponerlo con color rojo vamos a pensar que en un pequeño cambio la fuerza que necesitamos es constante entonces a este pequeño cambio me voy a poner de r es un cambio infinitesimal así minúsculo y si ya empezamos a hablar de cosas infinitesimales estos son una cálculo así que bueno si si si no te acuerdas de cálculo ve a repasar los vídeos y bueno si no sabes cálculo sería bueno que los ché caras para aprender de estas cosas que vamos a platicar pero bueno entonces la cosa es que aquí en un pequeño cambio podemos pensar que la fuerza es constante y que está dada de la de la forma o sea justo por estar acá por q no por q 2 dividido entre cuadrada vale entonces el trabajo el pequeño trabajo que vamos a realizar aquí vamos a llamarle así de w el pequeño trabajo que realizamos en este caso va a ser igual a la fuerza que estamos ejerciendo por la pequeña distancia que nos estamos moviendo por de r ahora ojo cuidado aquí tengo que poner un signo menos porque pues bueno porque el campo está ejerciendo esta fuerza esta fuerza hacia afuera pero nosotros queremos mover esta carga hacia adentro hacia adentro 5 metros entonces justo tenemos que compensar la fuerza que causa este campo eléctrico vale hacia adentro hacia el otro lado quizás un poquito más para que la carga se empiece a mover pero ya que ejercimos un poquito más ya nada más es necesario hacer esta pero hacia adentro y por eso tiene un signo menos va bueno entonces ahora sí si estoy aquí es el pequeño trabajo que hay que realizar en este caso como le hacemos para calcular el trabajo total ahora sí déjame ponerlo así como lo hacemos para calcular así el trabajo total pues lo que tenemos que hacer es sumar una infinidad de estos cambios así infinitamente pequeños todos estos pequeños de r entonces si estamos hablando de una suma infinita de cambios pues infinitamente pequeños eso es claramente una integral vale entonces déjame plantear la integral entonces el trabajo el trabajo que tenemos que realizar lo voy a poner si por aquí tengo espacio entonces el trabajo que tenemos que realizar es igual a la integral y de dónde a dónde tenemos que movernos pues de 10 de 10 a 5 de todo esto de acá entonces es menos acá q 2 dividido entre re cuadrada de r vale se puede ver un poco raro que los límites de integración abajo este grande y arriba esté el pequeño pero se debe a que nos estamos bien que nos estamos moviendo de distancia 10 a distancia 5 vale vamos de 10 a 5 ok vamos a resolver esta integral no es tan fea como parece mira vamos a sacar todas las constantes que es menos cara q1 q2 menos k q1 q2 por la integral de 10 a 5 este ere cuadrada lo voy a poner como un ere a la menos 2 de r y esta integral es fácil de hacer es una ley estoy aquí es algo elevado a un exponente entonces podemos hacerlo de la siguiente forma esto nos queda igual a menos k q1 q2 y hacemos esta integral y real a menos 2 tenemos que sumarle 1 al exponente nos queda irreal a menos 1 y hay que multiplicar por menos porque estamos dividiendo entre este menos vale si quieres puedes verificar que al derivar efectivamente nos da el real a menos 2 pero bueno ya tenemos aquí la anti derivada y esa la tenemos que evaluar en 5 y restarle la evaluación en 10 y vamos a ver qué nos queda este menos con este menos los voy a juntar para que se hagan un más entonces me queda acá q1 q2 y adentro del paréntesis que me queda sería era la menos 1 evaluado en 5 que es un quinto menos era la menos 1 evaluado en 10 que es un decir sí y esto cuánto sería pues haber un quinto menos un décimo cuanto es un quinto son dos décimos dos décimos menos un décimo es un décimo entonces esto es igual acá por q1 por q 2 entre 10 va entonces esto de acá estoy acá es el trabajo que necesitamos hacer para mover nuestra carga de este punto a este punto de acá de modo similar podemos decir que esta carga cuando está en este punto de aquí tiene una energía potencial eléctrica de cada uno q 2 / 10 déjame le pongo por aquí llorís jules tiene una tiene una energía potencial eléctrica de cada uno q 2 / 16 con respecto a y recuerda que eso es importante con respecto a este punto de acá bueno vamos a dejarle hasta aquí y en el siguiente vídeo vamos a ver otro concepto interesante nos vemos pronto