¿Qué es la fuerza de flotación?

¿Alguna vez se te han caído las gafas de natación en la parte más profunda de la piscina y has tratado de nadar hacia abajo para recuperarlas? Puede ser muy frustrante, pues el agua trata de empujarte de regreso a la superficie conforme nadas hacia abajo. El nombre de esta fuerza que un fluido ejerce en dirección hacia arriba sobre un objeto sumergido dentro de él es la fuerza de flotación.

Entonces, ¿por qué los fluidos ejercen una fuerza de flotación dirigida hacia arriba sobre los objetos sumergidos? Tiene que ver con la diferencia de presiones entre la parte inferior y la parte superior del objeto sumergido. Digamos que alguien tiró una lata de frijoles a una alberca con agua.

Dado que la presión $(P_{manométrica}=\rho gh)$‍ se incrementa conforme nos sumergimos en un fluido, la fuerza debida a la presión ejercida hacia abajo en la parte superior de la lata de frijoles será menor que la fuerza debida a la presión ejercida hacia arriba en la parte inferior de la lata.

Esencialmente, es así de simple. La razón por la cual hay una fuerza de flotación es por el inevitable hecho de que la parte inferior de un objeto (la parte que está más sumergida) siempre está a mayor profundidad que su parte superior. Esto significa que la fuerza hacia arriba tiene que ser mayor que la fuerza hacia abajo.

Entender de forma conceptual por qué debe existir una fuerza de flotación es muy bueno, pero también debemos ser capaces de determinar su tamaño exacto.

Podemos empezar con el hecho de que el agua en la parte superior de la lata la empuja hacia abajo con una fuerza $F_{abajo}$‍, y el agua en la parte inferior de la lata la empuja hacia arriba con una fuerza $F_{arriba}$‍. Podemos encontrar la fuerza total que ejerce la presión del agua sobre la lata (que la llamamos fuerza de flotación $F_{flotación}$‍) simplemente al tomar la diferencia entre las magnitudes de la fuerza hacia arriba $F_{arriba}$‍ y la fuerza hacia abajo $F_{abajo}$‍.

Podemos relacionar estas fuerzas con la presión al usar su definición, $P={\displaystyle \frac{F}{A}}$‍, de donde se puede despejar la fuerza para obtener $F=PA$‍ . Así, la fuerza que ejerce el fluido hacia arriba sobre la parte inferior de la lata será $F_{arriba}=P_{inferior}A$‍ y la fuerza que se ejerce hacia abajo sobre la parte superior de la lata será $F_{abajo}=P_{superior}A$‍. Al sustituir estas expresiones para cada $F$‍ respectiva en la ecuación anterior, obtenemos,

Podemos usar la formula para la presión hidrostática manométrica $P_{manométrica}=\rho gh$‍ para encontrar expresiones de las presiones dirigidas hacia arriba y hacia abajo. La fuerza generada por la presión dirigida hacia arriba en la parte inferior de la lata es $P_{inferior}=\rho g{h}_{inferior}$‍ y la fuerza generada por la presión dirigida hacia abajo en la parte superior de la lata es $P_{superior}=\rho g{h}_{superior}$‍ . Podemos sustituir estas presiones en la ecuación anterior y obtener

Observa que cada término en esta ecuación contiene la expresión $\rho gA$‍, por lo que podemos simplificar esta fórmula al factorizar $\rho gA$‍ para obtener,

Ahora, el término $h_{inferior}-h_{superior}$‍ es importante y algo interesante está por suceder debido a él. La diferencia entre la profundidad de la parte inferior de la lata $h_{inferior}$‍ y la profundidad de la parte superior de la lata $h_{superior}$‍ es exactamente igual a la altura de la lata (mira el diagrama que se muestra a continuación).

Así que podemos reemplazar $(h_{inferior}-h_{superior})$‍ en la fórmula anterior con la altura de la lata $h_{lata}$‍ para obtener

Aquí está la parte interesante. Dado que $A\times h$‍ es igual al volumen del cilindro, podemos reemplazar el término $A{h}_{lata}$‍ por un volumen $V$‍. Nuestro primer instinto podría ser asociar este volumen con el volumen de la lata, pero observa que este volumen también va a ser igual al volumen del agua desplazada por la lata. Por agua desplazada, nos referimos al volumen de agua que se encontraba en el espacio que ahora ocupa la lata.

Así que definitivamente vamos a reemplazar el término $Ah$‍ con un volumen $V$‍, pero ¿deberíamos escribir este volumen como el volumen de la lata o el volumen del fluido desplazado? Esto es importante, porque los dos volúmenes podrían ser diferentes si el objeto solo está sumergido parcialmente en el fluido. La respuesta corta es que debemos usar el volumen del fluido desplazado $V_{fluido}$‍ en la fórmula, porque el fluido desplazado es el factor que determina la fuerza de flotación.

Eso es más o menos todo. Esta fórmula da la fuerza de flotación sobre una lata de frijoles (o cualquier otro objeto) sumergida total o parcialmente en un fluido. Hagamos un balance de lo que tenemos ahora. Observa cómo la fuerza de flotación solo depende de la densidad del fluido $\rho$‍ en la que el objeto está sumergido, la aceleración de la gravedad $g$‍ y el volumen del fluido desplazado $V_f$‍.

Sorprendentemente, la fuerza de flotación no depende de la profundidad general del objeto sumergido. En otras palabras, mientras que la lata de frijoles se encuentre totalmente sumergida, llevarla cada vez a mayor profundidad no cambiará la fuerza de flotación. Esto puede parecer extraño, ya que la presión aumenta conforme desciendes a mayor profundidad. Pero la idea principal es que tanto la presión sobre la parte superior de la lata como la presión sobre la parte inferior se incrementarán en la misma cantidad, cancelándose y dejando igual la fuerza de flotación.

Algo puede sonarte que está mal en todo esto. Algunos objetos definitivamente se hunden, pero nosotros acabamos de probar que hay una fuerza dirigida hacia arriba sobre cada objeto sumergido. ¿Cómo puede hundirse un objeto si hay una fuerza dirigida hacia arriba sobre él? Bueno, definitivamente hay una fuerza de flotación dirigida hacia arriba en cada objeto sumergido, aún en aquellos que se hunden. Es solo que en los objetos que se hunden, el peso es mayor que la fuerza de flotación. Si su peso fuera menor que la fuerza de flotación que actúa sobre ellos, flotarían. Resulta que es posible probar que si la densidad de un objeto completamente sumergido (sin importar su forma) es mayor que la densidad del fluido en el que se encuentra, el objeto se hundirá.

La manera en que normalmente verás escrita la fórmula de la fuerza de flotación es con la gravedad $g$‍ y el volumen $V$‍ dispuestos de la forma

Cuando vuelves a escribir la fórmula en esta forma, te permite observar algo sorprendente. El término $\rho V_f$‍ es la densidad del fluido desplazado multiplicada por el volumen del fluido desplazado. Como podemos escribir la definición de densidad $\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}$‍ como $m=\rho V$‍, esto significa que el término $\rho V_f$‍ corresponde a la masa del fluido desplazado. Así que, si quisiéramos, podríamos remplazar el término $\rho V_f$‍ con $m_f$‍ en la ecuación anterior para obtener

Pero ¡mira esto! La masa del fluido desplazado por la magnitud de la aceleración debida a la gravedad es simplemente el peso del fluido desplazado. Notablemente, podemos escribir la fórmula para la fuerza de flotación como

Esta ecuación, cuando es enunciada en palabras, es llamada el principio de Arquímedes. El principio de Arquímedes establece que la fuerza de flotación sobre un objeto es igual al peso del fluido desplazado por el objeto. La simplicidad y el poder de esta idea son sorprendentes. Si quieres conocer la fuerza de flotación que actúa sobre un objeto, solo necesitas determinar el peso del fluido desplazado por el objeto.

El hecho de que ideas tan simples y hermosas (y sin embargo, nada obvias) como esta, resulten de una progresión lógica de principios básicos de la física, es parte de por qué la gente encuentra la física tan útil, poderosa e interesante. Y el hecho de que fuera descubierta por Arquímedes de Siracusa hace más de 2000 años, mucho antes de las leyes de Newton es, por decir lo menos, impresionante.

A veces las personas olvidan que la densidad $\rho$‍ en la fórmula para la fuerza de flotación $F_{flotación}=\rho V_{f}g$‍ se refiere a la densidad del fluido desplazado, no a la densidad del objeto sumergido.

La gente frecuentemente olvida que el volumen en la fórmula de flotación se refiere al volumen del fluido desplazado (o volumen del objeto sumergido), y no necesariamente al volumen completo del objeto.

A veces las personas piensan que la fuerza de flotación aumenta conforme un objeto se lleva a mayor profundidad en un fluido, pero la fuerza de flotación no depende de la profundidad. Solo depende del volumen del fluido desplazado $V_f$‍, la densidad del fluido $\rho$‍ y la aceleración debida a la gravedad $g$‍.

Cuando se les pregunta por el principio de Arquímedes, muchas personas ponen una mirada de confusa exasperación antes de lanzarse en una discusión errante sobre gente saltando desnuda fuera de una tina de baño. Así que asegúrate de entender el principio de Arquímedes lo suficientemente bien para enunciarlo claramente: "Todo objeto es impulsado hacia arriba por una fuerza igual al peso del fluido desplazado por el objeto".

Un gnomo de jardín de $0.650\text{ kg}$‍ se fue a bucear un poco bajo y se encontró en el fondo de un lago de agua dulce de una profundidad de $35.0\text{ m}$‍ . El gnomo de jardín es sólido (no tiene agujeros) y abarca un volumen total de $1.44\times {10}^{-3}{\text{ m}}^3$‍ . La densidad del agua dulce del lago es de $1000{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}$‍ .

Un cubo, con el cual has desarrollado una fuerte relación de compañía, tiene una masa total de $2.33\text{ kg}$‍ .

Sabemos que para flotar, la fuerza de flotación cuando el objeto está sumergido debe ser igual a la magnitud del peso del cubo. Al expresar esta afirmación en forma en forma de ecuación, obtenemos

Un globo esférico enorme, lleno de helio y pintado como una vaca, no puede flotar hacia arriba pues una cuerda lo tiene sujeto al suelo. La estructura plástica del globo más el helio que tiene dentro tiene una masa total de $9.20\text{ kg}$‍ . El diámetro del globo es de $3.50\text{ m}$‍ . La densidad del aire es de $1.23{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}$‍ .

Este problema es un poco más difícil, así que deberíamos dibujar primero el diagrama de cuerpo libre (es decir, un diagrama de fuerzas) para el globo. También hay un montón de números, por lo que podríamos incluir las variables que conocemos en el diagrama, de tal forma que las podamos visualizar (observa que en este caso, el fluido que está siendo desplazado es el aire).

Como el globo de vaca esférico no está acelerando, las fuerzas deben estar balanceadas (es decir, no hay una fuerza neta). Así que podemos empezar por enunciar que las magnitudes totales de las fuerzas hacia arriba y hacia abajo son iguales.