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Un problema de un sistema de masas sobre un plano inclinado

Transcripción del video

para mostrarles qué tan poderosa es esta aproximación de considerar varios objetos como una misma masa veamos este problema este problema no se ve sencillo tenemos dos masas que están colgando de una misma cuerda aquí tenemos una cuerda de cuatro kilogramos que se encuentra en una superficie inclinada esta masa tiene atada una cuerda que pasa por una polea y a su vez está atada a otra masa de 9 kilogramos que se encuentra colgando verticalmente finalmente esta masa está en un plano inclinado 30 grados y para hacer más difícil este problema vamos a decir que el coeficiente de fricción cinética que está entre esta masa de 4 kilogramos y el plano inclinado es de 0.2 así que aquí además tendremos fricción y este puede ser un problema bastante difícil de resolver de la forma difícil aunque es posible resolverlo pero no nos va a ser fácil pues vamos a tener varias ecuaciones con varias incógnitas si queremos aplicar la segunda ley de newton en cada una de las masas pero como estas masas tienen que acelerarse con la misma proporción entonces podemos tratarlas como si fueran un solo objeto así que vamos a encontrar la aceleración del sistema o al menos la magnitud de esta aceleración esta masa de cuatro kilogramos se va a acelerar hacia acá con cierta magnitud y nuestra masa de nueve kilogramos se va a acelerar también hacia abajo cierta magnitud y están unidas por una cuerda que no se va a romper ni se va a estirar así que la magnitud de estas aceleraciones va a ser la misma y es por eso que podemos usar este este truco de tratar estos objetos como si fueran uno solo y la aceleración o la magnitud de la aceleración del sistema depende solamente de las fuerzas externas depende solamente de fuerzas externas las cuales vamos a dividir entre la masa total si quisiéramos encontrar la aceleración de esta masa de 4 kilogramos o al menos su magnitud pues vamos a fijarnos vamos a fijarnos en que si soltaremos estas cajas esta caja de 9 kilogramos es más masiva que la de 4 kilogramos por lo que todo el sistema se comenzaría a mover en esta dirección y a esta dirección vamos a asignarle que sea positiva lo difícil de tomar varios objetos como si fueran uno solo es definir la dirección hacia dónde se van a mover para algunas personas a veces esto como que no es tan sencillo de definir pero pensándolo un poquito encontramos la respuesta y normalmente cuando encontramos la dirección hacia dónde se mueve el sistema esa dirección va a tener signo positivo de manera que cuando aquí me toque poner las fuerzas involucradas aquellas fuerzas que vayan en esta dirección del movimiento van a ser positivas y las que vayan en el sentido opuesto van a ser negativas qué fuerzas hacen que este sistema se mueva una de esas fuerzas es la fuerza de gravedad que se encuentra en esta masa de 9 kilogramos esta fuerza es la que hace que se mueva todo el sistema si yo liberará estas cajas o la soltará todo el sistema comenzaría a moverse en esta dirección debido a esta fuerza de gravedad la ponemos aquí y va a ser 9 kilogramos por 9.8 metros por segundo al cuadrado y es positiva porque va en esta dirección y no tenemos alguna otra fuerza que haga que se mueva el sistema así que ahora vamos a poner aquellas fuerzas que se resisten a este movimiento bueno una de estas fuerzas es la fuerza de gravedad que hay en esta masa de 4 kilogramos pero no toda la fuerza de gravedad que tiene aquí está frenando el sistema la fuerza de gravedad en esta masa de 4 kilogramos va en esta dirección pero sólo aquel componente que tiene esta dirección es el que se resiste al movimiento del sistema y este componente es m g por el seno de teta y si esto no les suena familiar los invito a que vean el vídeo en donde trabajamos con planos inclinados y verán que el componente de la gravedad que va paralelo al plano inclinado es m por g por el seno de theta ahora pongo esto aquí en mi ecuación y va a ser menos la masa de 4 kilogramos por la gravedad 9.8 metros por segundo al cuadrado por el seno del ángulo este es mi ángulo por el seno de 30 grados y aquí vamos a necesitar más espacio porque todavía hay algunas otras fuerzas que se oponen a este movimiento voy a mover esto hacia acá tenemos otra fuerza más que se va a poner a este movimiento y esta es la fuerza de fricción que también va a tener esta dirección pero esta no va a tener la magnitud de m por g por el seno de theta recuerden la fórmula de la fricción cinética es f k igual a muy acá por efe n esto va a ser igual a moca que es esto 0.2 x fn pero aquí hay que tener cuidado en este caso fm no es igual a m por g ya que aquí estamos en un plano inclinado y la fuerza normal va a ir hacia acá aquí la fuerza normal no tiene que equilibrar a toda la fuerza de gravedad cuando se encuentra en un plano inclinado solo tiene que equilibrar a que el componente que es perpendicular al del plano y éste resulta ser m por g por coseno de teta ya que este es el componente de la gravedad en un plano inclinado y si eso no les parece conocido nuevamente les recomiendo que vean estos vídeos donde se habla de los planos inclinados ahí se explica por qué el componente de la gravedad en un plano inclinado es m por g por el coche no detecta y por lo mismo la fuerza normal es m por g por coseno de teta ya que no tenemos aceleración en esta dirección perpendicular a sí aquí no voy a poner mi fuerza normal sino solo a que el componente de la fuerza normal que va en esta dirección y ese componente es este efe acá esto es lo que voy a usar que es solamente aquella parte que se está oponiendo al movimiento en esta dirección así que aquí pongo este componente es el que me interesa y resulta que pues coincidentemente este componente depende de la fuerza normal pero bueno lo que voy a poner aquí es menos 0.2 por la masa que es de 4 kilogramos gravedad 9.8 metros por segundo al cuadrado por el coche lo detecta que en este caso theta es de 30 grados bien ya tengo todo esto y solamente me queda dividirlo entre la masa total del sistema que es 94 van a ser 13 kilogramos y ustedes me pueden decir a ver un momento aquí hay otras fuerzas por ejemplo está la fuerza de tensión que va hacia acá porque no la estamos usando bueno resulta que esta es una fuerza interna y lo atractivo de este truco de considerar estas masas como un solo objeto es que podemos ignorar todas aquellas fuerzas internas aunque tenemos una fuerza de tensión acá que va con el movimiento tendremos también otra fuerza de atención interna que se opone a este movimiento y estas dos se van a cancelar así pues estas fuerzas internas no nos interesan no las tomamos en cuenta porque se van a cancelar mutuamente es por esta razón que usamos este truco de considerar diferentes objetos como una sola masa porque con esto todas las fuerzas internas se van a cancelar y si calculamos todo esto nos va a dar que es igual a 4.75 metros por segundo al cuadrado esta es la magnitud de la aceleración de todo el sistema así que esta masa de cuatro kilogramos se va a acelerar en el sentido del movimiento del sistema con una aceleración de 4.75 metros por segundo al cuadrado esta masa de nueve kilogramos se va a acelerar hacia abajo también con una magnitud de aceleración de 4.75 metros por segundo al cuadrado ahora si ustedes quisieran conocer cuál es el valor de alguna de estas tensiones que finalmente existen solo que no las tomamos en cuenta cuando usamos la aproximación de considerar todos los objetos como una sola masa si ustedes quisieran conocer cuál es la magnitud de esta atención que comúnmente es una segunda pregunta de estos problemas de sistemas de masas ahora yo sólo consideraría esta masa de 9 kilogramos solita vamos a considerarla a ella sola si yo quisiera encontrar la atención y las fuerzas en esta masa de 9 kilogramos escribiría cuál es la aceleración en mi masa de 9 kilogramos va a ser igual a la fuerza neta esta masa de 9 kilogramos dividida entre la masa de 9 kilogramos ahora ya estoy considerando solamente esta masa de 9 kilogramos ya terminé de usar esta aproximación de considerar todos los objetos en el sistema como uno solo porque esto es únicamente una forma rápida de encontrar la aceleración del sistema y ahora que ya encontré este valor si quiero encontrar las fuerzas internas voy a considerar solamente el objeto de mi interés ahora yo sé que mi aceleración en esta masa de 9 kilogramos no es 4.75 sino menos 4.75 metros por segundo al cuadrado ya que la convención indica que todo lo que va con dirección hacia abajo tiene signo negativo por eso es que le ponemos el signo negativo aquí esto va a ser igual son las fuerzas involucradas aquí bueno si considere que mi aceleración hacia abajo es negativa la atención que va hacia arriba va a ser positiva y a esto le voy a restar la fuerza de gravedad que va hacia abajo y por eso tiene signo negativo y es de 9 kilogramos por 9.8 metros por segundo al cuadrado y lo divido entre mi masa de 9 kilogramos ya no estoy considerando la masa total porque ya terminé de usar esta aproximación regresamos a considerar cada uno de los objetos por sí solo y aplicamos la regla de la segunda ley de newton de la manera tradicional de manera que todo lo que va hacia arriba es positivo todo lo que va hacia abajo es negativo y sólo me concentro en esta masa de 9 kilogramos ya no voy a considerar ninguna de estas otras fuerzas ya que no tienen nada que ver con esta masa de 9 kilogramos si despejo la atención me va a quedar que este es igual a 45.5 newtons lo que es menor que 9 por 9.8 lo que tiene sentido ya que si esta atención fuera mayor que la gravedad esta masa se estaría moviendo hacia arriba lo que nos sucede sabemos que este objeto se mueve hacia abajo por lo que la fuerza neta tendrá que tener esta dirección y por lo tanto esta atención tiene que ser menor a la fuerza de gravedad en resumen esta forma de tratar todos los objetos en el sistema como si fueran uno solo es una forma muy rápida de obtener la magnitud de la aceleración del sistema es decir la magnitud de la aceleración de todos los objetos en el sistema pero una vez que encontramos esta magnitud entonces ya podemos encontrar cualquier fuerza interna que querramos aplicando la segunda ley de newton de la manera tradicional usamos la segunda ley de newton para cada objeto individual ya no las consideramos como una sola masa sino que las tratamos de forma individual así podremos encontrar las fuerzas internas como por ejemplo la fuerza de tensión