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La relación entre la imagen de un objeto y la distancia focal (demostración de la fórmula)

La demostración de la fórmula que relaciona la imagen de un objeto con su distancia focal. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

en los vídeos pasados trabajamos con lentes convexos en donde dibujamos ciertos rayos paralelos y otros que pasaban por el punto focal para encontrar cuál sería la imagen resultante al otro lado de la lente pero lo que quiero hacer en este vídeo es encontrar una relación algebraica que involucre la distancia del objeto al lente la distancia del objeto al lente la distancia de la imagen al lente y la distancia focal que llamamos a efe para ordenarles la angustia de verme dibujar estas líneas rectas aquí ya tengo lista una imagen y pueden ver que esta flecha es el objeto original estos dos puntos son los focos y aquí se encuentra la imagen real resultante ahora permite etiquetar algunos de los elementos de esta imagen está la distancia del objeto al lente es esta misma distancia que se encuentra acá sólo que está desplazada por lo que esto va a ser de iu la distancia de la imagen al lente es esta que está señalada aquí por lo que aquí escribo d y obviamente aquí están nuestros focos este es efe y este también es efe ahora quiero encontrar una relación entre todos estos elementos y para hacerlo voy a dibujar algunos triángulos aquí la estrategia va a ser encontrar triángulos similares para ver si encontramos relaciones o razones entre todos estos elementos lo primero que voy a hacer es re dibujar o invertir este triángulo que se encuentra acá este de acá de manera que me quede en esta otra sección voy a tratar de hacerlo con todo cuidado voy a partir de acá este va a pasar por el foco va a seguir así de manera que este triángulo que estoy dibujando en morado es el mismo pero invertido que se encuentra del lado izquierdo por lo que esta otra parte este lado también va a ser de oh bueno ya tenemos estos triángulos así ahora si podemos hacer algo interesante podemos relacionar este triángulo de acá con este otro triángulo de acá podremos ver que son similares y también encontraremos algunas razones para mostrar que este triángulo de acá es similar a este triángulo de acá y una vez que establezcamos esto podemos encontrar las relaciones entre todos estos elementos lo primero que tenemos que hacer es demostrar que estos dos triángulos son similares y vemos que este ángulo de acá es el mismo que el ángulo que se encuentra acá y esto viene de que d es paralelo a de y por esta misma razón el ángulo que se forma aquí va a ser el mismo ángulo que se forma en esta otra parte ya que podemos ver que esta línea de en medio es transversal y intersecta a estas dos líneas paralelas y es por eso que estos dos ángulos van a ser iguales y podemos aplicar exactamente el mismo argumento en este otro lado donde tenemos estos ángulos que voy a poner en color naranja este ángulo de acá va a ser el mismo que el ángulo que se encuentra de este lado y por lo que vemos estos tres ángulos son iguales a los ángulos que se encuentran aquí arriba por lo que estos dos triángulos son similares los señalamos este triángulo y este triángulo que estos dos son triángulos similares similares esto la razón la proporción entre los datos de los triángulos serán iguales es decir este d es opuesto este ángulo en verde y esta de ahí también va a ser opuesta a este ángulo en verde que son iguales por lo que la proporción de o entre de y va a ser equivalente y aquí permítanme agregar algunas etiquetas a la proporción que se encuentra en este lado vamos a ponerlo en qué color será un carlos color café la proporción que se encuentra en este lado de aquí en este lado la voy a llamar a y la que se encuentra en este otro lado en este otro lado la voy a llamar be es opuesto a este ángulo naranja que escribí aquí el lado opuesto de este ángulo naranja en este otro triángulo es b por lo que a va a tener la misma proporción que ve así que tenemos que a tiene la misma razón sobre b de lo que d la tiene con respecto a de iu y esto es bastante interesante ya que pudimos relacionar estas dos longitudes arbitrarias y las conectamos mediante la distancia focal relacionarlos con la distancia focal lo que voy a hacer es tomar ive está en el mismo triángulo donde se encuentra la distancia focal aquí voy a remarcar este triángulo que me interesa ahora con rojo lente hacia la distancia focal este elemento de la altura y remarcando el lado este es el triángulo que ahora me va a interesar analizar y vamos a compararlo con este otro triángulo que también voy a resaltar en este color pero que se encuentra de este otro lado involucrando la imagen del objeto el lado ve también ahora quiero mostrar que estos dos triángulos son similares estos ángulos en blanco que estoy dibujando acá son iguales ya que se forman entre líneas que se intersectan y podemos tener el mismo argumento en otros ángulos interiores aquí puedo decir que hay ángulos rectos en este triángulo y en este otro triángulo y si tenemos dos ángulos que son iguales pues el tercer ángulo en ambos triángulos va a ser el mismo ya que aquí hay un ángulo de 90 grados aquí hay un ángulo que es igual a este y aquí también hay un ángulo de 90 grados por lo que este ángulo de acá que voy a poner que será en color rosa este ángulo de acá va a ser el mismo que voy a tener en este ángulo de acá otra forma de verlo es imaginar o darse cuenta de que este lado del lente es paralelo a este lado que se forma con la imagen y esta línea intersecta estas dos otras líneas paralelas por lo que estos ángulos internos van a ser iguales finalmente aquí estamos demostrando que este triángulo de acá es similar al triángulo que se encuentra en esta otra parte y ahora sí ya con esto podemos encontrar las relaciones de los elementos que estamos buscando vamos a realizar la misma inferencia de que a tiene la misma proporción que ve que señalamos aquí y esta proporción va a ser igual a como efe en este caso este lado que es f el lado opuesto a este ángulo rosa está efe va a tener la misma proporción que tiene este otro lado opuesto de este ángulo rosa que se encuentra aquí este lado qué distancia o cuánto va a medir este lado bueno sabemos que esta distancia completa es de y sabemos que esta parte es efe por lo que esta va a ser de menos f entonces la proporción es de la distancia focal con respecto a la distancia de la imagen menos la distancia focal entonces quedamos que esto es de i - es esta distancia acá y ahora sólo nos resta hacer un poco de álgebra vamos a reescribir los elementos que nos interesan aquí ya que esto es igual a esto y eso es igual a esto podemos decir que estos dos son iguales por lo que escribo la distancia del objeto en relación con la distancia de la imagen es igual a la distancia focal entre la distancia de la imagen menos la distancia focal hagamos una multiplicación cruzada voy a multiplicar esto por estos elementos de acá y esto por estos elementos de acá entonces me va a quedar que la distancia al objeto por la distancia de la imagen menos la distancia del objeto por la distancia focal efe va a ser igual a la distancia de la imagen por la distancia focal por efe a ambos lados de la ecuación voy a sumar de a f o la distancia del objeto por efe me va a quedar distancia del objeto por distancia de la imagen igual a la distancia de la imagen por la distancia focal menos la distancia del objeto no perdón más que bueno que me acordé estamos sumando más la distancia del objeto por el punto focal o la distancia focal aquí puedo factorizar efe entonces me quedaría distancia del objeto por distancia de la imagen igual a la distancia de la imagen más la distancia del objeto todo multiplicado por la distancia focal vamos a dividir a ambos lados entre f teo de i / efe igual a la distancia de la imagen más la distancia del objeto por efe / efe estas dos se van a cancelar dando la distancia del objeto por distancia de la imagen / efe igual a distancia de la imagen más la distancia del objeto finalmente vamos a dividir todo entre distancia del objeto por distancia de la imagen aquí divido esto 1 / de o de y lo mismo hago en este otro lado nos queda 1 / efe igual voy a multiplicar esto por ambos términos me queda de iu entre de o por de i + d / de o por d de estos elementos puede anular estos dos y estos dos de acá donde ya finalmente me quedaría con la siguiente fórmula 1 / efe / la distancia focal es igual a 1 / la distancia del objeto más 1 / la distancia de la imagen y aquí tenemos la fórmula que nos va a relacionar todos los elementos de interés en este caso de los lentes convexos y que sinceramente usamos un método bastante interesante para encontrarla