Deducción de la ecuación del espejo

imaginen que tienen un objeto en frente de este espejo cóncavo si queremos saber en donde se forma la imagen podemos dibujar los rayos de luz que rebotarían en el espejo un rayo que podemos dibujar es uno que vaya paralelo y cuyo reflejo pase por el punto focal pero estos rayos son reversibles no tengo que dibujar este resulta que si enviamos rayos de regreso por donde vinieron van a recorrer de nuevo la ruta que usaron pero en sentido contrario así que estos rayos son reversibles si envío un rayo paralelo va a pasar por el punto focal y si envío un rayo a través del punto focal se va a reflejar paralelo en otras palabras no tengo que dibujar este rayo puedo dibujar el rayo que va de este punto pasando por el punto focal y éste va a regresar paralelo así que voy a dibujar este por diversión y voy a dibujar otro para poder encontrar en donde se va a formar la imagen voy a dibujar este de aquí esta línea blanca se llama eje principal y se dibuja en el centro de éste pero curveado y ahora voy a dibujar un rayo que vaya desde aquí hasta el centro del espejo porque yo sé que la ley de reflexión dice que el ángulo de entrada tiene que ser igual al ángulo de salida y los ángulos se miden a partir de la línea normal y este eje principal resulta ser una muy buena línea normal al menos para el centro de este espejo ya que es perfectamente perpendicular a él así que puedo usar esto para mi beneficio yo sé que el ángulo de entrada tiene que ser igual al ángulo de salida por lo que solo tengo que asegurarme de que este ángulo de salida pues sea igual al de entrada por lo que estos dos tienen que tener el mismo ángulo que le llamo theta y para encontrar en dónde estará mi imagen pues se va a encontrar en donde ambos rayos se cruzan así que la punta de mi objeto la vamos a ver en este punto de aquí y tendremos una imagen que está de cabeza así que haciendo estos trazos podemos encontrar más o menos donde tendremos la imagen es yo puedo calcular a ojo en dónde estará este ángulo pero quizás tenga un ligero margen de error si yo quiero saber con exactitud en dónde se va a encontrar la imagen necesito de una ecuación en donde yo pueda poner los números como la distancia a la que se encuentra el objeto a partir del centro del espejo y cuál es la longitud de este punto focal y como resultado me dé la distancia exacta en donde va a estar mi imagen y es lo que vamos a deducir en este vídeo esta ecuación se llama la ecuación del espejo y nos dice cómo relacionar la distancia al objeto con la distancia de la imagen y la longitud del punto focal vamos a hacerlo como la deducimos si ustedes la buscan en un libro de texto va a aparecer es un poco complicada aunque realmente no lo es tanto aunque la primera vez que yo la vi realmente dije esto es una brujería matemática no le entiendo nada pero realmente no es tan mala como parece vamos a comenzar dibujando triángulos noten que estos dos ángulos son iguales y vamos a usar esto para nuestra ventaja vamos a dibujar un par de triángulos que tengan éstos como sus ángulos digamos que están a partir de esta imagen hasta el centro del espejo y desde el espejo hasta la parte de arriba de la imagen y desde la punta de la imagen hasta la base de la imagen así que imagínense este triángulo rosa de aquí es un triángulo rectángulo ya que aquí tenemos un ángulo recto y tiene a theta como uno de sus ángulos pero puedo dibujar otro triángulo que tenga este ángulo theta y que va desde la punta de arriba del objeto hasta el centro del espejo y del centro del espejo hasta la base del objeto y finalmente de la base del objeto hasta la punta del objeto de manera que ahora tenemos este triángulo azul que también es un triángulo rectángulo ya que aquí tiene un ángulo recto que también es un triángulo rectángulo porque aquí tiene un ángulo recto en otras palabras ambos son ángulos semejantes ya que ambos tienen este ángulo theta y ambos tienen un ángulo recto en otras palabras si a ustedes no les gustan los triángulos semejantes piénsenlo de esta manera podemos usar una función trigonométricas elija en su función trigonométricas favorita yo voy a elegir la tangente aquí tenemos la tangente de theta yo sé que la definición de la tangente siempre es igual al lado opuesto entre el adyacente el opuesto a este ángulo que vamos a tomar de este triángulo primero el lado opuesto a esta teta a que es igual este lado pues es la altura de la imagen que le vamos a llamar h y esto me dice que tan alta es la imagen así que esto va a ser igual a la altura de la imagen dividida entre el lado adyacente a este ángulo de aquí que es esta distancia de aquí y es qué tan lejos se encuentra la imagen del centro del espejo y le vamos a llamar de a distancia a la imagen y se mide a partir del centro del espejo no desde esta parte del espejo de aquí sino desde el centro del espejo se mide desde este punto de aquí y este es el lado adyacente a este ángulo así que aquí ponemos de ahí que es la distancia a la imagen pero esto sólo fue para la teta de aquí abajo tenemos que hacer lo mismo para la teta de aquí arriba esta teta es la misma que la de aquí abajo por lo que puedo usar esta misma relación para la tangente de theta yo sé que la tangente de esta t está también tiene que ser el lado opuesto entre el lado adyacente pero el opuesto a esta teta es este lado que es la altura de mi objeto así que la llamamos h la altura del objeto así que el lado opuesto de esta theta es h y lo dividimos entre que pues entre este lado que es el adyacente a este ángulo y este lado es la distancia del objeto hasta el centro del espejo le vamos a dar un nombre y en efecto seguro adivinaron que va a ser de o la distancia al objeto nuevamente esto lo medimos a partir de el centro del espejo no de la porción curva que sale del espejo sino de la parte central del espejo este es el lado adyacente así que aquí escribimos de hoy y aquí tenemos una relación importante esto solito tiene un nombre no es la ecuación que estamos buscando pero es muy importante esta parte de nuestra deducción se llama la ecuación del aumento aunque en general no se escribe así la tienen como h dividida entre h y esto es igual a multiplicamos ambos lados por d y nos queda de y entre de o esta es la ecuación del aumento y nos dice cuál será la altura de la imagen pero queremos encontrar qué tan lejos se encuentra la imagen del centro del espejo pero esta ecuación que acabamos de encontrar nos va a decir qué tan alta va a ser esa imagen así que si despejamos la altura de la imagen ésta va a ser igual a la altura del objeto multiplicada por cierto factor y este factor será la distancia a la imagen dividida entre la distancia al objeto aunque noten que esta imagen está invertida así que si definimos esta distancia a la imagen como positiva ya que está del mismo lado que el objeto tendremos una imagen invertida que sería como una altura negativa por lo que si queremos representar imágenes invertidas con un valor negativo tendremos que escribir esta ecuación con un signo negativo adentro y decimos que la altura de la imagen es igual a menos h o borde y / de o o podemos poner el negativo acá de esta forma sabremos que si obtenemos un valor negativo para la altura de la imagen sabremos que está de cabeza en otras palabras si el valor que obtengo de h fuera de menos tres centímetros significaría que tengo una imagen con una altura de tres centímetros pero de cabeza es decir invertida esto es lo que representa el negativo pero bueno esto no es lo que queremos deducir queremos una fórmula que nos dé la distancia a la imagen con base en la distancia del objeto y la distancia focal por lo que necesitamos hacer otro conjunto de triángulos y ahora lo que haremos es en lugar de considerar estas tetas de aquí vamos a considerar estos ángulos de acá no les puedo llamarte está porque estos ya los nombres aquí a estos vamos a llamarlos fin estos ángulos también tienen que ser iguales ya que cada vez que tenemos una línea y tenemos otra línea que la corta estos ángulos de aquí siempre serán iguales así que haremos lo mismo que hicimos para theta pero ahora con estas y formamos dos triángulos y cada triángulo tendrá un ángulo fin para el primero tendremos esta altura del objeto como el lado opuesto de aquí acá tendremos otro lado y de aquí a acá tendremos otro lado y como necesitamos otro triángulo que también tenga afín vamos a usar este día que de aquí a acá luego de aquí abajo y luego de regreso a fin así que tenemos dos triángulos este triángulo y este otro triángulo ambos tienen a fin y ambos tienen un ángulo recto por lo que también son triángulos semejantes y hacemos lo mismo decimos que la tangente de esta fin va a ser igual al lado opuesto entre el lado adyacente el lado opuesto a esta fin es este lado que es igual a h así que escribimos h dividido entre el lado adyacente no es de hoy ya que este lado solo llega hasta acá no llega hasta el centro del espejo así que esto es la distancia total al objeto menos esta sección de acá si restó esto de la distancia al objeto la cantidad que me queda será el lado adyacente de este triángulo por lo que esta distancia desde el espejo hasta el punto focal tiene y se llama distancia focal y la representamos con una efe y quizá esto los confunda ya que f me representa tanto el punto focal como la distancia a este punto a partir del centro del espejo así que éste también me representa esta distancia por lo que este lado adyacente podemos reescribirlo como la distancia al objeto menos la distancia focal ya que esta parte de aquí es el lado adyacente la distancia al objeto menos la distancia focal pero sabemos que está fe es igual a esta otra fin por lo que puedo tener la tangente de fin por lo que ahora la tangente de esta fin va a ser el lado opuesto y cuál es este lado este lado del triángulo es igual a la altura de la imagen por lo que esto la tangente de fi que es igual al opuesto entre el adyacente en esta ocasión el opuesto es la altura de la imagen h dividida entre esta distancia de aquí que es simplemente la distancia focal por lo que el lado adyacente de este triángulo es sencillamente la distancia focal dividimos entre efe de manera que ahora tengo dos ecuaciones que juntaremos y obtendremos la ecuación del espejo hay diferentes maneras de proceder a partir de aquí lo que yo voy a hacer es que no quiero ni h en ninguno de estos por lo que vamos a despejar este de aquí para h / h de manera que me queda h / h y imaginen que dividimos ambos lados entre h y multiplicamos ambos lados por d o menos efe y me quedan h / h y es igual a de o menos efe que es la distancia focal dividida entre la distancia focal y puedo hacer lo mismo aquí arriba h / h y es igual a de o / d por lo que dividimos ambos lados entre h y multiplicamos ambos lados por d pero lo que está en este lado de aquí es igual a lo que está en este otro lado aquí abajo por lo que sabemos que h / h de o menos efe / efe y aquí sabemos que h / h es igual a de o / d lo que significa que está de o menos efe / efe es igual a de o / de y ya que ambas expresiones son iguales entre h y todas son iguales entre sí porque todas son iguales a lo mismo h / h y ahora vamos a resolver esto vamos a limpiar el lado izquierdo me va a quedar el lado izquierdo de o / efe - 1 ya que a menos efe / efe es igual a menos 1 y esto tiene que ser igual a de o / de dividimos ambos lados entre de o y me queda 1 / efe ya que la de o se cancela esto es igual a menos 1 / 2 y esto es igual a esta vez se cancela con esta otra de hoy y me queda uno / de iu y ya lo logramos aunque normalmente esto se escribe con esta 1 / b y de este lado derecho 1 / d en ambos lados nos queda finalmente la expresión que queremos 1 / efe es igual a 1 / de 0 + 1 / de por fin la expresión que queremos 1 entre la distancia al objeto más 1 entre la distancia a la imagen es igual a 1 entre la distancia focal es una fórmula bastante sencilla y nos requirió un poco de esfuerzo llegar a ella pero esta es la ecuación del espejo y relaciona la distancia focal del espejo con la distancia del objeto en otras palabras si sabemos qué tan lejos se encuentra el objeto del centro del espejo y conocemos la distancia focal del espejo podremos encontrar con exactitud la distancia a la imagen a partir del centro del espejo en lugar de en calcular la más o menos dibujando los rayos que se reflejan esto nos permite encontrar la ubicación de la imagen con exactitud y si la usamos en conjunto con esta ecuación del aumento también podremos encontrar la altura exacta de la imagen y quizás se sientan un poco incómodos con este lo negativo que puse acá como podemos saber si cualquiera de estas cantidades es positiva o negativa bueno pues la convención que estoy usando y que usan muchos libros de texto es que las distancias focales van a ser positivas para espejos cóncavos como el espejo que tenemos acá este es un espejo cóncavo pero si tuviera la curva hacia el otro lado sería un espejo convexo y aquí tendríamos una distancia focal negativa lo que tiene sentido ya que si el espejo tuviera la curva así el punto focal estaría por aquí de este otro lado estaría atrás de este espejo por lo que tiene sentido que sea negativo y la distancia al objeto si se encuentra del mismo lado en donde tenemos el ojo ya que si usamos esto correctamente nuestro espejo debería estar de este lado veríamos al objeto aquí pero también veríamos la imagen de este objeto justo aquí y si el objeto se encuentra del mismo lado en donde está nuestro ojo que sería lo correcto la distancia a este objeto sería positiva y básicamente siempre será positiva a menos que tengamos un conjunto de varios espejos y esté pasando algo extraño con los reflejos pero si tienen solo un espejo no hay ningún problema esta distancia al objeto se define siempre como positiva usando las convenciones que usamos acá aunque nuevamente hay otras convenciones que ustedes podrían usar pero esta es la que se usa en la mayoría de los libros de texto la de iu es un poco curiosa de y va a ser positiva también si es que esta imagen se encuentra del mismo lado en donde está nuestro ojo como tenemos aquí esta distancia la vamos a considerar positiva porque se encuentra de este lado si la imagen se formará de este otro lado del espejo por ejemplo acá tendríamos una distancia a la imagen negativa si estos fueran cinco centímetros atrás del espejo la consideraríamos como una distancia a la imagen de menos cinco centímetros si usamos esta convención de signos con esta ecuación del espejo tendremos una relación correcta entre la distancia al objeto la distancia de la imagen y la distancia focal y si usamos la misma comprensión de signos en esta ecuación del aumento también obtendremos la altura correcta de la imagen y si esta altura de la imagen resulta negativa entonces sabremos que la imagen se encuentra invertida y si por el contrario esta altura de la imagen sale positiva sabremos que la imagen se encuentra derecha en resumen usando varios triángulos semejantes pudimos deducir una ecuación del espejo que relaciona la distancia al objeto la distancia a la imagen y la distancia focal y además deducimos la ecuación del aumento que relaciona las alturas del objeto y de la imagen con las distancias al objeto y a la imagen tenemos que ser muy cuidadosos con los signos aún cuando la distancia al objeto casi siempre es positiva la distancia focal puede ser positiva o negativa la distancia focal será positiva para espejos cóncavos y será negativa para espejos convexos las distancias a la imagen van a ser positivas si se encuentran del mismo lado del espejo en donde se encuentra nuestro ojo o en frente del espejo y serán negativo si se encuentra detrás del espejo y de nuevo esta no es la única convención de signos que pueden usar pero es tan buena como cualquier otra y es la que se usa con mayor frecuencia en los libros de texto