Problemas de ejemplo de la ecuación del espejo

los problemas en donde usamos la ecuación del espejo pueden ser intimidantes las primeras veces que los resolvemos pero esto no es porque la ecuación sea muy difícil de hecho es bastante fácil solo hay que sumar algunas fracciones pero la parte que nos confunde es decidir si estas deben ser positivas o negativas hay muchas decisiones que tomar para asignar si unos positivos o negativos y con que nos equivoquemos en uno solo de éstos tendremos la respuesta incorrecta así que vamos a resolver unos cuantos problemas usando la ecuación del espejo para que vean como asignamos los signos ahora debo advertirles que cada quien tiene su convención para asignar signos hay muchas convenciones de signos cuando trabajamos con óptica la que vamos a usar aquí es la que yo considero es la más común en los libros de texto y es aquella que dice que todo lo que se encuentre por delante del espejo y para saber a dónde es adelante vamos a poner nuestro ojo por acá estamos viendo a un objeto que puede ser un póster o una flecha está cosa azul de aquí y lo tenemos enfrente de este espejo de aquí y la convención que estoy usando es que todo lo que se encuentre de este lado del espejo se va a considerar positivo así que si tenemos un punto focal de este lado será positivo si tenemos la distancia a un objeto de este lado esa distancia será positiva y si la distancia a la imagen también resulta positiva sabremos que se encontrará de este lado del espejo todo lo que sea negativo por ejemplo si obtenemos una distancia a la imagen negativa después de hacer nuestros cálculos sabremos que esto quedó atrás del espejo y así como que tiene sentido todo lo que sea negativo va a estar atrás todo lo que esté positivo va a estar adelante así que este lado de aquí será enfrente del espejo y todo será positivo y en este lado de aquí será atrás del espejo y todo será negativo aquí en este problema ya tenemos algunos números así que vamos a resolver el problema que tenemos que hacer usamos la ecuación del espejo y decimos que 1 entre el punto focal y aquí tenemos que decidir si esto es un número positivo o negativo y este espejo conforme lo vemos aquí tiene una forma cóncava es un espejo cóncavo y la convención de los signos que acabamos de discutir y los signos que usamos en esta fórmula es que los espejos cóncavos siempre van a tener un punto focal positivo en otras palabras ya que este punto focal se encuentra a 4 centímetros a partir del centro del espejo y está enfrente pues voy a poner aquí cuatro centímetros positivos noten que no estoy haciendo ninguna conversión está bien si ustedes quieren dejar aquí centímetros como unidades siempre y cuando todas las unidades sean las mismas si ponen todo en centímetros su resultado también estará en centímetros vamos a decir que esto es igual a 1 entre la distancia al objeto y otra advertencia a veces en lugar de encontrarse esto como de subíndice o pueden encontrar esto como ese subíndice o como la distancia al objeto encontrarse de la distancia a la imagen como ese y son lo mismo solo que usan letras diferentes la distancia al objeto nuevamente se encuentra de este lado enfrente del espejo por lo que será una cantidad positiva será de 12 centímetros positivos 12 metros que se miden desde el centro del espejo así que aquí también tenemos 12 centímetros positivos y esto le sumamos 1 entre la distancia a la imagen aquí no conocemos cuál es la distancia a la imagen no la he dibujado así que la desconocemos va a ser una sorpresa y la vamos a despejar para hacerlo resto 1 entre 12 positivo en ambos lados de la igualdad lo que nos da 1 entre cuatro centímetros positivo menos uno entre 12 centímetros positivo y esto va a tener que ser igual a 1 entre la distancia la imagen un cuarto lo podemos reescribir como 312 abós así que 32 seamos menos un doceavo va a ser igual a 212 a 2 y esto va a ser igual a 1 / la distancia a la imagen pero 2 doceavos es igual a un sexto así que uno entre la distancia a la imagen es igual a un sexto pero recuerden que no queremos el inverso de la distancia a la imagen queremos conocer la distancia a la imagen y a veces las personas se les olvida invertir esto así que sacamos el inverso en cada lado de la igualdad y nos queda que la distancia a la imagen va a ser igual a 6 centímetros resultó un valor positivo y esto es importante seis centímetros positivos así que dónde va a estar nuestra imagen como esta distancia resultó ser positiva en la imagen va a estar en frente del espejo así que va a estar a seis centímetros por enfrente del espejo más o menos por acá así que en este punto de acá es donde estará nuestra imagen pero no sabemos qué tan grande va a ser o si va a estar derecha o invertida para encontrar esto necesitamos usar una ecuación diferente y a esta ecuación la conocemos como la ecuación del aumento a la que representamos con la letra m mayúscula así que el aumento va a ser igual a la altura de la imagen dividida entre la altura del objeto y esto va a ser igual a menos la distancia a la imagen dividida entre la distancia al objeto así que resulta que esta proporción negativa entre la distancia de la imagen y la distancia del objeto siempre es igual a la proporción de la altura de la imagen entre la altura del objeto así que cuál será la altura de nuestra imagen pues vamos a despejar la la altura de la imagen va a ser igual multiplicamos ambos lados de la igualdad por la altura del objeto aquí ya está el lado negativo así que es menos la altura del objeto multiplicado por la proporción de la distancia a la imagen entre la distancia ahora sustituimos los números la altura del objeto es de aquí nos dice que es de 3 centímetros así que escribimos menos tres centímetros multiplicado por la proporción de la distancia a la imagen que es de 6 centímetros positivos entre la distancia del objeto que es de 12 centímetros si resolvemos esto nos queda un medio x menos 3 que es menos 1.5 centímetros en este caso el signo negativo nos indica que la imagen está invertida es decir la vamos a ver de cabeza comparada con el objeto original y el 1.5 es que tan alta va a ser así que nos queda una imagen que va a estar a 6 centímetros en frente del espejo va a tener una altura que es la mitad del original 1.5 centímetros y va a estar de cabeza ya que el resultado nos dio un signo negativo esto es lo que veremos al observar en este espejo imagínense que es un espejo de las casas de la risa está medio raro veremos una imagen invertida y que nos daría la impresión de poder agarrar pero es solamente una ilusión óptica no tendremos un objeto allá solamente es la imagen de este otro objeto este fue un ejemplo usando un espejo cóncavo que cambiaría si ahora en lugar de tener nuestro objeto aquí lo pusiéramos por acá así que en lugar de estar a 12 centímetros ahora estaría a 3 centímetros de distancia del centro del espejo que veríamos diferente todo quedaría igual a excepción de la distancia al objeto aquí en lugar de tener 12 centímetros positivos tendríamos tres centímetros positivos por lo que la ecuación del espejo funciona exactamente igual aquí ponemos la distancia que sea la que tenga el objeto despejamos nuestra distancia la imagen y en este caso vamos a tener una distancia a la imagen diferente pero no importa cual sea nos va a indicar en donde se encuentra la imagen y ahora tomaremos esta distancia a la imagen y la usaremos en nuestra ecuación del aumento si es que queremos conocer qué tan alta va a ser esta imagen y si estará derecha o estará de cabeza así que estos números serán diferentes pero vamos a usar nuestras ecuaciones de la misma manera y ahora qué pasaría si en lugar de usar un espejo cóncavo usáramos un espejo convexo digamos que ahora nuestro espejo tiene esta forma imaginen que nuestro ojo se encuentra nuevamente por acá observando a este objeto dentro del espejo y vamos a ver la imagen del objeto veremos al objeto que está aquí y además veremos su imagen este espejo en lugar de ser cóncavo va a ser convexo así que la distancia focal se va a encontrar atrás del espejo y ahora qué hacemos para encontrar en dónde va a estar la imagen pues nuevamente usamos la ecuación del espejo 1 entre la distancia focal y nuevamente en este instante tengo que decidir cuál será el signo que tenga esta distancia focal con la convención que estamos usando la distancia focal 50 atrás del espejo así que la distancia focal para este espejo convexo va a ser negativa aquí tenemos menos cuatro centímetros esto va a ser igual a 1 entre la distancia al objeto aquí nuevamente el objeto se encuentra enfrente del espejo a 12 centímetros por lo que esta distancia va a ser de 12 centímetros positivos y a esto le agregamos el inverso de la distancia de la imagen que es nuestra incógnita y lo que queremos encontrar así que en este caso tenemos 1 entre menos 4 y nuevamente tenemos que restar 1 entre 12 positivo y esto va a ser igual a 1 entre la distancia a la imagen de manera que ahora en el lado izquierdo nos queda 1 entre menos 4 pero esto es igual a menos 3 12 ambos menos 3 doceavos menos un doceavo nos va a dar menos 412 ambos y esto es igual a 1 entre la distancia de la imagen pero menos 4 doceavos es lo mismo que menos un tercio por lo 1 / la distancia a la imagen es igual a menos un tercio y si invertimos ambos términos nos queda que la distancia a la imagen será de menos tres centímetros en otras palabras esto es igual a menos un tercio de manera que cuando lo invertimos nos queda que la distancia de la imagen es de menos tres centímetros en donde va a estar esta imagen bueno pues vemos que tiene el signo negativo por lo que va a quedar atrás del espejo ya que esta es la convención de signos que usamos así que estará a tres centímetros atrás del espejo más o menos por acá tres centímetros atrás del espejo y de nuevo si queremos conocer qué tan alta va a ser esta imagen y si va a estar derecha o de cabeza tenemos que usar la fórmula del aumento recordamos que esta ecuación del aumento luce así la proporción de la altura de la imagen entre la altura del objeto va a ser igual al negativo de la proporción de la distancia a la imagen entre la distancia del objeto veamos a que será igual este lado derecho es el negativo de menos 3 que es la distancia al objeto así que aquí ponemos el menos 3 tenemos este negativo de siempre aquí y además tenemos esta cantidad negativa aquí arriba que ponemos entre paréntesis para no confundirnos esto entre la distancia a la imagen que es de 12 centímetros positivos nos queda el negativo de menos 3 entre 12 lo que nos da 3 positivo entre 12 un cuarto positivo los centímetros se cancelan y lo que nos dice esta proporción que es el aumento pues nos dice que la imagen no va a estar invertida ya que nos dio positivo y la proporción de un cuarto nos dirá que es un cuarto de la altura del objeto original y la razón de esto es que esta proporción es igual a la altura de la imagen entre la altura del objeto en otras palabras si multiplico ambos lados por la altura del objeto me va a quedar que la altura de la imagen es igual a un cuarto positivo por la altura del objeto la altura de nuestro objeto es de 3 centímetros por lo que la altura de la imagen es una cuarta parte de esto pero no importa cuál sea la altura del objeto la vamos a multiplicar por esta proporción de menos de entre 2 y nos dará la altura de la imagen por lo que aquí nos queda tres cuartos de centímetros positivos por lo que va a ser una imagen muy pequeñita una imagen pequeñita que va a estar derecha va a estar por acá y va a ser pequeñita con una altura de tres cuartos de centímetros en resumen podemos usar la ecuación del espejo para saber en dónde se va a encontrar la imagen la convención de signos que estamos usando es que los objetos y distancias focales que se encuentran por delante del espejo van a ser positivas y todo lo que se encuentre por atrás del espejo va a ser negativo usar la ecuación del aumento para encontrar la altura de la imagen con respecto a la altura del objeto al tomar el negativo de la distancia a la imagen y dividirla entre la distancia del objeto