Aprende la definición del centro de masa y aprende cómo calcularlo.

¿Qué es el centro de masa?

El centro de masa es una posición definida en relación a un objeto o a un sistema de objetos. Es el promedio de la posición de todas las partes del sistema, ponderadas de acuerdo a sus masas.
Para objetos rígidos sencillos con densidad uniforme, el centro de masa se ubica en el centroide. Por ejemplo, el centro de masa de un disco uniforme estaría en su centro. Algunas veces el centro de masa no está en ningún lado sobre el objeto. El centro de masa de un anillo, por ejemplo, está ubicado en su centro, en donde no hay material.
Figura 1: centro de masa para algunas formas geométricas (puntos rojos).
Figura 1: centro de masa para algunas formas geométricas (puntos rojos).
Para formas más complicadas, necesitamos una definición matemática más general del centro de masa: es la única posición en la cual los vectores de posición ponderados de todas las partes de un sistema suman cero.
Un vector de posición ponderado es un vector que apunta del origen a un objeto y tiene magnitud m, donde m es la masa del objeto. Es decir, (mr^)(m\cdot \mathbf{\hat{r}}) donde r^\mathbf{\hat{r}} es un vector unitario que apunta del origen al objeto.
Para un sistema de n objetos, el centro de masa es el punto en donde
i=1nmir^i=0\sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\hat{r}}_i = 0
Si resulta que el origen que escogimos para nuestros vectores ya está en el centro de masa, entonces la suma será cero. De lo contrario, la suma vectorial S\mathbf{S} apuntará al centro de masa. Aquí M es la masa total del sistema.
S=1Mi=1nmir^i\mathbf{S} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\hat{r}}_i

¿Qué es útil acerca del centro de masa?

Lo interesante acerca del centro de masa de un objeto o de un sistema, es que es el punto en donde actúa cualquier fuerza uniforme sobre el objeto. Esto es útil porque facilita resolver problemas de mecánica en donde tenemos que describir el movimiento de objetos con formas raras y de sistemas complicados.
Para los propósitos de los cálculos, podemos tratar un objeto de forma rara como si toda su masa estuviera concentrada en un objeto pequeñito ubicado en el centro de masa. A veces llamamos a este objeto imaginario una masa puntual.
Si empujamos un objeto rígido en su centro de masa, entonces el objeto siempre se moverá como si fuera una masa puntual. No va a rotar alrededor de ningún eje, sin importar la forma que tenga. Si el objeto es sometido a la acción de una fuerza fuera de equilibrio en algún otro punto, entonces empezará a rotar alrededor del centro de masa.

¿Cómo podemos encontrar el centro de masa de cualquier objeto o sistema?

En general, el centro de masa se puede encontrar con la suma vectorial ponderada de los vectores de posición, la cual apunta al centro de masa de cada objeto en un sistema. Una técnica rápida que nos permite evitar usar aritmética vectorial es encontrar, de manera separada, el centro de masa de los componentes a lo largo de cada eje. Es decir:
para las posiciones de los objetos a lo largo del eje x:
CDMx=m1x1+m2x2+m3x3+m1+m2+m3+\mathrm{CDM}_x = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2 + m_3 \cdot x_3 + \ldots}{m_1 + m_2 + m_3 + \ldots}
Y del mismo modo para el eje y:
CDMy=m1y1+m2y2+m3y3+m1+m2+m3+\mathrm{CDM}_y = \frac{m_1 \cdot y_1 + m_2 \cdot y_2 + m_3 \cdot y_3 + \ldots}{m_1 + m_2 + m_3 + \ldots}
Juntos, estos dos dan las coordenadas (CDMx,CDMy)(\mathrm{CDM}_x, \mathrm{CDM}_y) del centro de masa del sistema. Por ejemplo, considera el sistema de tres objetos planos con densidad uniforme mostrados en la Figura 2.
Figura 2: un sistema de tres objetos planos.
Figura 2: un sistema de tres objetos planos.
La ubicación del centro de masa en la dirección x es:
start fraction, 1, dot, 4, plus, 1, dot, 6, plus, 2, dot, 12, divided by, 1, plus, 1, plus, 2, end fraction, equals, 8, point, 5
y en la dirección y:
start fraction, 1, dot, 5, plus, 1, dot, 12, plus, 2, dot, 8, point, 5, divided by, 1, plus, 1, plus, 2, end fraction, equals, 8, point, 5
Los objetos complicados a menudo se pueden representar como colecciones de formas más sencillas, cada uno con una masa uniforme. Entonces podemos representar cada componente de la forma como un punto ubicado en el centroide. Los espacios vacíos dentro de los objetos incluso se pueden tomar en cuenta al representarlos como formas con masa negativa.
Considera el objeto con forma plana irregular y densidad uniforme mostrado en la Figura 3a.
Figura 3: (a) un objeto plano con forma irregular. (b) objeto dividido en formas sencillas.
Figura 3: (a) un objeto plano con forma irregular. (b) objeto dividido en formas sencillas.
Podemos dividir este objeto en cuatro rectángulos y un círculo, como se muestra en la Figura 3b. Aquí solo estamos interesados en la posición del centro de masa en las unidades relativas mostradas en la figura. El material tiene densidad uniforme así que la masa es proporcional al área. Por simplicidad, podemos representar la masa de cada sección en unidades de 'cuadrados', como se muestra en el diagrama.
En la dirección x, el centro de masa está en:
Observa que el área del espacio vacío circular es π1.527.1\pi \cdot 1.5^2 \simeq 7.1. Esto se toma en cuenta como una masa negativa.
En la dirección y:

¿Qué es el centro de gravedad?

El centro de gravedad es el punto a través del cual la fuerza de gravedad actúa sobre un objeto o un sistema. En la mayoría de los problemas de mecánica, se supone que el campo gravitacional es uniforme. Entonces, el centro de gravedad está exactamente en la misma posición que el centro de masa. Los términos del centro de gravedad y del centro de masa a menudo tienden a usarse de manera intercambiable, ya que suelen estar en la misma ubicación.

¿Qué hay acerca de determinar el centro de masa para un objeto real?

Hay un par de pruebas experimentales útiles que se pueden hacer para determinar el centro de masa de objetos físicos rígidos.
El método de la orilla de la mesa (Figura 4) se puede usar para encontrar el centro de masa de objetos rígidos pequeños que tengan por lo menos un lado plano. El objeto se empuja despacio, sin rotarlo, sobre la superficie de una mesa hacia una orilla. Cuando el objeto está a punto de caer, se dibuja un línea paralela a la orilla de la mesa. Se repite el procedimiento con el objeto rotado 90°. El punto de intersección de las dos líneas da el centro de masa en el plano de la mesa.
Figura 4: el método de la orilla de la mesa usado para encontrar el centro de masa de un objeto irregular.
Figura 4: el método de la orilla de la mesa usado para encontrar el centro de masa de un objeto irregular.
El método de la plomada (Figura 5) también es útil para objetos que se pueden suspender libremente alrededor de un punto de rotación. Un pedazo de cartón con forma irregular suspendido de una tachuela es un buen ejemplo de esto. El cartón gira libremente alrededor de la tachuela bajo la influencia de la gravedad y se estabiliza. La plomada se cuelga de la tachuela y se usa para marcar una línea sobre el objeto. Se mueve la tachuela a otra ubicación y se repite el procedimiento. El centro de masa está en el punto de intersección de las dos líneas.
Figura 5: el método de la plomada usado para encontrar el centro de masa de un objeto irregular.
Figura 5: el método de la plomada usado para encontrar el centro de masa de un objeto irregular.

Centro de masa y estabilidad de volteo

Una aplicación útil del centro de masa es la determinación del ángulo máximo al que se puede inclinar un objeto antes de voltearse.
La Figura 6a muestra una sección transversal de un camión. El camión fue cargado de mala manera con muchos artículos pesados colocados en el lado izquierdo. El centro de masa se muestra como un punto rojo. Una línea roja, que representa la fuerza de la gravedad, se extiende hacia abajo desde el centro de masa. La gravedad actúa sobre todo el peso del camión a través de esta línea.
Si el camión se inclina un ángulo θt\theta_\mathrm{t} (como se muestra en la Figura 6b), entonces todo el peso del camión estará soportado por la orilla más a la izquierda de la llanta izquierda. Si el ángulo se incrementa un poco más, entonces el punto de soporte se moverá fuera de cualquier punto de contacto con el camino y está garantizado que el camión se volteará. El ángulo θt\theta_\mathrm{t} es el límite de volteo.
Figura 6: límite de volteo de un camión mal cargado.
Figura 6: límite de volteo de un camión mal cargado.
Ejercicio 1: determina el límite de volteo para el objeto con densidad uniforme mostrado en la Figura 7 a medida que se inclina hacia la derecha.
Figura 7: objeto que se voltea del Ejercicio 1.
Figura 7: objeto que se voltea del Ejercicio 1.
Primero encontramos el centro de masa de la forma al dividirla en tres rectángulos:
En la dirección x: start fraction, 24, dot, 7, plus, 24, dot, 6, plus, 12, dot, 5, point, 5, divided by, 24, plus, 24, plus, 12, end fraction, equals, 6, point, 3
En la dirección y: start fraction, 24, dot, 11, plus, 24, dot, 7, plus, 12, dot, 2, divided by, 24, plus, 24, plus, 12, end fraction, equals, 7, point, 6
Figure 8: Calculation of topple angle.
Figure 8: Calculation of topple angle.
Ahora, encontrar el límite de volteo θt\theta_\mathrm{t} es cuestión de usar trigonometría para hallar el ángulo interno del triángulo mostrado en la Figura 8.
El punto de contacto más a la derecha está ubicado en x, equals, 7 y el centro de masa está ubicado en x, equals, 6, point, 3. Esto deja una diferencia de 0.7, que es el lado opuesto del triángulo.
El ángulo θt\theta_\mathrm{t} indicado en el diagrama debe ser igual al ángulo interno del triángulo porque θt+α=90\theta_\mathrm{t} + \alpha = 90^\circ. A partir de la trigonometría de triángulos rectángulos:
θt=tan1(0.77.6)=5.26\theta_\mathrm{t} = \tan^{-1}\left( \frac{0.7}{7.6} \right) = 5.26^\circ

Sistema de referencia del centro de masa

Cuando en física se usa el término sistema o marco de referencia, se refiere al sistema de coordenadas usado para los cálculos. Un sistema de referencia tiene un conjunto de ejes y un origen (punto cero). En la mayoría de los problemas, el sistema de referencia está fijo con respecto al laboratorio y se escoge un punto de origen conveniente (pero arbitrario). Esto se conoce como el sistema de referencia el laboratorio. Sin embargo, en física clásica también es posible usar cualquier otro sistema de referencia y esperar que las leyes de la física se cumplan en él. Esto incluye sistemas de referencia que se mueven con respecto al laboratorio.
Una propiedad muy útil del centro de masa es que se puede usar para definir el origen de un marco de referencia que se mueve para un sistema. Este sistema de referencia a veces es llamado el marco CDM (de centro de momento, cantidad de movimiento o ímpetu). El marco CDM es particularmente útil en problemas de choques. Resulta que el momento de un sistema completamente definido medido en el marco CDM siempre es cero. Esto significa que, a menudo, los cálculos pueden ser mucho más sencillos en el marco CDM en comparación con el sistema de referencia del laboratorio. Consideremos un ejemplo sencillo:
Imagina dos tranvías que se mueven en la misma dirección a lo largo de la vía, como se muestra en la Figura 9. El tranvía de la izquierda viaja más rápido, así que inevitablemente habrá un choque. Supongamos que el choque es elástico. ¿Cuáles son las velocidades después del choque?
Figura 9: dos tranvías que se mueven y están a punto de chocar: el choque es más fácil de analizar en el marco CDM.
Figura 9: dos tranvías que se mueven y están a punto de chocar: el choque es más fácil de analizar en el marco CDM.
Primero necesitamos encontrar la velocidad del centro de masa en el sistema del laboratorio. Como la velocidad es distancia/tiempo, simplemente podemos poner la velocidad en el lugar de la posición en la ecuación del centro de masa y continuar como en el caso de un centro de masa estacionario. El resultado será (posición del centro de masa) / (segundo): es decir, la velocidad del centro de masa, vCMv_\mathrm{CM}:
vCM=(215+43) kgm/s(2+4) kg=7 m/s\begin{aligned} v_\mathrm{CM} &= \frac{(2\cdot 15 + 4\cdot 3)~\mathrm{kg\cdot m/s}}{(2 + 4)~\mathrm{kg}} \\&= 7~\mathrm{m/s}\end{aligned}
Ahora podemos encontrar las velocidades y los momentos iniciales (subíndice i) de los tranvías a y b, desde el punto de vista del sistema de referencia del centro de masa. Esto se hace al restarle la velocidad del marco CDM. Las cantidades en este marco estarán denotadas con un ' (símbolo de prima) para distinguirlos del sistema del laboratorio.
vai=157=8 m/sv'_{ai} = 15 - 7 = 8~\mathrm{m/s}
vbi=37=4 m/sv'_{bi} = 3 - 7 = -4~\mathrm{m/s}
pai=82=16 kgm/sp'_{ai} = 8 \cdot 2 = 16~\mathrm{kg\cdot m/s}
pbi=44=16 kgm/sp'_{bi} = -4 \cdot 4 = -16~\mathrm{kg\cdot m/s}
Como se puede ver, los momentos de los dos objetos que chocan son iguales en magnitud y tienen direcciones opuestas. Esto siempre es el caso para un choque así en el marco CDM. En este ejemplo, sabemos que el choque es elástico y, por lo tanto, los momentos simplemente intercambian signos después del choque.
paf=16 kgm/sp'_{af} = -16~\mathrm{kg\cdot m/s}
pbf=16 kgm/sp'_{bf} = 16~\mathrm{kg\cdot m/s}
Las velocidades finales entonces son:
vaf=16/2=8 m/sv'_{af} = -16/2 = -8 ~\mathrm{m/s}
vbf=16/4=4 m/sv'_{bf} = 16/4 = 4~\mathrm{m/s}
Las cuales se pueden convertir de regreso al sistema de referencia del laboratorio al sumarles la velocidad del sistema con respecto al laboratorio:
vaf=8+7=1 m/sv_{af} = -8 + 7 = -1 ~\mathrm{m/s}
vbf=4+7=11 m/sv_{bf} = 4 + 7 = 11 ~\mathrm{m/s}