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Derivar el atajo para resolver problemas de choques elásticos

En este video, derivamos la expresión que podemos usar como atajo para encontrar las velocidades en un problema de un choque elástico. Creado por David SantoPietro.

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  • Avatar leaf green style para el usuario Dalmacio Casado
    En el minuto queda claro que la masa no importa para hallar la solución al problema del choque elástico, pero ¿no tendrá que ver algo si tienen mucha o poca densidad esas masas?
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Transcripción del video

si vieron el vídeo anterior se dieron cuenta de que estos problemas de colisión pueden ser bastante complejos el álgebra se vuelve bastante feíto y si no vieron el vídeo y pasaron directamente a este que por mí no hay ningún problema en el vídeo anterior lo que hicimos es usar la conservación del momento pero nos quedamos con dos incógnitas de velocidad final no conocíamos la velocidad final de ninguno de los dos objetos así que despejamos esta ecuación para una de las incógnitas y la sustituimos en la ecuación de la energía cinética y es algo que pudimos hacer porque la energía cinética se conserva en las colisiones elásticas pero como tenemos esta expresión al cuadrado se vuelve una expresión larga y bastante complicada además de que es multiplicada por otras cosas y después tenemos que combinar los términos semejantes y al final rogamos por no habernos equivocado en algún paso a balj hebraico o que nos hayamos equivocado con algún signo aun cuando tengamos suerte y hagamos todo perfectamente si redondeamos las cantidades durante el proceso algebraico nuestros resultados van a tener un poco de error así que la pregunta obvia es hay alguna forma más sencilla de resolver esto estos problemas de colisión elástica en donde tenemos dos velocidades finales desconocidas y la respuesta es que si justamente es lo que vamos a ver en este vídeo y para encontrar esta manera más sencilla de resolver el problema vamos a usar símbolos en lugar de cantidades que es lo que siempre hacemos en física para encontrar alguna solución más sencilla siempre vamos a reemplazar los números por símbolos o variables por ejemplo en lugar de decir que la masa de la pelota de golf va a ser de 0.0 45 kilogramos vamos a decir que la masa de la pelota de golf es m g y ustedes me pueden decir bueno y esto en que me va a ayudar simplemente vamos a tener muchas variables en lugar de números y vamos a seguir teniendo este desorden y bueno vamos a tener algo de desorden pero por lo general cuando resolvemos problemas simbólicamente muchas veces nos permite encontrar patrones simetrías y cancelaciones que de otra manera pasarían desapercibidas si usáramos solo números cuando tenemos expresiones simbólicas aquí a veces suceden cosas mágicas y es lo que vamos a encontrar aquí vamos a tener un resultado que es mucho más sencillo que el que encontramos anteriormente vamos a hacer lo vamos a resolver este problema simbólicamente así que en lugar de tener estas cantidades numéricas vamos a reemplazarlas por variables en lugar de tener esta velocidad de 40 metros por segundo como velocidad inicial de la pelota de tenis vamos a reemplazarla por bt la velocidad de la pelota de tenis y voy a poner una y para indicar que es la inicial esta es la velocidad inicial de la pelota de tenis hacemos lo mismo para la pelota de golf y ahora tenemos que su velocidad inicial va a ser de g en lugar de tener 50 metros por segundo a la izquierda anteriormente cuando escribía el 50 me refería a la magnitud de la velocidad pero ahora cuando yo escriba vejez me voy a referir a la velocidad completa con todo y dirección en otras palabras esta vejez y puede ser negativa y de hecho si la pelota de golf va hacia la izquierda está vejez va a ser negativa pero vamos a tratarla como un símbolo esta va a ser la velocidad inicial de mi pelota de golf puede ser un número positivo o negativo hacemos lo mismo para las masas ya reemplazamos con símbolo la masa de la pelota de golf y la masa de la pelota de tenis en lugar de ser punto 0 58 kilogramos vamos a tener m&t y ahora lo vamos a resolver de la misma manera que lo hicimos en el vídeo anterior usamos la conservación del momento y tenemos que nuestro momento total inicial va a ser en la masa de la pelota de tenis por la velocidad inicial de esta pelota de tenis más la masa de la pelota de golf por la velocidad inicial de esta pelota de golf y usted me pueden decir a ver esto debería ser un signo negativo pero no aunque yo sé que esta pelota de golf va hacia la izquierda estoy dejando que ésta deje y sea la velocidad incluyendo la dirección de mi pelota de golf por lo que tendremos un signo negativo oculto aquí en el caso de que vaya hacia la izquierda es decir esta vez sería igual a un número negativo por lo que no voy a incluir ese signo negativo aquí ya que de hacerlo así estaría cancelando el número negativo que ya estaría aquí así que aquí dejo un más y todo esto tiene que ser igual al momento final de la pelota de tenis que es la masa de esta pelota de tenis por su velocidad final btf más el momento final de la pelota de golf que es m g por bg final y aquí es buena idea no perder de vista cuáles son nuestras incógnitas lo que desconocemos son las velocidades finales pero no y todos los valores de las velocidades iniciales y de las masas e igual que la vez anterior una vez que desarrolló esto puedo despejar una sola de mis incógnitas ya que tengo dos de ellas y muchas veces cuando trabajamos con ecuaciones simbólicas buscamos simplificar la expresión lo más que se pueda aquí no hay mucho que pueda simplificar pero si puedo mover este término de emt hacia la izquierda img hacia la derecha de manera que me queda mt por bt y menos mt x btf igual amg por bg efe - m g por de gea y noten que podemos tener un factor común y me pueden decir bueno y de qué me sirve hacerlo bueno si yo hiciera esto por primera vez tampoco sabría yo que me conviene hacer esto desde ahorita pero normalmente es una buena práctica tratar de simplificar lo más que se pueda y en este caso en particular este es un paso crucial así que aunque en este momento no sea obvio porque es importante simplificar esto desde ahorita confíen en mí vamos a ver más adelante porque si nos conviene del lado derecho escribo m por vejez efe - vejez y recuerden que no estas incógnitas son esta vete final y esta vejez final ahora esta expresión se ve un poquito mejor porque tengo cosas agrupadas pero aún así si esta colisión es elástica entonces puedo usar la conservación de la energía cinética lo ponemos por acá vamos a encontrar la energía cinética total inicial que debe ser igual a la energía cinética total final esto va a ser igual a un medio por la masa de la pelota de tenis por la velocidad inicial de esta pelota de tenis al cuadrado ya esto le sumó la energía cinética inicial de la pelota de golf un medio por la masa de esta pelota de golf por su velocidad inicial al cuadrado esto tiene que ser igual a la energía cinética final de todos los objetos es un medio por la masa de la pelota de tenis por la velocidad final de la pelota de tenis al cuadra más un medio la masa de la pelota de golf por la velocidad final de la pelota de golf al cuadrado y nuevamente hacemos esto para tener una expresión sencilla al final vamos a simplificar esto y vemos que tenemos un medio en todo así que este lo podemos quitar y lo hago dividiendo ambos lados entre un medio o lo que es lo mismo multiplicar ambos lados por 2 y ya que quite estas mitades voy a hacer lo mismo que hice de este otro lado voy a dejar todos los términos que tienen que ver con el mismo objeto de un lado y los términos del otro objeto del otro lado igualmente puede que no sea obvio porque estoy haciendo esto pero créanme nos va a ayudar mucho a simplificar nos la vida tengo emt por bt y al cuadrado y voy a restar este término en ambos lados me queda menos m porte btf al cuadrado y ahora tengo de un lado mis mts y esto va a ser igual a como voy a restar este término en ambos lados de la ecuación me va a quedar m por vejez efe al cuadrado menos m g v g y al cuadrado y hacemos lo mismo que hicimos en este otro lado vamos a factorizar de este lado mt y de este otro lado mg me queda mt por bt y al cuadrado menos btf al cuadrado y del otro lado factor y psoe mg y me queda m g por de g efe al cuadrado menos de g al cuadrado y ahora la cosa se está poniendo interesante si nos fijamos en esta ecuación de la izquierda y vemos la ecuación de la derecha lucen bastante parecidas lo que es genial porque lo que quiero hacer es incluir esta ecuación de la derecha en la ecuación de la izquierda y hacerlo de tal manera que se cancelen cosas de esta otra ecuación es decir pudimos haber despejado una de las incógnitas como lo hicimos en el vídeo anterior y dejar esta ecuación en términos de una de las incógnitas y después sustituirla aquí en la otra ecuación y volver a tener un desorden tremendo en donde tengo que combinar términos pero de esta otra manera no tendremos tanto desorden y lo que quiero hacer ahora es dejar esta ecuación de la izquierda más parecida a la ecuación de la derecha habrá alguna manera en la que yo pueda quitar estos elementos al cuadrado y dejarlos como estas velocidades de la derecha si la hay si ustedes recuerdan estos términos al cuadrado los puedo reescribir como gmt que multiplica a la cantidad de t - vete final x vete y más vete final ya que cuando multiplico estos dos me va a quedar vete y al cuadrado menos btf al cuadrado y si no me creen hagan la multiplicación de estos dos términos y verán que los términos que no están elevados al cuadrado se van a cancelar si no me creen hagan esta multiplicación y verán que obtendrán estos términos así que reemplazó este término con esto que va a ser igual y voy a hacer lo mismo del lado derecho de esta igualdad m&g por la cantidad de final menos eje inicial por bg final más vejez inicial y nuevamente si esto los multiplicamos nos va a quedar de gf al cuadrado menos vejez y al cuadrado nuevamente si no me creen hagan la multiplicación para que vean que obtenemos esto y ahora si ya tenemos todo lo que necesitamos ahora es cuando ocurre la magia aquí tengo m por t por b y vete efe y de este otro lado tengo exactamente la misma expresión así que lo que voy a hacer es tomar toda esta expresión y sustituirla acá amg por vejez efe - vejez y menos vejez y esto lo voy a sustituir acá y me pueden decir oye pues para qué ibas a hacer eso como es que podemos hacerlo pues porque esta expresión de aquí es exactamente igual a lo que tenemos de este otro lado y yo sé que esta expresión es igual a esta otra así que por eso es que la puedo sustituir son exactamente lo mismo siempre que me encuentre con esta expresión la voy a poder reemplazar con esta otra de acá así que no estoy afectando la expresión de esta igualdad al sustituir esto aquí así que vamos a hacerlo aquí en lugar de tener el m&t por bt y menos btf voy a tener m g por d efe vg que es igual a este otro término de acá pero aún lo tengo que multiplicar por esto otro así que esto lo voy a poner aquí abajo por betty + btf y esto es igual a lo que tengo de este lado derecho e mg por dg efe - vejez y por vejez efe más vejez y ahora ya se dieron cuenta de la maravilla que acaba de ocurrir puedo dividir a ambos lados entre mg estas se cancelan lo que es extraño porque ahora en la ecuación final no vamos a tener ninguna masa así que la relación que estamos por obtener no va a depender para nada de la masa de los objetos lo que es bastante extraño pero también bastante genial y aún mejor si se fijan en este término vejez efe - vejez y también no tenemos de este otro lado de la igualdad así que puedo dividir a ambos lados entre esto lo que va a hacer que se cancelen ambos por lo que nos va a quedar una de las expresiones más sencillas que se puedan imaginar vamos a hacer un poco de espacio y nos queda que vete inicial la velocidad inicial de la pelota de tenis más la velocidad final de esta pelota de tenis btf tiene que ser igual a vejez inicial aquí voy a intercambiar el orden para tener primero el término inicial y después el término final como se están sumando no importa en qué orden las ponga y de esta manera se verá más parecido al lado izquierdo entonces tengo vejez y la velocidad inicial de la pelota de golf más la velocidad final de esta pelota de golf vejez efe y ahora vean qué hermosa expresión nos quedó esto quiere decir que en una colisión elástica si tomamos la velocidad inicial y final de uno de los objetos ésta va a tener que ser igual a la velocidad inicial y final del otro objeto del sistema y esto es sin importar cuál sea la masa de cada uno de los objetos y yo nunca me hubiera dado cuenta de esto a menos que hubiéramos hecho esto de sustituir números por símbolos para poder encontrar aquellos términos que se pueden cancelar pude haber resuelto millones de problemas de colisiones y jamás me hubiera dado cuenta de que este era el caso y la gran razón por la que esto es útil es porque ahora podemos usar esta expresión sencilla en lugar de usar la conservación de la energía cinética ya que está conservación de la energía cinética era la que nos daba el dolor de cabeza por tener todos estos términos al cuadrado y cuando ponemos una expresión que tenemos que elevar al cuadrado vamos a tener esta horrenda expresión algebraica pero ahora con esta sencilla expresión de velocidades puedo despejar una de ellas y sustituirla en la ecuación de la conservación del momento en esta no tengo ningún elemento al cuadrado y aún cuando vamos a tener que sustituir una ecuación dentro de la otra el proceso va a ser mucho más sencillo y mucho menos propenso a errores algebraicos en el próximo vídeo veremos cómo usar este proceso para resolver rápidamente la velocidad final para cualquiera de los objetos involucrados en una colisión elástica en resumen usamos la expresión simbólica de la conservación del momento y la sustituimos en la de la conservación de la energía cinética también simbólica y terminamos con un hermoso y sencillo resultado que podremos usar para resolver problemas de colisiones elásticas y así evitar usar la conservación de la energía cinética para cada ocasión