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Calcular el producto cruz y el producto punto con notación de vectores unitarios

Transcripción del video

hasta el momento lo que he hecho del producto cruz y el producto punto te he dado definiciones hemos hecho algunos ejemplos y bueno ya sea que tomas el coseno o el seno del ángulo entre ellos pero qué pasa si no te dan el vector visualmente qué pasa si no te dan el ángulo entre ellos cómo vas a calcular el producto punto o el producto cruz pongo nuevamente las definiciones digamos que tengo yo aquí aa punto b eso es lo mismo que la magnitud del vector a por la magnitud del vector b por el coseno del ángulo entre ellos ahora bien entonces a cruz b es igual a la magnitud de an por la magnitud de b por el seno del ángulo entre ellos es decir proyecciones perpendiculares por el vector normal el cual es perpendicular a ambos vectores y donde en el cual averiguamos su dirección usando la regla de la mano derecha pero y si no tenemos esto definido visualmente que qué sucede si no tenemos los ángulos por ejemplo a qué pasaría si yo te doy vector am en notación de ingeniería es decir que bueno en esta anotación simplemente divides al vector en sus componentes x y z entonces el vector a digamos que es igual a 55 y donde ahí es el vector unitario que va en la dirección de x luego menos 6 j menos 6 j más fresca y jk son simplemente los vectores unitarios en las direcciones x y y ceta respectivamente el 5 indica cuánto avanza en la dirección de x el menos 6 indica cuánto va en la dirección de jay el 3 indica cuánto va en la dirección de z de hecho puedes graficar lo y es que bueno si las gráficas tendrás más intuición claro pero digamos que esto es todo lo que se te dan y ahora lo toca el sector ve para un bebé ok el bm el bebé bueno simplemente me estoy inventando números digamos que es menos 2 y estamos en tres dimensiones claro más 7-j y más 4k más cuatro camps puedes graficar los de hecho si se te diera un problema si quisieras modelar vectores en un simulador así es como le harías simplemente rompes el vector en sus componentes x 6 zeta y aquí simplemente sumas cierto pero como multiplicas como los multiplicas ya sea tomando el producto cruzo el producto punto no lo voy a probar aquí pero voy a estar pero te voy a mostrar cómo se hace el producto punto es muy sencillo con esta anotación esta anotación también se puede escribir de la siguiente manera con corchetes entonces sería 5 menos 6 y 3 y entonces solamente son las magnitudes de los de las direcciones x jay-z y este el b sería menos 2 7 y 4 así que pasemos a lo siguiente como hago yo para el producto punto entre a y b a punto b a bueno de hecho esto va a ser hasta algo placentero porque es muy sencillo ahorita va a saber por qué digo esto sucede que lo único que haces es multiplicar los componentes de y se los sumas a los componentes de j multiplicados y eso se los sumas a los componentes de cada multiplicados entonces esto es igual a 5 x 5 x menos 2 más menos 6 por 7 menos 6 por 7 más 3 por 4 3 por 4 y esto es igual a menos 10 menos 42 más 12 lo cual es igual a menos 52 más 12 que es igual a menos 40 y ahí lo tienes ese es un número de hecho aquí yo de curiosa sería muy bueno graficar esto ver ver por qué o cómo o por qué es menos 40 quizás van en direcciones opuestas sus proyecciones quién sabe entonces como puedes ver es fácil de calcularlo de esta manera sale directo porque lo único que estamos haciendo es multiplicar los componentes de x estos dos componentes las multiplicas las sumas a la multiplicación de las componentes de jay y eso los sumas a la multiplicación de las componentes de zeta eso es todo como puedes ver si te dan los vectores en esta anotación es bastante fácil calcular el producto punto pero como puedes ver tomar el producto cruz de estos vectores en esta anotación no es tan directo aunque claro tenemos variedad y eso es lo bueno porque otra manera de hacerlo sería averiguar la magnitud de cada uno de estos vectores y luego usar trigonometría elegante para averiguar los ángulos y después usar la definición pero creo que te gusta bastante el hecho de que sea más sencillo de esta forma el producto punto es algo bastante divertido ahora haremos veremos si podemos tomar el producto cruz y no lo voy a demostrar simplemente te enseñaré cómo se hace en un vídeo futuro si me lo piden aunque bueno no lo voy a demostrar en un vídeo futuro así que ok hagamos esto del producto cruz para tomar el producto cruz de los vectores en esta anotación entonces ok a cruz b es una aplicación de matrices lo que haces es tomar el determinante esto es sólo una manera de para facilitarte la vida es una manera para que memorice es lo que estás haciendo lo que se hace aquí no te da tanta intuición pero la intuición te la da la definición recuerda lo que hacíamos multiplicamos las magnitudes usa la regla de la mano derecha y esto te dice dirección apunta al vector normal cierto pero qué pasa si te dan esta anotación entonces lo que haces es escribir los vectores unitarios y jk en el primer renglón luego escribe es el primer vector del producto cruz porque bueno el orden si importa aquí así que es 5 menos 6 y 3 luego tomas el segundo vector b es menos 2 7 y 4 tomas determinante de esta matriz de 3 por 3 entonces esto sería igual al sub determinante para y así que quitas esta columna y quitas este renglón te queda menos 6 7 y 4 x y si no recuerdas determinantes tal vez esto te sirva bueno yo creo que te sirve mucho como un repaso cierto entonces recuerda que es más menos más así que aquí tenemos menos el sub determinante para j y cuál es el sub determinante para j quizás aquí cruzas la columna y la fila de j entonces tienes 5 tiene 53 menos 2 y 4 53 menos 2 y 4 sólo quitamos la columna y el renglón de j estos son los números de su sub determinante para j más el sub determinante para acá le sumamos el sub determinante para acá quitamos las columnas la columna y la fila para acá entonces nos queda 5 menos 65 menos seis menos 2 y 7 por acá baja ahora calculamos los determinantes haré un poco de espacio aquí voy a borrar algunas cosas no ya no ya no lo necesitamos que borró esto adiós y adiós también entonces que obtenemos bueno lo voy a hacer aquí arriba estos determinantes de 2 por 2 son bastante sencillos de realizar cierto entonces menos seis por cuatro menos 7 por 3 entonces menos 24 menos 21 - 24 menos 21 por y menos 5 por 4 es 20 entonces 20 menos menos dos por tres serían menos menos 6 j menos menos 6 j más 5 por 7 35 menos menos dos por menos seis es 12 entonces es menos 12 por acá y ahora lo simplificamos esto es igual a menos 24 - 21 eso es menos 45 y luego 20 menos menos 6 es igualdad entonces menos 26 j -26 j después 35 menos 12 eso es más 23 acá y ahí lo tienes el producto cruz si graficar asestó en tres dimensiones tú podrías ver y bueno eso es lo interesante del asunto tú podrías observar y as este vector menos 45 y menos 26 j más 23 acá que es totalmente perpendicular a ambos vectores a y b en el próximo vídeo voy a intentar obtener algún programa para graficar bueno porque va a ser divertido de hecho vamos a calcular el producto cruz y el producto punto usando estos métodos que te acabo de mostrar y graficar hemos y te mostraré también que si funciona esto así que bueno también te voy a mostrar que este vector es totalmente perpendicular a a y b y es el vector que te indica usando la regla de la mano derecha así que nos vemos