El producto punto

damos algo sobre el producto punto el producto punto francamente de todas las bueno de las dos maneras que existen para multiplicar vectores creo que es la más sencilla que hace el producto punto primero que todo vamos a darle la definición y después vamos a trabajar en la intuición así que si yo tengo dos vectores el vector a punto el vector b eso es igual a la magnitud del vector a la magnitud del vector ar por la magnitud del vector b por el coseno del ángulo entre ellos y de dónde viene todo esto quizás te parezca un poco raro aunque creo que con una explicación visual tendrá un poco más de sentido bueno entonces lo voy a dibujar arbitrariamente que tengo mis spector es el vector am y acá está el sector b en color verde baja entonces bueno este es el vector b y ahora voy coseno o al menos bueno voy a dibujar el ángulo entre ellos este de aquí este es de está bueno hay dos maneras de visualizar esto voy a también a ponerle el nombre este es a acá está el sector de hay dos maneras de visualizar este producto como bueno tú sabes la multiplicación es asociativa tú puedes cambiar el orden entonces lo podemos escribir como la siguiente manera podemos escribirlo como la magnitud del vector an por el coseno de teta por el vector b que lo voy a poner en verde para para separarlo por la magnitud del vector de ahora viene este punto no es el producto punto es multiplicación normal así que si quieres no lo escribas en cambio si ves el punto entre dos vectores entonces hablamos del producto punto entre vectores ahora con este acomodo que es a coste no de teta si yo aquí pongo una un ángulo recto si yo pongo una línea perpendicular al vector b y bueno mejor la bola voy a dibujar la dibujo aquí está es perpendicular el vector de ahora que es coseno de teta que es igual con seno de teta coser no se trata de es igual a cateto adyacente sobre hipotenusa cierto y bueno de hecho si es eso ahora cuál es el cateto adyacente en este triángulo que formamos la hipotenusa es la magnitud de a así que bueno lo voy a volver a escribir acá abajo ok el coseno de teta es decir que ese ángulo ese ángulo es igual coseno de teta es igual a cateto adyacente el cual es como le llamamos le llamamos la proyección del vector en el vector b si tú alumbradas una lámpara perpendicularmente a b si hubiera una luz aquí que alumbra hacia abajo en una manera recta entonces hablamos de la proyección de a en el vector b sí sí me explico o puedes pensarlo como una como la parte de a que va en la misma dirección debe así que esta proyección así se le llama bueno al menos como yo lo veo mi intuición de ello es de una proyección es lo veo como una sombra porque si tienes una luz que apunta en ángulo recto tendrías la sombra de ese vector sobre el otro vector así que bueno imagínatelo esta sombra la puedes llamar la proyección de a en el vector b llamémosle a su vez y bueno estamos tomando la magnitud la magnitud sería cuánto de ese vector va en el vector b como sombra sobre este que es el cateto adyacente y todo esto es sobre la hipotenusa lo cual es simplemente la magnitud del vector a otra manera de verlo sería multiplicar ambos lados por la magnitud del vector así que obtienes la proyección de a en b lo cual es una manera elegante diría yo una manera elegante de decir que la parte de a que va en la misma dirección del vector b es igual eso es igual a la magnitud de a por el coste no de teta que es exactamente lo que tenemos arriba aquí arriba en la definición del producto punto ahora otra manera de visualizar el producto punto es reemplazar este este término con la magnitud de la proyección de a en b por la magnitud de b eso es bastante interesante me parece el producto punto de dos vectores es simplemente tomar un vector y averiguar cuánto de ese vector qué componente de su magnitud va en la misma dirección del otro vector y multiplicarlos ahora tal vez te preguntes bueno para qué sirve esto donde donde lo puedo aplicar muy buena pregunta porque bueno el trabajo por ejemplo cuando aprendemos trabajo en física el trabajo es fuerza por distancia y no es simplemente la fuerza total por la distancia total no es la fuerza que va en la misma dirección que la distancia así que si yo tengo bueno de hecho te recomiendo ver los vídeos de física echarles un vistazo pero digamos que yo tengo un objeto de 10 newtons que está sentado sobre hielo así que no hay x no hay fricción no no tenemos no hay que preocuparnos por ahora por la fricción en este ejemplo entonces dibujo aquí el hielo en azul está frío y resbaladizo y digamos que yo yo lo halo entonces mi vector de fuerza va hacia acá va en esta dirección ese es mi vector fuerza digamos que mi vector fuerza es no lo sé digamos supongamos que es de de 100 newtons así que este es de 100 newtons me estoy inventando el número realmente de almas solamente para que funcione fácil y digamos que lo halo lo resbaló hacia la derecha así que mi vector distancia es de supongamos que 100 metros 100 son 10 metros 10 metros es mi vector distancia 10 metros paralelo al suelo y el ángulo entre ellos supongamos que es no sé supongamos que de 60 o lo que es lo mismo y sobre 3 aunque mejor lo pongo con 60 grados ya que es un poco más intuitivo ahora mi pregunta es a esta distancia aquí es de 10 metros mi pregunta es que jalando esta cuerda o lo que sea que estoy hablando aquí en 60 grados con una fuerza de 100 newtons y empujando esta caja hacia la derecha en 10 metros cuánto trabajo estoy haciendo trabajo es fuerza por distancia pero no solamente la fuerza hablamos de la magnitud de la fuerza en dirección de la distancia así que cuál es la magnitud en la dirección de la distancia sería la componente horizontal de este vector fuerza entonces sería 100 newtons por coseno de 60 grados te dirá cuánto de esos 100 newtons va hacia la derecha otra manera puedes verlo como este es el vector fuerza esté acá es el vector distancia entonces puedes decir que el trabajo total es igual al vector fuerza punto el vector distancia estamos usando producto punto y sabemos que por definición es la magnitud del vector efe el cual es 100 100 newtons así que esto es igual a la magnitud del vector efe que es 100 por la magnitud del vector distancia el cual es 10 por el co seno del ángulo entre ellos que es coseno de 60 eso es igual a el newton por metro por el coste no de 60 y cuantos el coche no de sesenta cuanto s es raíz de tres sobre dos con eso es si es que lo recuerdo correctamente y creo que sí lo recordé correctamente entonces x raíz de tres sobre dos y muy bien haciendo las cuentas aquí por lo tanto esto es igual a 500 500 x raíz de 32 esa es la cantidad de trabajo empleado pero lo importante quiere darse cuenta que el producto punto sirve o se puede aplicar para calcular trabajo para calcular qué componente de que vector da en la otra dirección de hecho también puedes verlo como la magnitud de a por la magnitud debe coseno de teta lo cual es completamente válido entonces que es b coseno de teta de hecho te invito a que lo hagas b coseno de teta es la magnitud del vector b que va en la dirección del vector a no importando el orden que tomes y bueno porque aquí no es como en el producto cruz donde no es igual tomar a cruz ve que ave cruza en el producto punto no importa el orden en el producto cruz importa el orden entonces ve costero de teta sería la magnitud del vector b que va en la dirección del vector si dibujas una línea perpendicular aquí entonces b coseno de teta sería este vector que estoy dibujando este bueno es la magnitud del vector b coseno de teta entonces podrías decir cuánto del vector b va en la misma dirección que el vector a y luego multiplicas las dos magnitudes o cuánto del vector a va en la misma dirección del vector b y luego multiplica las dos magnitudes ahora bien yo creo que es buena hora para que entendamos las diferencias entre el producto punto y el producto cruz el producto punto termina con un número multiplica sus vectores y lo que obtienes es un número terminas con una cantidad de escalar como resultado y quizás digas bueno porque eso es interesante es bastante interesante porque te indica cuánto cuánto estos vectores se refuerzan están estás tomando sus magnitudes que van en la misma dirección y las multiplicas mientras que el producto cruz es casi lo opuesto porque recuerda tomar sus componentes ortogonal es cierto y la diferencia es el seno de teta de hecho hecho de un vistazo a los vídeos del producto cruise que hice haré otro vídeo donde los voy a comparar pero recuerda que ahí se multiplicaban las magnitudes de los vectores que eran perpendiculares es decir los vectores que no van en la misma dirección los vectores ortogonales y debes escoger una dirección debes escoger una dirección ortogonal a ambos vectores esa es la razón principal por la cual la orientación importa en la regla de la mano derecha esa es la principal razón porque estás escogiendo dos vectores perpendiculares en tres dimensiones y bueno voy a comparar después en otros vídeos lo que es el producto cruz y el producto punto así que nos vemos pronto