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Introducción al producto cruz

Introducción al producto cruz. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

creo que ya hemos hecho bastantes vídeos hablando del producto punto de dos vectores y nosotros ya dominamos perfectamente el producto punto sobre entonces de pensar en lo que definimos como el producto cruz y es que el producto cruz es también otra forma de multiplicar dos vectores recuerdas que hace tiempo te había dicho que había varias formas de multiplicar dos vectores pues el producto cruz es la segunda y seguramente ya has visto cómo obtener el producto cruz porque es algo muy intuitivo y que tarde o temprano llegaste a ver el producto punto lo que nosotros habíamos visto es un producto que estaba definido para dos vectores en rn en cualquier dimensión tomábamos dos vectores a ive y para estos dos vectores el producto punto estaba bien definido sin embargo ahora que pensamos en el producto cruz tenemos una limitante el producto cruz solamente está definido para vectores en r3 solamente estamos viviendo en r3 ahora otra de las diferencias importantes es que el producto punto cuando nosotros lo realizamos nos daba un escalar recuerda el producto punto nos daba una escalar un numerito un número real mientras que si nosotros pensamos en el producto cruz este no nos va a dar de resultado una escalar nos va a dar de resultado un vector y bueno cual es el vector resultante del producto cruz pues vamos a ver vamos a definirlo y seguramente te vas a hacer memoria y te vas a acordar que esto ya alguna vez lo habías visto entonces el producto cruz de dos vectores voy a tomarme dos vectores aquí en r3 a base de mi vector cuyas componentes va a ser a 1 a 2 y a 3 y ahora me voy a tomar otro vector otro vector de director d también está en r 3 y sus componentes van a ser la b1 b2 y b3 tenemos tres componentes porque estamos en r3 perfecto y ahora quienes a cruz be o dicho de otra manera quien va a ser a producto cruz con b bueno pues vamos a definirlo y eso tiene que ver bastante con como hacíamos operaciones con matrices y determinantes y bueno de hecho creo que no hemos definido ni matriz ni determinantes pero alguna vez cuando hablamos acerca de ecuaciones lineales o método de desarrollos que se yo fíjate bien tenemos que tener tres componentes porque esto también va a vivir en r3 tres componentes la primera componente la vamos a sacar tachando estos dos y fijándonos solamente en a 2 b 2 a 3 cp 3 y para obtener esto vamos a ser a 2 x b 3 ya esto le vamos a quitar a 3 x de dos esto es muy importante a 2 b 3 menos a 3 b 2 así es como vamos a definir la primer componente de a cruz b ojo quitamos las primeras componentes y sacamos el determinante por así decirlo de la matriz a 2 b 2 a 3 b 3 y no te compliques la vida tal vez no sea tan difícil como lo piensas ahorita siempre sencillamente todos para abajo menos todos para arriba en este primer componente a 2 x b 3 bajamos en diagonal ya eso le vamos a quitar a 3 x de 2 y nos olvidamos de las primeras componentes déjenme escribirlo a 2 b 3 ya esto le voy a quitar a 3 x de 2 menos a 3 x b 2 y ojo el signo de enmedio siempre es menos siempre es negativo ahora como sacó la segunda componente de la cruz b bueno pues eso también sea muy fácil lo único que hay que hacer es eliminar estas dos que tenemos aquí y seguramente vamos a decir ah pues es a 1 por b 3 menos a 3 por ver 1 pero ojo solamente en esta ocasión cuando te hablamos de la segunda componente del producto cruz lo que va a pasar es lo siguiente vamos a voltear el orden primero van a ser para arriba menos los de abajo es decir a 3 por ver uno menos a uno por b 3 volteamos el orden de los sumandos va a ser a 3 por b 1 primero todos para arriba y después menos todos para abajo a 3 por b 1 y esto le vamos a quitar la multiplicación de la diagonal hacia abajo es decir menos a 1 por b 3 y este es el caso especial del producto cruz recuerda que la segunda componente del producto cruz pasa algo extraño en la componente 3 pues nos olvidamos por un rato o cancelamos la tercera componente de estos dos vectores y me va a quedar a 1 v2 normal todos para abajo - todos para arriba ya esto le voy a quitar menos a 2 por 21 a 2 por de 1 y así está definido a cruz ve el producto cruz de dos vectores y bueno este producto cruz tiene propiedades muy importante es que justo ahorita vamos a ver pero antes de eso quiero que vayamos practicando la idea del producto cruz y para esto voy a utilizar un ejemplo y van a ver que no es tan difícil aprenderse todo esto que tenemos aquí arriba voy a tomarme el vector 1 menos 71 ya éste le voy a calcular su producto cruz con el vector 5 2 4 y que nos va a quedar bueno recuerda que el producto cruz en su primer componente lo que tenemos que hacer es ignorar otras veces como que olvidarnos un poco de las dos primeras componentes y solamente fijarnos en los componentes dos y tres de mis vectores anteriores y me va a quedar menos 7 por 4 menos 7 por 4 déjeme escribirlo x menos 7 por 4 ya esto hay que quitarle menos uno por dos menos uno por dos y después llegamos en la segunda componente la importantísima segunda componente es de bizarra porque recuerden que realmente lo que tenemos que hacer la segunda componente además de olvidarnos por un rato de las segundas componentes anteriores es multiplicar las diagonales al revés es decir vamos a multiplicar 1 por 5 ya esto le vamos a quitar 1 x 4 y después llegamos la componente número 3 y la componente número 3 es normal primero para abajo y después para arriba y nos olvidamos por un rato de las terceras componentes de los dos vectores anteriores y simple y sencillamente me queda 1 por 2 y después a esto hay que quitarle menos 7 por 5 dejen ponerle un paréntesis menos 7 que multiplica a 5 déjame ver si lo estoy poniendo bien es este por este y es menos 7 por 5 y bueno solamente que es las correspondientes cuentas lo que tenemos aquí vamos a ver menos 7 por 4 es 28 menos 7 por 4 28 menos 2 me va a quedar atrás ejemplo aquí esto es menos 28 y después menos 2 y de resultado me queda menos 30 ó 30 es negativo después tengo 1 por 5 es uno menos 4a pues estos 1 11 es 1 por 55 menos 4 es uno positivo y después para finalizar tengo 1 por 2 que es 2 - por menos me da más entonces me queda 2 más 35 o 2 - menos 35 lo cual me da 37 perfecto ya tengo mi lector resultado de cruz ven y seguramente te estás preguntando bueno hay para que ver el producto cruz de dos vectores en r3 qué chiste tiene este producto cruz y es que el vector cruz cumple una propiedad muy importante y es que el vector resultante del producto cruz ya sea el numérico o el abstracto cumple que es un vector ortogonal ojo es un vector ortogonal tanto a como a b es decir es un vector que es ortogonal abella recuerda que en el vídeo pasado estábamos hablando acerca de cómo encontrar la ecuación de un plano dado un punto y un vector bueno pues sí ahora tenemos dos vectores entonces ya podemos encontrar la ecuación de un plano porque si nosotros tenemos dos vectores que va a pasar -sector es bueno si los dos vectores no son co lineales así que voy a dibujar para cada vez este es am este de acá se ven ojo estoy pidiendo que los dos vectores no sean con lineales entonces el espacio vectorial generado por dos vectores es es un plano entonces déjeme poner aquí al tanto que nos va a quedar de nuestro espacio vectorial generado por estos dos vectores es todo este de aquí y a continuación lo que nos vamos a dar cuenta es que a cruz b es decir el producto cruz de dos vectores me va a quedar un vector que es ortogonal a estos dos o es ortogonal al plano por lo tanto éste va a ser a cruz ven y seguramente te estás preguntando por qué me estoy tomando a éste como a cruz ven porque no estoy tomando cualquier otro vector o puede ser tal vez un vector que sea para arriba ahorita vamos a hablar de las magnitudes de la cruz pero lo que quiero que veas es que porque no me estoy dibujando un vector que vaya hacia abajo un vector que va hacia abajo también es ortogonal y bueno la respuesta de esto es que estoy utilizando la regla de la mano derecha y como es la regla de la mano derecha bueno déjenme intentar dibujar una mano derecha por aquí vas a decir que qué ocurrencias me saco y qué bizarro pero esto que estoy dibujando aquí voy a suponer que es mi mano derecha este es mi dedo índice mi dedo índice va a apuntar siempre a dónde apunta el vector a entonces este dedo índice que estoy dibujando aquí va a apuntar hacia dónde va el vector y después tengo que poner al vector b y para eso voy a utilizar a mi dedo del medio mi dedo de enmedio va a apuntar a dónde está el vector b y los demás dedos pues no hacen nada y mi pulgar me va a decir a dónde va a cruz ven cuando yo alzo mi pulgar mi pulgar me va a decir dónde va a cruz ven y si podemos decir que eres anatómicamente similar a mí bueno realmente entonces este es el vector am aquí lo voy a dibujar aquí también me voy a tomar al vector ven y entonces estoy diciendo que a cruce siempre va a apuntar hacia arriba o hacia donde vaya mi pulgar en mi mano derecha tu pulgar no está colgando aquí abajo por lo tanto creo que si puede funcionar bastante la regla de la mano derecha para pensar en nada cruz ve y bueno ya que estamos en el contexto de platicarles acerca de los vectores ortogonales la definición de un vector ortogonal a otro que tenían que cumplir pues déjame ponerlo aquí abajo si dos vectores eran ortogonales entonces pasaba lo siguiente estás de acuerdo ortogonales estamos diciendo que a y b son ortogonales si pasaba lo siguiente a punto b es igual a 0 recuerdas si pasaba esto es que eran ortogonales y el producto punto de dos vectores es igual a cero cumplan que es ortogonales entonces yo estoy diciendo que a cruces ortogonal a y también es ortogonal a b entonces quiere decir que su producto punto tiene que ser igual a cero y bueno eso es lo que cumplían dos vectores que eran ortogonales ahora déjame mostrarte que en efecto a cruz b es ortogonal tanto a como a b sería muy bueno probarlo estás de acuerdo de hecho creo que traería bastante satisfacción probar esto así que me voy a poner un poco por acá y la verdad no tengo ganas de escribir otra vez a clave por lo tanto lo voy a cortar ok cortar y ahora lo voy a pegar entonces solo quiero pegar pegar aquí y lo voy a exponer por acá sé que está les quitarán un poco de cosas raras pero bueno tú entiendes que estos a cruz ven y ahora lo que quiero hacer es el producto punto de cruz ve con primero con la vamos a ver ahora el vector a-1 a-2 a-3 y ahora vamos a calcular el producto punto de la cruz b por a y si esto me da 0 es que son ortogonales así que vamos a intentarlo esto me queda a 1 que multiplica a la primera componente de cruz b es decir a 1 x a 2 b 3 menos a 1 que va a multiplicar a tres dedos y ya esto le tengo que sumar recuerda como estaba definido el producto punto eran sumas a esto lo tengo que sumar a 2 que va a multiplicar a la segunda componente de este vector a cruz ven y me queda a dos por tres por ver uno menos a dos por uno ve tres y bueno ahora tengo que hacer lo mismo que la tercer componente a tres que va a multiplicar al tercer componente de a cruz y me queda a 3 que multiplica a 1 b 2 ya esto le voy a quitar a 3 que multiplica a 2 por 1 y yo sé que lo hice aquí abajo tal vez te confunda un poco todo esto pero date cuenta que al final estos dos primeros términos que tengo aquí salieron de multiplicar las dos primeras componentes estos dos términos salieron de multiplicar las segundas dos componentes y por último estos otros dos términos salieron de multiplicar las terceras componentes y vamos a ver que nos queda de todo esto me queda a uno a dos de tres pero éste es positivo estás de acuerdo y por acá tengo a dos a uno b 3 negativo y si el orden de los factores no afecta el producto entonces este y éste se cancelan bueno vamos a ver nuestro siguiente sumando me quedan menos a 1 a 3 b 2 y aquí tengo más a 3 a 1 b 2 se cancelan también changos y vamos a ver entonces qué pasa con el último sumando me queda a 2 a 3 b 1 y aquí me queda menos 3 a 2 b 1 es lo mismo por lo tanto también se cancelan y qué creés si todos se van entonces el producto punto de estos 2 al 0 o lo que quiere decir que a cruz ve punto el vector a es igual a 0 y entonces estos dos son vectores ortogonales ahora voy a calcular lo mismo para ver igual y para verlo son ortogonales entonces voy a calcular a cruz b punto b y lo voy a poner aquí aquí voy a poner todo esto punto b pero el vector b es el vector b1 b2 b3 así que vamos a calcular cuánto es a cluj b punto b y entonces me va a quedar de las primeras componentes me queda b 1 que multiplica a 2 b 3 - b 1 que va a multiplicar a 3 b 2 b 1 que va a multiplicar a 3 que a su vez va a multiplicar a b2 y bueno ahora voy a multiplicar las segundas componentes si no queda b 2 que va a multiplicar a todo esto de aquí b 2 que multiplica a 3 b 1 déjame ponerlo así esto me va a quedar b2 b2 que va a multiplicar a este ya éste es que si no luego me confundo y recuerda que un errorcito y todo sale mal entonces b 2 que multiplica a 3 b1 b2 que multiplica 13 ok y por último me voy a fijar en las terceras componentes y las voy a multiplicar también sumando me queda b 3 que multiplica a 1 v 2 - b 3 que multiplica a a2 b1 y vamos a ver que se cancela con que o si se cancela o si no se cancela entonces hasta aquí creo que vamos bien solamente utilizamos la definición del producto punto y me queda p 1a 2b 3 y aquí abajo me queda donde está donde está aquí abajo me queda de 3 a 2 b 1 y entonces uno positivo y uno negativo se van y me quedan menos de 1 a 3 b 2 y aquí tengo más b 3 b 1 está de 2 a 3 b uno positivo y uno negativo y entonces también se cancelan estos dos también se van y para finalizar tengo uno negativo que es de 2 a 1 b 3 y 1 positivo que es b 3 a un 92 y por lo tanto estos dos también se cancelan y esto quiere decir que el producto punto de la cruz ve punto b me da 0 o dicho de otra manera esto está genial porque llegamos a lo que queríamos es decir nos acabamos de dar cuenta que el vector resultante de a cruz b es ortogonal al vector b que al final es justo lo que queríamos ver si a y b eran ortogonales al vector a cruz b y bueno espero que todo esto te ha sido bastante útil porque lo vamos a utilizar en los siguientes vídeos donde vamos a ver más propiedades acerca del producto plus