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Noción sobre los osciladores armónicos simples

Transcripción del video

vamos a hablar de osciladores y que es un oscilador es un objeto o variable que se puede mover adelante y hacia atrás o aumentar o decrementar ir de arriba a abajo de izquierda a derecha una y otra y otra vez por ejemplo aquí tenemos una masa conectada a un resorte es un oscilador porque si jalamos la más hacia la derecha éste resultara que la masa o si le adelante y hacia atrás una y otra vez y es a eso a lo que nos referimos con un oscilador otro ejemplo comunes el péndulo un péndulo es una masa conectada a una cuerda fija lamos la masa hacia un lado estaba regresar y va a estar moviéndose de un lado a otro una y otra vez así que esto es un oscilador y estos son los tipos más comunes de osciladores la masa en un resorte y el péndulo pero hay muchos otros ejemplos y todos estos ejemplos comparten una característica en común que lo define como osciladores y ustedes se preguntarán bueno porque es que estas cosas o si lan en primer lugar y es por el hecho de que comparten esta característica todos tienen una fuerza restauradora y la fuerza restauradora como lo sugiere su nombre trata de restaurar el sistema restaurarlo que se preguntarán pues restaurar el sistema a su posición de equilibrio todos hilador tiene una posición de equilibrio y ese punto es en donde no tenemos una fuerza meta en ese objeto por ejemplo para esta masa en este resorte si tenemos que se encuentra en su posición de equilibrio la fuerza neta en ese objeto será de cero ya que esto es lo que significa la posición de equilibrio en otras palabras si dejamos la más aquí aquí se va a quedar ya que no tiene alguna fuerza neta en ella sin embargo si gioja lo esta masa hacia la derecha el resorte va a decir ah no esto no me gusta voy a tratar de restaurar este massa en la posición de equilibrio regresarla a donde estaba así que el resorte va a jalar hacia la izquierda y yo empujó la masa hacia la izquierda el resorte va a decir esto no me gusta vamos a regresar esto a su posición de equilibrio así que si yo empujó hacia la izquierda el resorte va a empujar hacia la derecha y si yo jaló hacia la derecha el resorte va a jalar hacia la izquierda siempre va a tratar de restaurar a la masa en la posición de equilibrio lo mismo sucede con el péndulo si yo muevo el péndulo hacia la derecha la gravedad va a actuar como fuerza restauradora y la va a tratar de regresar hacia la izquierda pero su hija lola masa hacia la izquierda la gravedad batata de regresarla a su posición de equilibrio moviéndola hacia la derecha siempre va a tratar de regresar la masa a su posición de equilibrio y esto es a lo que nos referimos cuando hablamos de fuerzas restauradoras ahora hay muchos tipos de osciladores pero sólo algunos de éstos son especiales y les damos un término especial los llamamos osciladores armónicos simples y ustedes pueden pensar a qué nombre tan más ridículo ya que eso no suena simple para nada pero existe algo llamado oscilador armónico simple y qué es lo que hace a estos osciladores armónicos simples tan especiales resulta que aunque todos los osciladores tienen una fuerza restauradora los osciladores armónicos simples tienen una fuerza restauradora que es proporcional al desplazamiento esto quiere decir que si gioja lo está más hacia la derecha habrá una fuerza restauradora pero que será proporcional al desplazamiento que yo hice con esta masa si gioja lo esta masa hacia la derecha el doble que la primera vez voy a obtener el doble de la fuerza restauradora y si la jaló tres veces más voy a obtener el triple de la fuerza restauradora lo mismo aquí abajo si gioja lo está más a dos veces el ángulo de la primera vez voy a obtener el doble de la fuerza restauradora que tuve la primera vez si esto se cumple entonces tenemos un oscilador armónicos simple y quizá esto aún no los impresiones digan que no y a quién le interesa esto porque me debe interesar que la fuerza restauradora sea proporcional desplazamiento bueno esto nos interesa porque éstos osciladores cumplen una regla muy especial la cual veremos en este vídeo y aunque esto no suene demasiado simple créanme que son mucho más simples que las alternativas de los osciladores que no son armónicos simples estos son los que normalmente estudiamos en las clases introductorias de física y resulta que una masa en un resorte es un oscilador armónico simple y el péndulo también aunque sólo para oscilaciones pequeñas aunque aquí debemos decir que es sólo para ángulos pequeños pero para algunos pequeños el pelo es un oscilador armónico simple en este vídeo sólo vamos a analizar la masa en el resorte y en otro video veremos el péndulo quitamos el péndulo para enfocarnos en la masa en el resort y quizás ustedes no están convencidos de que está más en el resorte sea un oscilador armónico simple bueno podemos probarlo porque la fuerza que proporciona a la fuerza restauradora en este caso es el resorte el resorte es la fuerza restauradora en este caso y conocemos la fórmula de la fuerza del resorte que está dada por la ley de hook y la ley de jugar nos dice que la fuerza proporcionada por el resorte fs para el resorte va a ser negativa la constante del resorte k multiplicada por x que es el desplazamiento del resorte así que x va a ser positiva si el resorte se desplaza hacia la derecha el resorte se va a ser más largo así que este es un desplazamiento positivo y si comprimimos el resorte la longitud del resorte va a ser menor y vamos a tener que se desplazó a la izquierda que tomaremos como un valor negativo de x piensen en esto si yo con primos resorte hacia la izquierda mi x va a ser negativa y este negativo con el otro negativo que tengo va a ser que mi fuerza en total sea positiva por lo que voy a obtener una fuerza positiva lo que quiere decir que el resorte se va a mover hacia la derecha y esto tiene sentido restauradora quiere decir que se va a oponer a lo que uno haga si empujamos la masa hacia la izquierda el resorte va a querer empujarla hacia la derecha si lo hacemos de la otra manera jalamos la masa hacia la derecha el resort eva quiere jalar esta masa hacia la izquierda si tengo un valor de x positivo y lo pongo aquí la fuerza resultante va a ser una fuerza negativa es decir que el resorte backe de jalar la masa a hacia el lado izquierdo va a restaurar esta masa a su posición de equilibrio y esto es exactamente lo que hace unos hilador y vean que esta fuerza del resorte esta fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento este es el desplazamiento y esta es la definición de el oscilador armónico simple y es por esto que las masas en los resortes van a ser osciladores armónico simples ya que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento aunque bueno siendo honestos tendrá que ser proporcionalmente negativa al desplazamiento si tuviéramos efe igual acá por x sin tener al signo negativo y desplazamos la más a la derecha la fuerza tendría dirección también hacia la derecha lo que ocasionaría un mayor desplazamiento hacia la derecha lo que a su vez crearía una mayor fuerza hacia la derecha y está finalmente no tendría fin sería eternamente empujando la más hacia la derecha lo cual no sería bueno así que son realmente fuerzas que tienen una proporción negativa al desplazamiento de esta manera va a restaurar la masa a la posición de equilibrio y si esto es proporcional al desplazamiento entonces tendremos un oscilador armónico simple y bueno a que nos referimos con que sea simple esto qué tiene de simple bueno resulta que estos tipos de osciladores pueden describirse usando funciones seno y cocina los osciladores armónico siempre van a ser descritos usando seno o coseno lo que tiene sentido ya que si recuerdan cómo se ven las funciones seno y cose no lucen algo así así se ve el seno y el goce no comienza por acá y luce así son funciones que oscilan una y otra vez y pues resulta que éstas son funciones sencillas ya que oscilan una y otra vez y a los físicos les gustan mucho estas funciones nos encantan las cosas que son descritas por el seno o el coce no ya que son bastante sencillas de trabajar matemáticamente aunque quizás ustedes no piensan igual créanme que son mucho más sencillas que las alternativas de otras cosas que también oscilan y eso es lo que significa oscilador armónicos simple pero tratemos de encontrar una intuición sobre esto que es lo que está sucediendo en esta masa bueno imaginemos que jalamos esta masa conectada al resorte hacia la derecha ya que si dejáramos a la masa tranquilita en su posición de equilibrio sería un problema bastante aburrido ya que su fuerza neta sería de cero y la masa continuaría en ese lugar así que jalamos esta masa hacia atrás cierto desplazamiento y luego la soltamos y ya que soltamos la masa la vamos a liberar cuando está en reposo y como estaba en reposo quiere decir que la rapidez inicial era de cero así que comienza con más rapidez de cero pero este resorte se ha estirado y éste va a tratar de restaurar la masa a su posición de equilibrio así que el resorte baja la masa hacia la izquierda incrementando su rapidez e incrementa la rapidez de la masa hasta que llega la posición de equilibrio y en ese momento el resorte se da cuenta de que chispas quería regresar a esta masa esta posición pero lo hice con demasiada fuerza y ahora esta masa tiene mucha rapidez hacia la izquierda y las masas no se detienen por sí solas necesitan de una fuerza para hacerlo esta masa tiene inercia y de acuerdo a la primera ley de newton esta masa va a tratar de seguir moviéndose así que aunque el resorte haya llevado la masa de nuevo a su posición de equilibrio pero la llevó a y con una gran rapidez y la inercia de la masa va a ser que pase más allá de la posición de equilibrio y ahora el resorte se va a comprimir y ahora resorte dice uu ahora tengo que regresar esta masa su posición de equilibrio y la voy a empujar hacia la derecha así que ahora el resorte empuja hacia la derecha haciendo que la rapidez de la masa disminuya hasta que se detiene pero como el resort está comprimido va a seguir empujando hacia la derecha para ahora llevará la masa en la dirección opuesta de su movimiento y regresarla a su posición de equilibrio lo cual es lo que el resorte quiere pero de nuevo sucede el mismo error el resorte lleva esta masa a la posición de equilibrio con una gran rapidez hacia la derecha y ahora el resorte dice a lo volvió a hacer lleve a la masa a donde quería pero esta masa tiene una gran rapidez y tiene inercia así que la masa va a continuar moviéndose hacia la derecha más allá de la posición de equilibrio y es por esto que ocurre la oscilación es una lucha constante entre la inercia de la masa que hace que se siga moviendo ya que tiene masa y tiene rapidez y entre la fuerza restauradora que está tratando desesperadamente de regresar la masa a su posición de equilibrio lo cual le cuesta trabajo realizar ya que se sigue excediendo en empujarla con jalarla por lo que esta oscilación ocurre una y otra vez y ahora que ya comprendimos como ocurre esto ahora mencionemos algunas cosas importantes sobre la oscilación una de ellas es que en estos puntos terminales los puntos de máxima compresión o máxima extensión la rapidez 0 por lo que esta masa se va a mover lo más despacio aquí y de hecho en este punto no se está moviendo en estos lugares de máxima comprensión o máxima extensión porque es en esos juntos en donde el resorte ha detenido a la masa y comienza a llevarla hacia la dirección contraria y en cambio a la mitad justo a la posición de equilibrio tenemos la mayor rapidez aquí es en donde la masa se mueve más rápidamente cuando la masa regresado a la posición de equilibrio y es en este punto cuando el resorte se da cuenta de que chispas la masa va a continuar moviéndose más allá de dónde quería dejarla así que se la posición de equilibrio donde la masa tiene la mayor rapidez al menos durante la oscilación y también nos podemos preguntar cuál será la magnitud de la fuerza restauradora en qué punto esta magnitud será mayor y en qué punto esta magnitud será menor al menos durante esta oscilación pues aquí tenemos la fórmula la fuerza del resorte en la fuerza restauradora así que nos preguntamos en qué punto esta fuerza o su magnitud va a ser mayor y en qué punto va a ser menor pues será en el punto en el que esta x sea mayor o menor si nos interesa conocer la magnitud de ésta efe s a si queremos conocer cuál será la magnitud más grande de esta fs pues va a ser cuando tengamos una x mayor si no nos interesa la dirección de esta fuerza y sólo queremos saber dónde vamos a tener una gran fuerza pues tratemos de encontrar en donde vamos a tener nuestra x más grande x es el desplazamiento el valor de x en la posición de equilibrio es igual a cero por lo que aquí no tenemos ningún desplazamiento del resorte justo es lo que significa la posición de equilibrio es la longitud natural del resorte es la longitud a la que el resorte quiere estar por lo que no va a empujar miaja las pero sí desplazamos el resorte en esta dirección o en la otra dirección ésta sería un desplazamiento positivo y esté acá sería un desplazamiento en negativo ahora el resorte baje ser una fuerza en donde será mayor a esta fuerza pues en donde el resorte haya sido comprimido o extendido en mayor cantidad así que en estos puntos a los puntos de máxima extensión o compresión tendremos la mayor magnitud de fuerza ya que cuando estiramos mucho el resorte el resorte va a jalar con mucha mayor fuerza para llevar a la masa a la posición de equilibrio y como sabemos la dirección aquí el resorte va a ejercer una gran fuerza hacia la izquierda y técnicamente sería una fuerza negativa y si ustedes toman en cuenta la ciencia podrían decir que aquí se encuentra la menor cantidad de fuerza porque es bastante negativa pero sí nos interesa solamente la magnitud aquí tendremos una gran magnitud de fuerza y también aquí en el punto de mayor compresión el resorte va estar empujando la más a la derecha con una gran fuerza ya que aunque nuestra x es bastante negativa en este punto nos va a dar una gran cantidad de fuerza así que aquí también tendremos una gran magnitud de la fuerza del resorte lo que puede ser confuso ya que vean en estos puntos terminales la rapidez es de cero tenemos la menor cantidad de rapidez pero tenemos la mayor cantidad de fuerza y esto a veces confunde a las personas ya que piensan cómo es posible tener una gran fuerza con una rapidez tan pequeña bueno ese es el punto en donde el resorte ha detenido a la masa y está comenzando a jalar la en la dirección contraria así que aunque la rapidez sea de cero la fuerza es mayor así que tengan cuidado la fuerza no tiene que ser proporcional a la rapidez la fuerza tiene que ser proporcional a la aceleración ya que sabemos que la fuerza neta es igual a m por hora así que en donde tenemos la mayor cantidad de fuerza vamos a tener la mayor cantidad de aceleración por lo que podemos decir que en estos puntos terminales no tendremos solamente la mayor magnitud de la fuerza sino también la mayor magnitud de la aceleración ya que sea que estamos empujando jalando algo con la mayor cantidad de fuerza tendremos la mayor cantidad de aceleración de acuerdo con la segunda ley de newton así que en estos puntos terminales o puntos extremos tendremos la mayor cantidad de fuerza y la mayor cantidad de aceleración aun cuando tengamos una rapidez de cero así que estos son los puntos en donde tendremos la mayor cantidad de fuerza y la mayor cantidad de aceleración y no donde tendremos la menor cantidad de fuerza y la menor cantidad de aceleración pues vemos la fórmula de nuevo tendremos la menor cantidad de fuerza cuando tengamos la menor cantidad de desplazamiento y la menor cantidad de desplazamiento es justo aquí en el medio en la posición de equilibrio la posición de equilibrio está donde x es igual a cero que es cuando el resort en y empujan y jala justo cuando la masa está pasando a través de la posición de equilibrio aquí tendremos una fuerza igual a cero es el punto en el que la masa regrese a su posición de equilibrio y el resorte dice vaya por fin lo logré aunque después el resorte se da cuenta de que no fue así regresó a la masa a esa posición pero la masa continúa moviéndose así que pasa más allá de este punto pero justo en este punto el resorte tiene este momento de gloria en donde piensa que logró regresar la masa a su posición de equilibrio y deja de ejercer la fuerza porque en ese punto x es igual a cero y si x es igual a cero vemos que la fuerza también será igual a cero así que aquí tendremos la menor cantidad de fuerza aunque debería decir que esta es una fuerza de cero no es la menor es igual a cero y si la fuerza de cero usando el mismo argumento podemos decir que la aceleración también va a ser cero espero que esto les haya dado una intuición del porqué los osciladores hacen lo que hacen y en donde podemos encontrar la mayor rapidez o fuerza en cierto punto en resumen los objetos que tienen una fuerza restauradora negativamente proporcional al desplazamiento serán osciladores armónicos simples y para todos los sociedad hores armónicos simples en la posición de equilibrio tendremos la mayor rapidez pero cero fuerza restauradora y 0 aceleración mientras que ellos por los de máximo desplazamiento tendremos la mayor magnitud de fuerza restauradora y aceleración pero la menor cantidad de rapidez posible