El movimiento armónico (parte 2: con cálculo)

en el vídeo pasado nos quedamos en lo siguiente ya habíamos cambiado la fuerza por el término masa por aceleración y habíamos dicho que derivando dos veces la función posición llegábamos a la aceleración después dijimos que íbamos a plantear una ecuación diferencial e íbamos a resolverla entonces justo es lo que vamos a hacer en este vídeo va bueno para plantear nuestra ecuación diferencial lo que vamos a hacer es sustituir está aquí arriba en términos de la segunda derivada entonces vamos a hacer eso que nos quedaría nos quedaría que m por aa pero que es x doble prima de t es igual a menos que por x de t muy bien aquí ya tenemos nuestra ecuación diferencial y de qué se trata esto de las ecuaciones diferenciales bueno pues en una ecuación normal tenemos algunas variables relacionadas con una igualdad y queremos despejar las si queremos encontrar un numerito aquí no queremos encontrar un número sino que lo que queremos hacer es encontrar una función x dt que satisfaga esto para cualquier valor de t o sea la respuesta a una ecuación diferencial no es un número sino es toda una función o bien toda una familia de funciones pero ahorita vamos a pensar en qué es nada más una función vale y cómo se hace para resolver estas cosas pues hay algunos métodos sofisticados en ecuaciones diferenciales pero nosotros no tenemos que meternos con esos métodos por qué pues porque ya tenemos una intuición que nos dice cómo puede ser la función va entonces la intuición era más o menos decir ok esto parece que está enterándose así que tiene un cierto periodo y además al principio no es cero entonces posiblemente tenga que ver con algo que es como de kossen o de w de donde está w todavía le dejamos un poco de libertad entonces de ahí venía nuestra intuición entonces eso va a estar padre o sea la intuición nos permite intentar dar una propuesta de una función que puede funcionar bueno qué bueno que puede ser solución a una función que puede funcionar con una función que puede ser solución y ya nada más hay que verificar si está así como la tenemos cumple o si hay que pedirle algunas y bueno pues vamos a hacer eso entonces estaré aquí es x dt déjame copiarla aquí abajo entonces tenemos que xd xd t es igual aa a jose no de w jose de w ok entonces para ver si satisface o no tenemos que encontrar su segunda derivada vamos con la primera entonces déjame tomar el color rosa entonces quién sería la derivada de x sería x prima de t y para hacerla vamos a utilizar la regla de la cadena está a la voy a dejar aquí afuera porque es una constante quien es la derivada de lo de adentro pues adentro tenemos doble ute y estamos derivando con respecto a t entonces la derivada sería w entonces eso es la derivada de lo de adentro pero hay que multiplicar por la derivada de lo de afuera o sea la derivada de coseno que es menos evaluado en lo de adentro en w muy bien entonces eso de ahí es la primera derivada déjame pasar al color de la segunda derivada y vamos a hacerla entonces la segunda derivada es derivar la primer derivada y nos quedaría que x doble prima de t es igual a aquí hay un menos lo dejamos el doble también porque es una constante y ahora la derivada de seno de w se vuelve a hacer con regla de la cadena la derivada de lo de adentro es w voy a ponerle acción w cuadrada porque este doble sale multiplicando y hay que multiplicar por la derivada de seno o sea por coseno evaluado en lo de adentro de w muy bien entonces aquí ya tenemos a x y a su segunda derivada entonces necesitamos verificar que se cumpla esta condición esta condición de acá la de la ecuación diferencial vamos a hacer esto aquí arriba para tener un poco más de espacio déjame tomar el color amarillo y entonces vamos a hacer las cuentitas vamos a ver si de veras m por la segunda derivada evaluada en t es menos k por x de t entonces nos gustaría que m m x menos - a w cuadrada jose no de a menos que menos acá por equis dt o sea por a jose no de www.hoy.com.ec e podemos cancelar las con estas de acá verdad este menos es un -1 entonces cancelamos el menos a con el menos a y que nos queda a bueno también podemos cancelar este el coseno eso es muy bueno porque ya no va a depender de t y queremos que la igualdad se dé para todas las para todos los valores de t entonces para que se dé la igualdad para todos los valores de tema ya nada más falta que m por w cuadrada que m por w cuadrada sea igual a que nos quedó de este lado nada más la k bueno pues la m y la k están dadas por el problema esas no las podemos cambiar porque dependen de la masa y de la constante del resorte pero en donde si tenemos un montón de libertades en la w porque estamos poniendo esta propuesta y podemos poner la w que queramos y bueno que w es la que necesitamos pues m por doble un cuadrado es igual acá siempre y cuando w cuadrado sea igual a ca / m / m y eso lo podemos lograr pidiendo que w sea igual a raíz cuadrada de k / m muy bien eso está padrísimo entonces ya encontramos un valor de w para el cual nuestra propuesta va a satisfacer la ecuación diferencial entonces eso está padrísimo ya tenemos una solución déjame escribirlo por aquí porque eso es importante entonces lo que obtenemos lo que obtenemos es que la solución para esta ecuación diferencial es x voy a ponerlo más bonito xd xd t igual a a a- es hasta donde estiramos la masa a jose no de w con este valor de w que es raíz cuadrada de k / m x t muy bien entonces aquí ya tenemos una función que satisface la ecuación diferencial y por lo tanto pues en verdad es una función que nos da la posición de la masa he dado el tiempo que lo dejamos moviéndose entonces esto está súper padre verdad esto ya nos ayuda para saber dónde estamos y entonces no sé si si tengo toda la información o sea a me indica y tú me dices no se animen dónde está el resorte después de 10 segundos entonces yo puedo sustituir toda esta información en esta ecuación y eso me da la posición y sus 12 así ves si tiene mucho sentido verdad porque o sea la masa siempre está entre a y menos al entonces va a ir oscilando y esta expresión también porque cosenos y la entre menos uno y uno entonces estoy acá también se mueve entre menos a y a bueno esto está padrísimo vamos a ver algunas consecuencias de esta ecuación en el siguiente video en donde hablaremos de periodos y de frecuencias y quizás un poquito acerca de la velocidad de la masa sale bueno nos vemos hasta la próxima