Ondas estacionarias en tubos cerrados

la última vez vimos que para un tubo abierto o una tubería con ambos extremos abiertos sólo hay ciertas longitudes de onda particulares que se permiten ahí pues debemos tener anti nodos en ambos extremos tenemos este tenemos ese y tenemos este otro encontramos la longitud de onda de cada una de estas y nos dimos cuenta de que podíamos encontrar una fórmula para expresar las todas cualquier longitud de onda posible en un tubo con ambos extremos abiertos esto depende solamente de la longitud del tubo que llamamos l y también depende de n n se refiere a cuál armónica queremos 1 es la fundamental 2 es la segunda armónica 3 es la tercera armónica y así sucesivamente esto nos da todas las posibles longitudes de onda para este caso ahora la pregunta es podremos hacer lo mismo para el caso en el que uno de los extremos está cerrado qué pasaría si cerráramos por ejemplo este extremo pues vamos a hacerlo aquí tenemos un tubo que tiene un extremo cerrado parece más una lata de refresco ya que la parte de arriba estará abierta que es por donde tomamos el refresco y la parte de abajo estará cerrada para que no se salga el refresco tenemos aire adentro y si soplamos que posibles frecuencias podremos generar que es lo que sabemos bueno sabemos que este extremo está abierto por lo que esta molécula de aire puede oscilar libremente qué tipo de nodo es este pues va a ser un anti nodo ya que puede oscilar mucho pero en las moléculas de este lado pues van a continuar golpeando con la tapa del fondo no se van a poder mover mucho por lo que en este extremo tendremos un nodo ya que no puede darse el desplazamiento de las moléculas entonces aquí tenemos un nodo este punto lo ponemos justo en el eje ya que no tiene ningún desplazamiento y nuevamente estoy graficando el desplazamiento en este caso el desplazamiento horizontal aquí sabemos que hay un anti nodo y voy a dibujar la onda más simple posible que va desde este anti nodo hasta este nodo luce así que parte de una longitud de onda es esto bueno con base en la longitud de este tubo si esto es el que longitud de onda es está en términos de l el truco aquí es ver qué tanto de una longitud de onda es esto y esto es algo que molesta a muchos estudiantes porque no les gusta encontrar qué es esto pero realmente no es difícil de encontrar a mí me gusta dibujar primero como luce una longitud de onda completa comenzamos aquí y una longitud de onda va a recorrer todo esto hasta llegar al mismo punto en el proceso esta es una longitud de onda completa al menos en una gráfica con respecto a x que parte de una longitud de onda será esta onda púrpura de nuestra longitud de onda fundamental bueno comienza desde aquí arriba baja hasta tocar al eje es decir hasta llegar al nodo y eso es todo y esto es una cuarta parte de una longitud de onda esto hasta aquí es una cuarta parte luego de aquí acá es otra cuarta parte y de aquí a acá es otra cuarta parte esto es una cuarta parte de una onda y esto es difícil de distinguir para algunas personas todo esto es una longitud de onda la mitad de esto es media longitud de onda y si corto esta mitad a la mitad tendré una cuarta parte así que lo que encontré es que l es igual a una cuarta parte de una longitud de onda nuestra longitud de onda fundamental dividida entre 4 es igual a la longitud de este tubo lo que quiere decir que mi longitud de onda fundamental para este caso es igual a 4 por l lambda es igual a 4 por l y esta es mi longitud de onda fundamental al menos para este caso del tubo con un extremo cerrado y esto es más grande en el caso de los dos extremos abiertos esto era 2 l encontramos la siguiente armónica en el caso anterior no tendríamos ningún modo en el medio así que ahora voy a buscar tener un nodo a la mitad voy por aquí tengo en el medio y ahora subo hasta llegar al otro nodo que se encuentra al final tengo un nodo aquí y un nodo al final tengo mi anti nodo aquí y cuánto de una longitud de onda es esto vamos a calcularlo comencemos arriba pasamos por el eje llegamos hasta abajo y volvemos a subir hasta el eje esto es lo que tenemos de una longitud de onda tenemos un cuarto dos cuartos tres cuartos así que ahora l que es la longitud de mi tubo es igual a tres por la longitud de onda entre cuatro si despejo mi longitud de onda me va a quedar que esto es igual a 4 l entre 3 así que la siguiente longitud de onda posible es 4 l entre 3 y la siguiente onda posible va a comenzar con un anti nodo aquí y tiene que terminar con un nodo acá y como la anterior tuvo un nodo intermedio este deberá tener dos nodos intermedios comienza aquí llega un nodo va por abajo sube llega a otro nodo sigue subiendo y ahora baja hasta el nodo final siempre debemos tener un nodo al final ya que no se está moviendo y en este caso tenemos dos nodos intermedios cuanto de una longitud será esto vamos a dibujarla comenzamos aquí arriba vamos bajando tocamos el primer nodo seguimos bajando llegamos al fondo vamos subiendo llegamos al segundo nodo seguimos subiendo hasta arriba esto no se acaba aquí tengo que continuar otra cuarta parte de la longitud de onda esto es más que una longitud de onda así que ahora él le va a ser igual bueno de aquí hasta acá tengo una longitud de onda completa y a esto le agregó una cuarta parte de longitud de onda una longitud de onda y un cuarto o lo que es lo mismo cinco longitudes de onda entre cuatro o lo que es lo mismo cinco cuartos de longitud de onda ya que justo hasta acá tenemos una longitud de onda completa y a esto le agregamos una cuarta parte más si despejamos lambda va a ser igual a cuatro l entre 5 y ahora estoy observando un patrón nuestra siguiente longitud de onda posible es 4 l entre 5 y ahora con lo que hemos visto podemos hacer una generalización de cualquier longitud de onda posible para este caso mi longitud de onda n va a ser igual bueno vemos que en todos los casos tenemos 4 l 4 l entre 3 4 l entre 5 y el siguiente va a ser 4 l entre 7 así que las longitudes de onda posibles para un tubo que tiene un extremo cerrado va a ser 4 por l / / m excepto que n en lugar de ser cualquier número entero posible los únicos enteros posibles van a ser los impares así que no puedo usar ni el 2 ni el 4 ni ningún número par solo los impares 13 5 etcétera y esa es la fórmula para conocer cualquier longitud de onda posible en un tubo que tiene un extremo abierto y otro cerrado depende de la longitud y depende de n y se parece un poco a la del caso con los dos extremos abiertos excepto que en ese caso era 2 l y aquí tenemos 4 l y aquí abajo solo es posible usar los números impares por lo que sólo tendremos armónicas impares no va a ser la segunda armónica será la tercera armónica y está del 5 acá no va a ser la tercera armónica va a ser la quinta armónica aquí perdemos todas las armónicas pares para el caso en el que tenemos un extremo cerrado es algo extraño pero es lo que sucede cuando tenemos un anti nodo en este extremo y un nodo en este otro ésta es una función de l si quieren probar esto la siguiente vez que estén tomando un refresco él es grande si la longitud de su bote es grande significa que la longitud de onda también va a ser grande y si la longitud de onda es grande bueno vemos que b es igual a lambda por efe y si tenemos una longitud de onda grande quiere decir que vamos a tener una frecuencia pequeña y esto es porque la velocidad no cambia la velocidad está determinada por el medio y es muy probable que no estén cambiando la temperatura del medio que está en su bote quizás tengan su refresco helado y cuando pase el tiempo ya no va a estar tan frío pero no es un gran cambio de temperatura por lo que la velocidad tampoco va a cambiar si incrementamos la longitud vamos a incrementar la longitud de onda y vamos a decrementar la frecuencia y una frecuencia baja quiere decir una nota baja es decir vamos a escuchar una nota más grave así que intenten calcular esto la próxima vez que estén bebiendo un refresco cuando estén tomando una bebida saludable van a tener su bebida aquí hasta cierto nivel el nivel en donde se encuentre el líquido va a hacer como el fondo del bote por lo que mi tubo va a tener esta longitud la parte de arriba está abierta y el fondo es donde se encuentra el nivel de este líquido cualquiera que éste sea ya que el aire no puede pasar más allá de este nivel de líquido sigan soplando por arriba y cuando lo hagan tratan de distinguir qué nota escuchan y si siguen haciendo esto van a estar escuchando notas cada vez más bajas mientras más bajo sea el nivel del líquido tendremos que la longitud de nuestro tubo es mayor al soplar vamos a escuchar una nota más grave y si el líquido está ya casi al fondo del bote tendremos una longitud aún más grande y escucharemos una nota aún más grave no va a tener mayor volumen sino que va a escucharse más grave la frecuencia va a ser más baja mientras más llevamos tendremos menos líquido la longitud va a aumentar y nuestra frecuencia va a disminuir