¿Qué son las gráficas de aceleración vs. tiempo?

Lo que podemos aprender de las gráficas que relacionan la aceleración y el tiempo.

¿Qué representa el eje vertical en una gráfica de aceleración?

El eje vertical representa la aceleración del objeto.
Por ejemplo, si lees el valor de la gráfica que se muestra a continuación en un tiempo particular, obtendrás la aceleración del objeto en metros por segundo cuadrado para ese momento.
Intenta deslizar horizontalmente el punto en la siguiente gráfica para escoger diferentes tiempos y observar cómo cambia la aceleración (abreviada como a).
Verificación de conceptos: de acuerdo con la gráfica de arriba, ¿cuál es la aceleración al tiempo t=4 st=4\text{ s}?

¿Qué representa la pendiente en una gráfica de aceleración?

La pendiente de una gráfica de aceleración representa una cantidad llamada "tirón". El tirón es la tasa de cambio de la aceleración.
Para una gráfica de aceleración, la pendiente se puede encontrar a partir de: pendiente=desplazamiento verticaldesplazamiento horizontal=a2a1t2t1=ΔaΔt\text{pendiente}=\dfrac{\text{desplazamiento vertical}}{\text{desplazamiento horizontal}}=\dfrac{a_2-a_1}{t_2-t_1}=\dfrac{\Delta a}{\Delta t}, como se puede ver en el siguiente diagrama.
Esta pendiente, que representa la tasa de cambio de la aceleración, se define como el "tirón".
tirnoˊ=ΔaΔt\text{tirón}=\dfrac{\Delta a}{\Delta t}
Tan extraño como suena el nombre de tirón, se adapta bien a lo que llamaríamos movimiento a tirones. Si estuvieras en un paseo donde la aceleración estuviera aumentando y disminuyendo de una manera significativa en intervalos cortos de tiempo, el movimiento se sentiría tironeado, y tendrías que aplicar diferentes cantidades de fuerza con tus músculos para estabilizar tu cuerpo.
Para concluir esta sección, vamos a visualizar el tirón con la gráfica de ejemplo que se muestra a continuación. Mueve el punto horizontalmente para ver cómo se ve la pendiente (es decir, el tirón) en diferentes puntos en el tiempo.
Verificación de conceptos: para la gráfica de aceleración que se muestra arriba, en el punto t=6 st=6\text{ s}, ¿el tirón es positivo, negativo o cero?

¿Qué representa el área en una gráfica de aceleración?

El área bajo una gráfica de aceleración representa el cambio en la velocidad. En otras palabras, el área bajo la gráfica de la aceleración para cierto intervalo de tiempo es igual al cambio en la velocidad durante ese intervalo de tiempo.
aˊrea=Δv\Large \text{área}=\Delta v
Puede ser más sencillo ver por qué este es el caso al considerar el ejemplo mostrado en la gráfica a continuación, que muestra una aceleración constante de 4 ms24~\dfrac{\text m}{\text s^2} durante un tiempo de 9 s9\text{ s}.
Si multiplicamos ambos lados de la definición de la aceleración, a=ΔvΔta=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}, por el cambio en el tiempo, Δt\Delta t, obtenemos Δv=aΔt\Delta v=a\Delta t.
Al sustituir la aceleración de 4 ms24~\dfrac{\text m}{\text s^2} y el intervalo de tiempo de 9 s, podemos encontrar el cambio en la velocidad:
Δv=aΔt=(4 ms2)(9 s)=36ms\Delta v=a\Delta t= (4~\dfrac{\text m}{\text s^2})(9\text{ s})=36\dfrac{\text m}{\text s}
Multiplicar la aceleración por el intervalo de tiempo es equivalente a encontrar el área bajo la curva. El área bajo la curva es un rectángulo, como se ve en el siguiente diagrama.
El área se puede encontrar al multiplicar la altura por el ancho. La altura de este rectángulo es de 4 ms2~\dfrac{\text m}{\text s^2}, y el ancho es de 9 s. Así que encontrar el área te da el cambio en la velocidad.
aˊrea=4 ms2×9 s=36ms\text{área}=4~\dfrac{\text m}{\text s^2} \times 9\text{ s}=36\dfrac{\text m}{\text s}
El área bajo cualquier gráfica de aceleración en un intervalo de tiempo dado da el cambio en la velocidad para ese intervalo de tiempo.

¿Cómo se ven algunos ejemplos resueltos que involucran gráficas de aceleración vs. tiempo?

Ejemplo 1: la aceleración de un auto de carreras

Una piloto de carreras segura de sí misma está manejando a una velocidad constante de 20 m/s. Conforme se acerca a la línea de meta, la piloto comienza a acelerar. La gráfica que se muestra a continuación nos da la aceleración del auto de carreras conforme empieza a aumentar su rapidez. Supón que el auto de carreras tenía una velocidad de 20 m/s al tiempo t=0 st=0\text{ s}.
¿Cuál es la velocidad del auto de carreras después de los 8 s de aceleración mostrados en la gráfica?
Podemos encontrar el cambio en la velocidad al determinar el área bajo la gráfica de la aceleración.
Δv=aˊrea=12bh=12(8 s)(6ms2)=24 m/s(Usa la frmula para el rea de un tringulo: ).oˊaˊaˊ12bh\Delta v=\text{área}=\dfrac{1}{2}bh=\dfrac{1}{2}(8\text{ s})(6\dfrac{\text m}{\text s^2})=24\text{ m/s}\quad \text{(Usa la fórmula para el área de un triángulo: $\dfrac{1}{2}bh$).}
Δv=24 m/s(Calcula el cambio en la velocidad).\Delta v=24\text{ m/s}\quad \text{(Calcula el cambio en la velocidad).}
Pero este es solamente el cambio en la velocidad durante el intervalo de tiempo. Necesitamos encontrar la velocidad final. Podemos usar la definición del cambio en la velocidad, Δv=vfvi\Delta v=v_f-v_i, para encontrar que
Δv=24 m/s\Delta v=24\text{ m/s}
vfvi=24 m/s(Sustituye  para ).vfviΔvv_f-v_i=24\text{ m/s} \qquad{\text{(Sustituye $v_f-v_i$ para $\Delta v$).}}
vf20 m/s=24 m/s(Sustituye 20 m/s para la velocidad inicial ).viv_f-20\text{ m/s}=24\text{ m/s} \qquad{\text{(Sustituye 20 m/s para la velocidad inicial $v_i$).}}
vf=24 m/s+20 m/s(Resuelve para ).vfv_f=24\text{ m/s}+20\text{ m/s}\qquad{\text{(Resuelve para $v_f$).}}
La velocidad final del auto de carreras fue de 44 m/s.

Ejemplo 2: un paseo ventoso en velero

Un velero está navegando en línea recta con una velocidad de 10 m/s. Luego, al tiempo t=0 st=0\text{ s}, un fuerte viento sopla provocando que el velero acelere como se muestra en el siguiente diagrama.
¿Cuál es la velocidad del velero después de que el viento ha soplado durante 9 segundos?
El área bajo la gráfica nos dará el cambio en la velocidad. El área de la gráfica se puede dividir en un rectángulo y dos triángulos, como se muestra en el siguiente diagrama.
El rectángulo azul entre t=0 st=0\text{ s} y t=3 st=3\text{ s} se considera área positiva, ya que está por encima del eje horizontal. El triángulo verde entre t=3 st=3\text{ s} y t=7 st=7\text{ s} también se considera área positiva, ya que está por encima del eje horizontal. Sin embargo, el triángulo rojo entre t=7 st=7\text{ s} y t=9 st=9\text{ s} se considera área negativa, ya que está por debajo del eje horizontal.
Vamos a sumar estas áreas (al usar bhbh para el rectángulo y 12bh\dfrac{1}{2}bh para los triángulos) para obtener el área total entre t=0 st=0\text{ s} y t=9 st=9\text{ s}.
Δv=aˊrea=(4ms2)(3 s)+12(4 s)(4ms2)+12(2 s)(2ms2)(Suma las reas del rectngulo y los dos tringulos).aˊaˊaˊ\Delta v=\text{área}=(4\dfrac{\text m}{\text s^2})(3\text{ s})+\dfrac{1}{2} (4\text{ s})(4\dfrac{\text m}{\text s^2})+\dfrac{1}{2}(2\text{ s})(-2\dfrac{\text m}{\text s^2}) \quad \text{(Suma las áreas del rectángulo y los dos triángulos).}
Δv=18 m/s(Calcula para obtener el cambio total en la velocidad).\Delta v=18\text{ m/s} \quad \text{(Calcula para obtener el cambio total en la velocidad).}
Pero este es el cambio en la velocidad, así que para encontrar la velocidad final vamos a usar la definición del cambio en la velocidad.
vfvi=18 m/s(Usa la definicin del cambio en la velocidad).oˊv_f-v_i=18\text{ m/s}\quad \text{(Usa la definición del cambio en la velocidad).}
vf=18 m/s+vi(Resuelve para la velocidad final).v_f=18\text{ m/s}+v_i\quad \text{(Resuelve para la velocidad final).}
vf=18 m/s+10 m/s(Sustituye la velocidad inicial).v_f=18\text{ m/s}+10\text{ m/s}\quad \text{(Sustituye la velocidad inicial).}
La velocidad final del velero es de vf=28 m/sv_f=28\text{ m/s}.
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