Las gráficas de aceleración vs. tiempo

en esta ocasión vamos a hablar sobre las gráficas de aceleración contra el tiempo ya que con respecto a las gráficas de movimiento esta es probablemente zonas más difíciles y esto es porque la aceleración naturalmente es un concepto abstracto y a muchas personas les cuesta trabajo entenderlo y ahora la tenemos en una gráfica y a muchas personas tampoco les gustan las gráficas y otra razón es que si queremos conocer el comportamiento de un objeto digamos que quiero saber el movimiento de mi perro que se llama daisy y digamos que daisy está acelerando si queremos conocer la velocidad que tuvo de y si no podemos encontrarla viendo directamente esta gráfica a menos que tengamos información extra por ejemplo si conocemos la velocidad que tuvo de y si en cierto momento y con eso podríamos usar esta gráfica para calcular la velocidad que tuvo de y si en otro momento que nos puede decir esta gráfica con respecto al movimiento de daisy esta gráfica describe la aceleración de racing a lo mejor estamos jugando a que atrape la pelota y ella tiene la pelota aquí se la voy a lanzar esperando que suelte la pelota ya que la haya traído y esta gráfica va a representar su aceleración como leemos esta gráfica es lo siguiente aquí nos dice que le sitúa una aceleración de 2 metros por segundo al cuadrado durante los primeros cuatro segundos y después su aceleración bajó hasta cero esto fue a los seis segundos y después tenemos una aceleración negativa hasta que tenemos un -3 a los nueve segundos pero esta gráfica no nos dice si está teniendo mayor velocidad o menor velocidad como podemos calcular lo bueno podemos deducir algunas cosas ya que la aceleración está relacionada con la velocidad y podemos encontrar esta relación si recordamos cómo está definida la aceleración es el cambio de velocidad entre el cambio en el tiempo y es así como relacionamos nuestra velocidad con la aceleración para despejar delta de nos queda que el cambio de velocidad sobre cierto intervalo de tiempo será la aceleración durante ese intervalo de tiempo x dicho intervalo de tiempo cuando tiempo tardó esta aceleración y esta es la clave para relacionar esta gráfica con la velocidad en otras palabras primero consideremos estos primeros cuatro segundos entre los cero y cuatro segundos daisy tuvo una aceleración de dos metros por segundo al cuadrado lo sustituye aquí aquí tengo dos que es la aceleración metros por segundo al cuadrado por el cambio en el tiempo que fue de cuatro segundos nos queda 8 positivo y las unidades son metros por segundo este segundo se canceló con este otro segundo de aquí así que el cambio en velocidad durante los primeros cuatro segundos fue de ocho metros por segundo y es positivo esta no es la velocidad es el cambio en la velocidad quien nos va a decir esta región diagonal si yo quisiera definir la velocidad a los 6 segundos pues la aceleración en este punto es de 2 en este punto es de una es de 1 y la aceleración en este punto es 0 esta aceleración sigue cambiando como puede encontrar su velocidad pero tenemos suerte esta formula nos permite incluir algo importante el aspecto geométrico de estas gráficas que nos va a facilitar la vida y la forma de hacer esto es que observemos esta fórmula esto es igual a a por delta t pero la aceleración que pusimos es esta 2 durante los primeros 4 segundos la aceleración es de 2 del tate fue de 4 tomamos este 2 lo multiplicamos por este 4 y nos dio este número 8 positivo pero esto es una altura por una base y si multiplicamos una base por una altura nos va a dar el área de un rectángulo así que encontramos el área de este rectángulo el área está dada por delta b el área de un rectángulo es altura por base sabemos que la altura está representada por la aceleración y la base va a estar representada por delta t y usando la definición de aceleración la re acomodamos y sabemos a por delta t es el cambio en la velocidad así que el área y el cambio en la velocidad están representando exactamente lo mismo en esta gráfica el área es el cambio en la velocidad y esto nos va a ser muy útil porque cuando vemos esto el área seguirá siendo el cambio en la velocidad y esto ya me facilita cómo calcular el área de esto el área de un triángulo es la mitad de la altura por la base yo no sé cómo calcular la aceleración directamente con esta fórmula pero ahora ya sé cómo encontrar el área por ejemplo esta área es igual a un medio por la base que es de 2 segundos la altura va a ser 2 positivos metros por segundo al cuadrado y nos queda con que este 2 se cancela con este 2 de arriba y esto es igual a 2 metros por segundo esta es el área de este triángulo en esta gráfica y representa el cambio en la velocidad así que la velocidad de daisy cambio en dos metros por segundo al menos durante este tiempo y ustedes pueden no estar de acuerdo pueden decirme a ver espérate esto si te lo creo de que la base por la altura es igual a la aceleración por delta t pero en el triángulo tenemos un factor extra que es este un medio y aquí no tenemos ningún un medio como podemos seguir haciendo esta afirmación pues podemos usar esta afirmación haciendo lo mismo que hemos hecho en otras ocasiones imaginemos que aquí tenemos un rectángulo vamos a estimar el área con muchos rectángulos y estos rectángulos lucen muy finitos no luce para nada como el área de un triángulo sino que tenemos estos pedazos extra aquí arriba y tienen razón esto no funcionó muy bien vamos a hacer rectángulos más delgados con una base más chica hacemos este rectángulo así este otro así otro más así delgadito y vemos que estamos mejorando esto se acerca mejor al área del triángulo aunque aún no es exacto y estoy de acuerdo vamos a hacer rectángulos aún más delgados uno delgadito aquí otro delgadito acá todos estos tienen el mismo ancho pero son mucho más delgados que los anteriores y ahorita si nos estamos acercando un poco más conforme hagamos más delgados los rectángulos nos acercaremos cada vez más a encontrar el área exacta del triángulo la teoría es que si hacemos los rectángulos infinitamente delgados nos van a representar el área exactamente y cada uno de ellos puede calcularse con esta fórmula cada uno de ellos tendrá la aceleración como parte de la altura del rectángulo y uno instante de tiempo infinitesimal como la base y así encontraremos nuestra delta be total que es el área de este triángulo en pocas palabras el área en una gráfica de aceleración contra el tiempo representa el cambio en la velocidad esto es algo que siempre tienen que recordar porque es uno de los aspectos más importantes en estas gráficas de aceleración contra tiempo muchas veces este es el aspecto más útil de estas gráficas porque nos interesa el cambio en la velocidad porque nos ayuda a encontrar la velocidad solo necesitamos encontrar la velocidad en un punto para encontrar la velocidad en cualquier punto digamos que les doy la velocidad que veis y tenían no sé por alguna razón tenía un cronómetro conmigo inicié mi cronómetro y tome nota del tiempo cuando el tiempo era igual a cero daisy tenía una velocidad de 1 metro por segundo positivo esa era la velocidad de daisy cuando comencé a tomarle el tiempo entre igual a cero puedo calcular la velocidad en cualquier momento que yo quiera la velocidad que tenía daisy a los 4 segundos para encontrar la velocidad a los cuatro segundos puedo decir que el cambio de velocidad durante este periodo de tiempo este valor ya lo encontré encontré que era de ocho metros por segundo positivo de esta vez tiene que ser igual a esto más ocho metros por segundo y cuál es del tv pues es nuestra vez a los cuatro segundos menos la velocidad a los cero segundos esto tiene que ser igual a 8 positivo metros por segundo bueno la velocidad a los cero segundos era de un metro por segundo lo sustituyó aquí esto es menos un metro por segundo que es igual a ocho metros por segundo positivo por lo que la velocidad a los 4 segundos es igual a 9 metros por segundo positivo y vaya esto nos costó trabajo no quisiera yo hacer esto cada vez que quiere encontrar la velocidad por suerte hay una forma más rápida de hacerlo una vez que conocemos la velocidad de inicio que en este ejemplo fue de 1 cual fue nuestro cambio en la velocidad pues fue de 8 positivo nuestra velocidad final cuál fue pues 8 19 metros por segundo positivo vamos a tomar este cambio en velocidad y a este le vamos a sumar la velocidad inicial y así obtendremos nuestra velocidad final en ese tiempo por ejemplo si yo quiero encontrar la velocidad a los 6 segundos podemos decir que comenzamos con nuestra ve a los 4 segundos que es una velocidad de 9 positivo nuestro cambio fue 2 positivo por lo que nos va a quedar que es 11 positivo metros por segundo y ustedes pueden decir a ver espérame un momento si tenemos delta b que es 2 positivo no debería ser esta delta ve la de toda esta área no debería ser ve a los 6 segundos menos ve a los 0 segundos y que esto fuera igual a los 2 metros por segundo pues no no puedo hacer esto y la razón por la que no lo puedo hacer es que observen que de este lado izquierdo mi intervalo va de 0 a 6 pero del lado derecho de esta igualdad solo estoy incluyendo el área del intervalo de 4 a 6 que es el área de este triángulo amarillo si quiero poner aquí b6 ibex 0 de este otro lado lo puedo hacer pero para mi área total tengo que usar obviamente toda el área en otras palabras el área total que va desde 0 hasta 6 y es lo que está definido en este lado ambos lados tienen que ser congruentes entre sí para conocer el área total pues tengo esta área de mi rectángulo verde que es 8 positivo y el área de mi triángulo amarillo que es de 2 positivo 8 + 2 es 10 mi área total es de 10 y si hago esto puedo decir que ves 6 es igual me ve en 0 que dijimos que es 1 10 y nos queda que ve a los 6 segundos es de 11 metros por segundo igual que el resultado que encontramos anteriormente puede resolverlo matemáticamente como lo acabamos de ver pero siempre tienen que tener cuidado de que la fórmula sea congruente en ambos lados ahora encontremos la última parte de esta gráfica esta área y el área siempre va a estar contenida desde la curva hacia el eje así que en este caso nuestra área está por debajo del eje por lo que va a ser una área negativa nuevamente es un triángulo su área es un medio por la base por la altura un medio por la base que es 123 segundos y la altura es menos 3 menos tres metros por segundo al cuadrado por lo que el área total va a ser menos 4.5 metros por segundo y ahora de si va a tener un cambio de velocidad de menos 4.5 metros por segundo al cuadrado si queremos encontrar la velocidad a los nueve segundos hay varias formas en las que podemos encontrarlo conceptualmente podemos decir que daisy comenzó a los seis segundos con una velocidad de 11 su cambio durante este periodo fue de menos 4.5 y si sumamos ambos nos va a quedar 6.5 positivo ya que estoy sumando 11 y menos 4.5 metros por segundo y si estos o no a alguna brujería matemática podemos decir que nuestra delta b es igual a menos 4.5 metros por segundo y delta b va a ser y aquí tenemos que tener cuidado este menos 4.5 representa este triángulo de aquí abajo por lo que tiene que ser la del tav entre 6 y 9 de 9 menos de 6 es igual a menos 4.5 metros x por lo que ve 9 - nuestra ve a las 6 ya sabemos cuáles encontramos que fue de 11 aquí tengo menos 11 igual a menos 4.5 metros por segundo ve a los 9 segundos va a ser igual a qué es lo que obtuvimos aquí arriba 6.5 metros por segundo positivo así que el encontrar el área nos va a dar el cambio en la velocidad y el tener el cambio en la velocidad y al tener la velocidad en un punto en el tiempo podremos encontrar la velocidad en cualquier otro momento del tiempo aunque tengan cuidado asegúrense de que están asociando el intervalo de tiempo correcto tanto en el lado izquierdo como en el lado derecho de la igualdad una cosa antes de terminar la pendiente en estas gráficas usualmente representan algo importante veamos qué significa la pendiente en esta gráfica la pendiente siempre representa el cambio vertical dividido por el cambio horizontal el cambio vertical es de 2 menos de 1 / x2 x 1 excepto que en lugar de tener x y tenemos la aceleración y el tiempo tenemos a 2 menos a 1 entre t 2 menos de 1 esto va a ser de alta a el cambio en la aceleración entre el cambio en el tiempo y que es esto es la tasa de cambio de la aceleración y esto es un pasito más complicado de lo que habíamos visto la velocidad es el cambio en la posición durante el cambio en el tiempo la aceleración es el cambio de velocidad durante el cambio en el tiempo y ahora decimos que algo es el cambio en la aceleración durante el cambio en el tiempo conocido como sobre aceleración o tirón aunque no es un término muy usado y para ser honestos no es la variable de movimiento más usada y tampoco es una variable de la que les vayan a hacer muchas preguntas en sus cursos pero a veces tiene sus aplicaciones existe y tiene su nombre sobre aceleración o tirón en resumen lo importante aquí es que el área en una gráfica de aceleración contra tiempo nos da el cambio en la velocidad y ya que conocemos la velocidad en un punto podemos conocer la velocidad en cualquier otro punto y la pendiente en una gráfica de aceleración contra tiempo nos da la sobre aceleración o tirón