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Por qué la distancia es el área bajo la gráfica de velocidad contra tiempo

Transcripción del video

vamos a imaginar que tenemos una situación donde está un vector y este vector es igual es un vector velocidad igual a 5 metros sobre segundo y se dirige hacia la derecha recordemos que con vectores siempre tenemos que indicar la dirección aquí mi pregunta es qué tan lejos ha viajado o se ha desplazado este objeto que viaja a esta velocidad después de 5 segundos vamos a hacer una gráfica tenemos en este eje la magnitud del vector velocidad estas líneas dobles a los lados del vector velocidad indican que solo la magnitud aquí no estoy viendo la dirección y en este otro eje vamos a tener el tiempo entonces este vector va a una velocidad constante aquí vamos a poner 1 2 3 4 5 5 metros por segundo en el eje de la magnitud de la velocidad y en el tiempo es 1 2 3 4 5 aquí más o menos son los 5 segundos y nuestro vector lo vamos a graficar de esta manera es una velocidad constante no va cambiando se mantiene al mismo nivel y en el momento en el que llega a los cinco segundos marcamos este punto bueno para responder a nuestra pregunta podemos verlo de dos maneras ya vimos gráficamente cómo quedaría y si queremos analizar usando ecuaciones tenemos que usemos un color más llamativo nuestro vector velocidad va a ser igual al vector desplazamiento entre el cambio en el tiempo esta delta este triangulito indica el cambio en el tiempo aquí lo que nos interesa saber es el desplazamiento así que vamos a despejar lo de la fórmula para despejar lo de la fórmula tenemos que multiplicar ambos lados de la igualdad por el cambio en el tiempo y nos va a quedar que este desplazamiento es igual al cambio en el tiempo para el vector velocidad y ahora con los datos que tenemos tenemos nuestra velocidad y nuestro tiempo es de 5 segundos lo sustituimos en la fórmula por la velocidad que cinco metros por segundo las unidades y los segundos se van 5 por 5 25 eso es igual a 25 metros mi desplazamiento mi desplazamiento es de 25 metros y aquí hay que darse cuenta de que esta cantidad es exactamente el área que hay bajo esta línea de la magnitud de la velocidad esto es un cuadrado de altura 5 base 55 x 5 25 ese es el área así que el área bajo la curva es lo mismo que lo que encontramos para el desplazamiento al menos en la parte de la magnitud si ven las unidades también coinciden ahora veamos otro ejemplo en donde la velocidad va a estar cambiando no va a ser constante ahora vamos a tener una velocidad que va a estar aumentando se va a estar acelerando entonces vamos a tener una aceleración que es un vector que va a ser igual a 1 metro por segundo al cuadrado y también vamos a determinar va a definir que la magnitud de nuestra velocidad inicial en este otro ejemplo va a ser igual a 0 y ahora cómo va a ser la gráfica de este otro ejemplo en donde la velocidad va a estar aumentando a un metro por segundo cada segundo vamos a hacer esta otra gráfica tengo mi eje de la magnitud de la velocidad como en el caso anterior tengo aquí mi eje del tiempo las unidades del eje de la magnitud de la velocidad son metros por segundo y las unidades del eje del tiempo son segundos y aquí hacemos nuestras divisiones en el eje de la magnitud de la velocidad y también aquí en el eje del tiempo qué está pasando aquí bueno si comenzamos con una velocidad inicial de 0 en el tiempo cero vamos a estar en esta sección en el punto de origen si pasa a un segundo tenemos la aceleración de un metro por segundo así que en ese primer segundo mi aceleración será de un metro por segundo y aquí va a estar mi velocidad cuando transcurre otro segundo la velocidad se habrá incrementado otro metro por segundo así que en el segundo segundo tendremos dos metros por segundo en el tercer segundo se habrá incrementado otro metro por segundo la velocidad así que voy a estar teniendo este tipo de gráfica se va a estar distribuyendo de esta manera y nos damos cuenta que la inclinación de esta línea viene siendo la aceleración si ustedes recuerdan lo que es la inclinación o la pendiente de una línea si lo vieron en sus clases de álgebra aquí se podrán dar cuenta que la aceleración si vemos su definición es el cambio en la velocidad / el cambio en el tiempo si lo vemos aquí en la gráfica vemos que esta parte es el cambio en el tiempo del tate y esta parte de aquí arriba es el cambio en la velocidad del tav de mi vector velocidad por lo tanto está pendiente es mi aceleración mi directora aceleración y si vemos nuestra aceleración es constante es una línea recta y no es una curva como podemos ver en la gráfica ahora quiero imaginar una situación en la que mi aceleración siga siendo igual a un metro por segundo al cuadrado pero quiero saber después de que pasaron cinco segundos cuál fue la distancia recorrida el ejemplo anterior es sobre velocidad constante en este caso mi velocidad no es constante pero sí lo es mi aceleración así que en este caso cuál va a ser la distancia recorrida vamos a asumir que comenzamos desde cero y vamos a asumir que estamos aumentando un metro por segundo cada segundo durante cinco segundos entonces tenemos aquí un segundo dos segundos tres 24 segundos y 5 segundos 5 segundos voy a estar en este punto de mi gráfica y aquí sabré que habrán pasado debido a la aceleración constante tengo una velocidad de 5 metros por segundo después de 5 segundos pero yo quiero conocer la distancia el desplazamiento que fue recorrido durante este tiempo visualmente podríamos estar dibujando algunos rectángulos una figura cuya área sea fácil de calcular y así calcular el área de cada una de estas secciones e irla sumando para tener un aproximado del área total bajo la curva de esta pendiente o de este triángulo pero vemos que están quedando estos huecos que están bastante grandes bueno que otra cosa podemos hacer para que no nos queden estos huecos una cosa que se me ocurre es en lugar de tener nuestros rectángulos de un segundo en la base pues podríamos estarlos graficando con una base de medio segundo así serían menos anchos y de esta manera los huecos quedarían un poquito más pequeños pues no serviría si no conociéramos la fórmula para calcular el área de un triángulo en este caso es bastante sencillo así que nos podemos ahorrar estos pasos de dibujar estos rectángulos y calcular el área de cada uno y después sumar la y como ya vimos que este es un triángulo recordemos cuál es la fórmula para calcular el área de un triángulo el área de un triángulo es igual a la mitad de la base por la altura está h indica la altura conocemos estos valores eso es igual a un medio de la base 5 segundos por la altura que es de 5 metros por segundo se van en estos segundos 5 por 5 25 esto lo divido entre 2 y me queda que es igual a 12.5 metros y este es el desplazamiento o lo que es lo mismo el área de este triángulo que tiene una base de 5 segundos y una altura de 5 metros por segundo aquí hay un par de cosas interesantes primero que ustedes no se olviden de recordar que el área bajo la curva que resulta de graficar la velocidad con respecto al tiempo va a ser la distancia o el desplazamiento recorrido durante ese tiempo y que la pendiente de dicha curva va a ser la aceleración del objeto en cuestión cuando tenemos una velocidad constante pues no tenemos aceleración por lo que vemos aquí nuestra pendiente es de 0 y la magnitud de la aceleración también va a ser 0 en este caso tenemos una aceleración constante por lo que la pendiente va a ser esta aceleración en este caso la determinamos como 1 la aceleración o la pendiente es igual a 1 en este caso sí era una aceleración variable y la velocidad también cambiará entonces esto no sería una línea recta sería una curva o tendría una forma diferente y ahí sería un poquito más complicado calcular el área bajo esa curva pero de todas maneras el área bajo esa curva vendría siendo la distancia o la magnitud del desplazamiento de dicho objeto que tiene esta velocidad y que la mantenga durante cierto tiempo en el siguiente vídeo veremos el concepto de la velocidad promedio ya que estamos familiarizados con la idea de que la distancia es el área bajo esta curva