¿Qué son las gráficas de posición vs. tiempo?

Lo que podemos aprender a partir de las gráficas que relacionan posición y tiempo.

¿Cómo es que son útiles las gráficas de posición vs. tiempo?

Muchas personas sienten lo mismo sobre las gráficas que lo que sienten al ir al dentista: una vaga sensación de ansiedad y un fuerte deseo de que la experiencia termine lo más rápido posible. Pero las gráficas de posición pueden ser hermosas, y son una manera eficiente de representar visualmente una gran cantidad de información acerca del movimiento de un objeto en un espacio convenientemente pequeño.

¿Qué representa el eje vertical en una gráfica de posición?

El eje vertical representa la posición del objeto. Por ejemplo, si lees el valor de la gráfica a continuación en un tiempo particular, obtendrás la posición del objeto en metros.
Intenta deslizar horizontalmente el punto en la siguiente gráfica para escoger diferentes tiempos y observa cómo cambia la posición.
Verificación de conceptos: ¿cuál es la posición del objeto al tiempo t=5t=5 segundos de acuerdo a la gráfica de arriba?
La respuesta es 2 metros. Si mueves el punto al tiempo t=5t=5 segundos, el valor de la gráfica en el eje vertical muestra que la posición es 2 metros.

¿Qué representa la pendiente en una gráfica de posición?

La pendiente de una gráfica de posición representa la velocidad del objeto. Así que el valor de la pendiente en un tiempo particular representa la velocidad del objeto en ese instante.
Para ver por qué, considera la pendiente de la gráfica de posición vs. tiempo que se muestra a continuación:
En las clases de matemáticas, el eje vertical o la variable dependiente suele llamarse yy, y el eje horizontal o la variable independiente suele llamarse xx.
Sin embargo, en las clases de física casi siempre ponemos el tiempo tt en el eje horizontal como la variable independiente. Esto significa que cualquier otra variable tiene que ir en el eje vertical, incluyendo xx, que a menudo representa la posición horizontal.
Esto es sin duda un poco confuso, al ver que un desplazamiento horizontal xx se puede poner en un eje vertical. Pero esta es la convención que usan casi todos los libros, cursos y profesores de física. También tiene sentido porque es mejor considerar al tiempo como la variable independiente, ya que no controlamos el flujo del tiempo... a menos que seas un señor del tiempo que ha dominado los viajes en el tiempo, en cuyo caso es probable que ya poseas un entendimiento del espacio y del tiempo que hace que nuestras teorías parezcan ingenuas y pintorescas.
La pendiente de la gráfica de posición es pendiente=diferencia verticaldiferencia horizontal=x2x1t2t1\text{pendiente}=\dfrac{\text{diferencia vertical}}{\text{diferencia horizontal}}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}.
Esta expresión para la pendiente es la misma que la definición de la velocidad v=ΔxΔt=x2x1t2t1v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}. Así que la pendiente de una gráfica de posición tiene que ser igual a la velocidad.
Esto también es cierto para una gráfica de posición donde la pendiente está cambiando. Por ejemplo, para la siguiente gráfica de posición vs. tiempo, la línea roja te muestra la pendiente en un tiempo particular. Intenta deslizar el punto horizontalmente para ver cómo se ve la pendiente de la gráfica para momentos particulares de tiempo.
La pendiente de la curva entre los tiempos t=0 st=0\text{ s} y t=3 st=3 \text{ s} es positiva, ya que se dirige hacia arriba. Esto significa que la velocidad es positiva y el objeto se está moviendo en la dirección positiva.
La pendiente de la curva es negativa entre t=3 st=3 \text{ s} y t=9 st=9 \text{ s}, pues se dirige hacia abajo. Esto significa que la velocidad es negativa y el objeto se mueve en la dirección negativa.
Al tiempo t=3 st=3\text{ s}, la pendiente es cero, dado que la línea que representa a la pendiente es horizontal. Esto significa que la velocidad es cero y que el objeto se encuentra momentáneamente en reposo.
Verificación de conceptos: ¿cuál es la velocidad del objeto al tiempo t=9 st=9 \text{ s} de acuerdo con la gráfica de arriba?
La velocidad del objeto al tiempo t=9 st=9 \text{ s} es cero ya que la pendiente de la gráfica es cero al tiempo t=9 st=9 \text{ s}. Esto lo podemos ver puesto que al mover el punto a t=9 st=9 \text{ s}, la recta tangente es horizontal.
Una cosa más que hay que tener en mente es que la pendiente de una gráfica de posición en un momento dado en el tiempo te da la velocidad instantánea en ese momento. La pendiente promedio entre dos puntos en el tiempo te dará la velocidad promedio entre esos dos puntos en el tiempo. La velocidad instantánea no tiene que ser igual a la velocidad promedio. Sin embargo, si la pendiente es constante por un periodo de tiempo (es decir, la gráfica es un segmento de recta), entonces la velocidad instantánea será igual a la velocidad promedio entre cualesquiera dos puntos en ese segmento de recta.
Para un segmento de recta, la pendiente debe ser constante. De lo contrario, la recta sería curva. Como la pendiente es constante y tiene el mismo valor en todos los puntos, promediar sobre una región de esas pendientes dará el mismo valor que cualquiera de esas pendientes.
En otras palabras, el valor promedio de las pendientes 8 m/s8 \text{ m/s}, 8 m/s8 \text{ m/s}, 8 m/s8 \text{ m/s} y 8 m/s8 \text{ m/s} es simplemente 8 m/s8 \text{ m/s}.

¿Qué significa la curvatura en una gráfica de posición?

Observa la gráfica a continuación. Se ve curvada pues no está hecha solo de segmentos de recta. Si una gráfica de posición está curvada, la pendiente estará cambiando, lo que significa que la velocidad también está cambiando. Una velocidad cambiante implica aceleración. Entonces, la curvatura en una gráfica significa que el objeto está acelerando, es decir cambiando de velocidad, o en términos gráficos, que su pendiente está cambiando.
En la siguiente gráfica, intenta deslizar horizontalmente el punto para ver cómo cambia la pendiente. La primera joroba entre 1 s1\text{ s} y 5 s5\text{ s} representa aceleración negativa, pues la pendiente va de positiva a negativa. Para la segunda joroba entre 7 s7\text{ s} y 11 s11\text{ s}, la aceleración es positiva ya que la pendiente va de negativa a positiva.
Verificación de conceptos: ¿cuál es la aceleración del objeto al tiempo t=6 st=6 \text{ s} de acuerdo a la gráfica de arriba?
Como la pendiente de la gráfica es aproximadamente constante (no cambia) alrededor de 6 s6\text{ s}, la aceleración en ese momento es cero.
Para ver esto, mueve el punto entre 5.5 s5.5\text{ s} y 6.5 s6.5\text{ s} para ver que la pendiente de la recta tangente permanece constante, y por lo tanto la velocidad permanece constante. Si la velocidad siempre es constante, la aceleración es cero.
Para resumir, si la curvatura de una gráfica de posición se ve como un tazón de cabeza, la aceleración será negativa. Si la curva se ve como un tazón de pie, la aceleración será positiva. Aquí hay una forma de recordarlo: si tu tazón está al revés, toda tu comida se saldrá y eso es negativo. Si tu tazón está al derecho, toda tu comida permanecerá dentro y eso es positivo.
Desafortunadamente, no. Una curvatura de tazón de cabeza significa que la aceleración debe ser negativa, pero esto no necesariamente significa que el objeto está frenando.
Para la primera joroba de la gráfica de arriba, la velocidad empieza positiva en 1 s1\text{ s} y la pendiente se hace cero en 3 s3\text{ s}. Esto significa que el objeto estaba frenando entre 1 s1\text{ s} y 3 s3\text{ s}. Al seguir analizando la primera joroba, la pendiente es cero en 3 s3\text{ s} y se vuelve negativa en 5 s5\text{ s}. Esto significa que el objeto estaba acelerando, pues fue de velocidad cero a una velocidad negativa.
Ambos lados del tazón de cabeza representan aceleración negativa, pero el lado izquierdo representa desaceleración y el lado derecho representa aceleración.
Otra forma de pensar todo esto es que si la gráfica se está volviendo menos pronunciada, el objeto está frenando. Si la gráfica se está volviendo más pronunciada, el objeto está acelerando.

¿Cómo se ven algunos ejemplos resueltos que involucran gráficas de posición vs. tiempo?

Ejemplo 1: una morsa hambrienta

El movimiento de una morsa hambrienta que camina de atrás para adelante en el eje horizontal en busca de comida está dado por la siguiente gráfica que muestra la posición horizontal xx como una función del tiempo tt.
¿Cuál fue la velocidad instantánea de la morsa en los siguientes tiempos: 2 s2\text{ s}, 5 s5\text{ s}, and 8 s8\text{ s}?

Encontrar la velocidad en 2 s2\text{ s}:

Podemos encontrar la velocidad de la morsa en t=2 st=2\text{ s} al determinar la pendiente de la gráfica en t=2 st=2\text{ s}:
pendiente=x2x1t2t1(Usa la frmula para la pendiente).oˊ\text{pendiente}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1} \qquad \text{(Usa la fórmula para la pendiente).}
Ahora vamos a escoger dos puntos sobre la recta que estamos considerando que convenientemente se encuentran sobre la cuadrícula, de modo que podamos determinar el valor de la gráfica en esos dos puntos. Vamos a escoger los puntos (0 s,1 m)(0 \text{ s}, 1\text{ m}) y (4 s,3 m)(4 \text{ s}, 3\text{ m}), pero podríamos escoger cualesquiera dos puntos entre 0 s0\text{ s} y 4 s4\text{ s}. Debemos sustituir el segundo punto en el tiempo como el punto 2, y el primer punto en el tiempo como el punto 1.
pendiente=3 m1 m4 s0 s(Escoge dos puntos y sustituye los valores de x en el numerador y los valores de t en el denominador).\text{pendiente}=\dfrac{3\text{ m}-1\text{ m}}{4\text{ s}-0\text{ s}}\qquad \text{(Escoge dos puntos y sustituye los valores de x en el numerador y los valores de t en el denominador).}
pendiente=2 m4 s=12 m/s(Calcula y celebra).\text{pendiente}=\dfrac{2\text{ m}}{4\text{ s}}=\dfrac{1}{2} \text{ m/s}\qquad \text{(Calcula y celebra).}
Entonces, la velocidad de la morsa al tiempo 2 s2\text{ s} fue de 0.5 m/s0.5 \text{ m/s}.

Encontrar la velocidad en 5 s5\text{ s}:

Para encontrar la velocidad en 5 s5\text{ s} solo tenemos que observar que la gráfica es horizontal en ese lugar. Como la gráfica es horizontal, la pendiente es igual a cero, lo que significa que la velocidad de la morsa en 5 s5\text{ s} fue de 0 m/s0 \text{ m/s}.

Encontrar la velocidad en 8 s8\text{ s}:

pendiente=x2x1t2t1(Usa la frmula para la pendiente).oˊ\text{pendiente}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1} \qquad \text{(Usa la fórmula para la pendiente).}
Vamos a escoger los puntos al principio y al final del último segmento de recta, que son (6 s,3 m)(6 \text{ s}, 3\text{ m}) y (9 s,0 m)(9 \text{ s}, 0\text{ m}).
pendiente=0 m3 m9 s6 s(Escoge dos puntos y sustituye los valores de x en el numerador y los valores de t en el denominador).\text{pendiente}=\dfrac{0\text{ m}-3\text{ m}}{9\text{ s}-6\text{ s}}\qquad \text{(Escoge dos puntos y sustituye los valores de x en el numerador y los valores de t en el denominador).}
pendiente=3 m3 s=1 m/s(Calcula y celebra).\text{pendiente}=\dfrac{-3\text{ m}}{3\text{ s}}=-1 \text{ m/s}\qquad \text{(Calcula y celebra).}
Así que la velocidad de la morsa en 8 s8\text{ s} fue de 1 m/s-1 \text{ m/s}.

Ejemplo 2: un pájaro feliz

El movimiento de un pájaro extraordinariamente jubiloso que vuela de arriba para abajo está dado por la siguiente gráfica, que muestra la posición vertical yy como una función del tiempo tt. Responde las siguientes preguntas acerca del movimiento del pájaro.
¿Cuál fue la velocidad promedio del pájaro entre t=0 st=0\text{ s} y t=10 st=10\text{ s}?
¿Cuál fue la rapidez promedio del pájaro entre t=0 st=0\text{ s} y t=10 st=10\text{ s}?

Encontrar la velocidad promedio del pájaro entre t=0 st=0\text{ s} y t=10 st=10\text{ s}:

Para encontrar la velocidad promedio entre t=0 st=0\text{ s} y t=10 st=10\text{ s}, podemos determinar la pendiente promedio entre t=0 st=0\text{ s} y t=10 st=10\text{ s}. De manera visual, esto correspondería a encontrar la pendiente de la recta que conecta el punto inicial y el punto final de la gráfica.
pendiente=y2y1t2t1(Usa la frmula para la pendiente).oˊ\text{pendiente}=\dfrac{y_2-y_1}{t_2-t_1} \qquad \text{(Usa la fórmula para la pendiente).}
El punto inicial sería (0 s,7 m)(0 \text{ s}, 7\text{ m}) y el punto final sería (10 s,6 m)(10 \text{ s}, 6\text{ m}).
pendiente=6 m7 m10 s0 s(Escoge los puntos final e inicial del intervalo de tiempo y sustituye sus valores).\text{pendiente}=\dfrac{6\text{ m}-7\text{ m}}{10\text{ s}-0\text{ s}}\qquad \text{(Escoge los puntos final e inicial del intervalo de tiempo y sustituye sus valores).}
pendiente=1 m10 s=0.1 m/s(Calcula y celebra).\text{pendiente}=\dfrac{-1\text{ m}}{10\text{ s}}=-0.1 \text{ m/s}\qquad \text{(Calcula y celebra).}
Entonces, la velocidad promedio del pájaro entre t=0 st=0\text{ s} y t=10 st=10\text{ s} fue de 0.1 m/s-0.1 \text{ m/s}.
Sí, eso es esencialmente lo que hicimos al encontrar la pendiente promedio. Como la definición de velocidad promedio es el desplazamiento entre el tiempo, podríamos haber encontrado el desplazamiento primero:
Δy=y2y1=6 m7 m=1 m(Sustituye las alturas final e inicial).\Delta y=y_2-y_1=6\text{ m}-7\text{ m}=-1\text{ m} \quad\text{(Sustituye las alturas final e inicial).}
Y después, podríamos haber dividido entre el tiempo para obtener la velocidad promedio:
vprom=ΔyΔt=1m10sv_{prom}=\dfrac{\Delta y}{\Delta t}=\dfrac{-1\text{m}}{10\text{s}}
vprom=0.1 m/sv_{prom}=-0.1 \text{ m/s}
Obtenemos el mismo valor para la velocidad promedio de cualquier manera.

Encontrar la rapidez promedio del pájaro entre t=0 st=0\text{ s} y t=10 st=10\text{ s}:

La definición de rapidez promedio es la distancia recorrida dividida entre el tiempo. Entonces, para encontrar la distancia recorrida necesitamos sumar la longitud del trayecto de cada etapa del viaje. Entre t=0 st=0\text{ s} y t=2.5 st=2.5\text{ s}, el pájaro se movió 5 m5\text{ m} hacia abajo. Luego, entre t=2.5 st=2.5\text{ s} y t=5 st=5\text{ s}, el pájaro no se movió. Por último, entre t=5 st=5\text{ s} y t=10 st=10\text{ s}, el pájaro voló 4 m4\text{ m} hacia arriba. Al sumar las longitudes de las trayectorias obtenemos el total recorrido: distancia=9 m\text{distancia}=9\text{ m}.
Ahora podemos dividir entre el tiempo para obtener la rapidez promedio, rpromr_{prom}:
rprom=distanciaΔt(Usa la frmula para la rapidez promedio).oˊr_{prom}=\dfrac{\text{distancia}}{\Delta t} \quad\text{(Usa la fórmula para la rapidez promedio).}
rprom=9 m10 s=0.9 m/s(Sustituye los valores, calcula, y celebra).r_{prom}=\dfrac{9\text{ m}}{10\text{ s}}=0.9\text{ m/s} \quad\text{(Sustituye los valores, calcula, y celebra).}
Entonces la rapidez promedio del pájaro entre t=0 st=0\text{ s} y t=10 st=10\text{ s} fue de 0.9 m/s0.9 \text{ m/s}.
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