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¿Qué son las fórmulas cinemáticas?

Aquí están las ecuaciones principales que puedes usar para analizar situaciones con aceleración constante.

¿Qué son las fórmulas cinemáticas?

Las fórmulas cinemáticas son un conjunto de fórmulas que relacionan las cinco variables cinemáticas listadas a continuación.
ΔxDesplazamiento
tIntervalo de tiempo 
v0  Velocidad inicial 
v   Velocidad final 
a   Aceleración constante 
Si conocemos tres de estas cinco variables cinemáticas (Δx,t,v0,v,a) para un objeto bajo aceleración constante, podemos usar una fórmula cinemática (ver más abajo) para encontrar una de las variables desconocidas.
Las fórmulas cinemáticas suelen escribirse como las siguientes cuatro ecuaciones.
1.v=v0+at
2.Δx=(v+v02)t
3.Δx=v0t+12at2
4.v2=v02+2aΔx
Como las fórmulas cinemáticas solo son ciertas si la aceleración es constante durante el intervalo de tiempo considerado, debemos ser cuidadosos de no usarlas cuando la aceleración esté cambiando. Además, las fórmulas cinemáticas suponen que todas las variables se refieren a la misma dirección: x horizontal, y vertical, etc.

¿Qué es un objeto que vuela libremente, es decir, un proyectil?

Podría parecer que el hecho de que las fórmulas cinemáticas solo funcionen para intervalos de tiempo de aceleración constante limitaría seriamente la aplicabilidad de estas fórmulas. Sin embargo, una de las formas más comunes de movimiento (la caída libre), resulta ser a aceleración constante.
Todos los objetos que vuelan libremente (también llamados proyectiles) en la Tierra, sin importar su masa, tienen una aceleración constante dirigida hacia abajo debida a la gravedad de magnitud g=9.81ms2.
g=9.81ms2(Magnitud de la aceleración debida a la gravedad).
Se define un objeto que vuela libremente como cualquier objeto que esté acelerando debido solo a la influencia de la gravedad. Típicamente suponemos que el efecto de la resistencia del aire es tan pequeño que lo podemos ignorar, lo que significa que cualquier objeto que se suelta, se lanza o que de otra manera vuela libremente a través del aire, se considera como un proyectil que vuela libremente con una aceleración constante dirigida hacia abajo de magnitud g=9.81ms2.
Cuando pensamos en ello, es extraño y afortunado. Es extraño pues significa que una roca gigante se acelerará hacia abajo con la misma aceleración que una pequeña piedra, y si se dejaran caer de la misma altura, golpearían el suelo al mismo tiempo.
Es afortunado ya que no necesitamos conocer la masa del proyectil cuando resolvemos fórmulas cinemáticas, dado que el objeto que vuela libremente tendrá la misma magnitud de la aceleración, g=9.81ms2, sin importar qué masa tenga (siempre y cuando la resistencia del aire sea despreciable).
Observa que g=9.81ms2 solo es la magnitud de la aceleración debida a la gravedad. Si seleccionamos arriba como la dirección positiva, cuando hagamos las sustituciones en las fórmulas cinemáticas para un proyectil, debemos hacer que la aceleración de la gravedad sea negativa: ay=9.81ms2.
Advertencia: una de las fuentes de error más comunes es olvidar incluir un signo negativo cuando se usan las fórmulas cinemáticas.

¿Cómo seleccionas y usas una fórmula cinemática?

Escogemos la fórmula cinemática que incluya tanto la variable desconocida que queremos determinar y tres de las variables cinemáticas que ya conozcamos. De esta forma, podemos resolver para la incógnita que queremos encontrar, que será la única incógnita en la fórmula.
Por ejemplo, digamos que supiéramos que un libro que se encuentra en el suelo fue pateado hacia adelante con una velocidad inicial de v0=5 m/s, y que le tomó un intervalo de tiempo de t=3 s deslizarse un desplazamiento de Δx=8 m. Podríamos usar la fórmula cinemática Δx=v0t+12at2 para resolver algebraicamente para la aceleración desconocida a del libro (suponiendo que la aceleración fuera constante) ya que conocemos todas las otras variables en esa fórmula (Δx,v0,t) además de a.
Consejo para resolver el problema: observa que a cada fórmula cinemática le falta alguna de las cinco variables cinemáticas:Δx,t,v0,v,a.
1.v=v0+at(A esta fórmula le falta Δx).
2.Δx=(v+v02)t(A esta fórmula le falta a).
3.Δx=v0t+12at2(A esta fórmula le falta v).
4.v2=v02+2aΔx(A esta fórmula le falta t).
Para escoger la fórmula cinemática que sea adecuada para tu problema, determina cuál variable no se te da y no se te pide encontrar. Por ejemplo, en el problema de arriba, la velocidad final v del libro ni se nos dio ni se nos pidió, así que deberíamos escoger una fórmula que no incluya a v. A la fórmula cinemática Δx=v0t+12at2 le falta el término v, por lo que en este caso es la elección correcta para resolver para la aceleración a.

¿Cómo derivas la primera fórmula cinemática, v=v0+at ?

Esta fórmula cinemática es probablemente la más fácil de derivar, ya que en realidad es solo una versión reorganizada de la definición de la aceleración. Podemos empezar con la definición de la aceleración,
Ahora podemos reemplazar Δv con la definición de cambio en la velocidad: vv0.
a=vv0Δt
Por último, si resolvemos para v obtenemos
v=v0+aΔt
Y si estamos de acuerdo en usar t en vez de Δt, esta se vuelve la primera fórmula cinemática.
v=v0+at

¿Cómo derivas la segunda fórmula cinemática, Δx=(v+v02)t?

Una manera genial de derivar esta fórmula cinemática de manera visual es al considerar la gráfica de velocidad para un objeto con aceleración constante (en otras palabras, una pendiente constante) que empieza con velocidad inicial v0, como se ve en la siguiente gráfica.
El área debajo de cualquier gráfica de velocidad da el desplazamiento Δx. Entonces, el área debajo de esta gráfica de velocidad será el desplazamiento Δx del objeto.
Δx= área total
De manera conveniente, podemos separar esta área en un rectángulo azul y un triángulo rojo, como se muestra en la gráfica de arriba.
La altura del rectángulo azul es v0 y la base es t, por lo que el área total del rectángulo azul es v0t.
La base del triángulo rojo es t y la altura es vv0, entonces el área debajo del triángulo rojo es 12t(vv0).
El área total será la suma de las áreas del rectángulo azul y el triángulo rojo.
Δx=v0t+12t(vv0)
Si distribuimos el factor de 12t obtenemos
Δx=v0t+12vt12v0t
Podemos simplificar al combinar los términos de v0 para obtener
Δx=12vt+12v0t
Y por último podemos volver a escribir el lado derecho para obtener la segunda fórmula cinemática
Δx=(v+v02)t
Esta fórmula es interesante ya que si divides ambos lados entre t, obtienes Δxt=(v+v02). Esto dice que la velocidad promedio Δxt es igual al promedio de las velocidades final e inicial v+v02. Sin embargo, esto solo es verdadero al suponer que la aceleración es constante, ya que derivamos esta fórmula a partir de una gráfica de velocidad con pendiente/aceleración constante.

¿Cómo derivas la tercera fórmula cinemática, Δx=v0t+12at2?

Hay dos maneras de derivar la ecuación Δx=v0t+12at2. Hay una derivación geométrica genial y una derivación menos emocionante que involucra sustituir y calcular. Primero vamos a hacer la derivación geométrica genial.
Considera un objeto que empieza con una velocidad v0 y mantiene una aceleración constante hasta una velocidad final v como se observa en la siguiente gráfica.
Ya que el área debajo de la gráfica de la velocidad da el desplazamiento Δx, cada término en el lado derecho de la fórmula Δx=v0t+12at2 representa un área en la gráfica de arriba.
El término v0t representa el área del rectángulo azul, pues Arectángulo=bh.
El término 12at2 representa el área del triángulo rojo, pues Atriángulo=12bh.
Esto es todo. La fórmula Δx=v0t+12at2 tiene que ser verdadera, ya que el desplazamiento debe estar dado por el área total bajo la curva. Hicimos la suposición de que la gráfica de velocidad era una linda recta diagonal, de modo que pudiéramos usar la fórmula del triángulo, así que esta fórmula cinemática, como el resto de las fórmulas cinemáticas, solo es verdadera bajo la suposición de que la aceleración es constante.

Aquí está la derivación alternativa al hacer una sustitución con cálculos. La tercera fórmula cinemática se puede derivar al sustituir la primera fórmula cinemática, v=v0+at, en la segunda fórmula cinemática, Δxt=v+v02.
Si empezamos con la segunda fórmula cinemática
Δxt=v+v02
y usamos v=v0+at para sustituir v, obtenemos
Δxt=(v0+at)+v02
Podemos desarrollar el lado derecho y obtener
Δxt=v02+at2+v02
Al combinar los términos v02 en el lado derecho nos da
Δxt=v0+at2
Y por último, al multiplicar ambos lados por el tiempo t nos da la tercera fórmula cinemática.
Δx=v0t+12at2
De nuevo, usamos otras fórmulas cinemáticas, las cuales tienen un requerimiento de que la aceleración sea constante, así que esta tercera fórmula cinemática solo es verdadera bajo la suposición de que la aceleración es constante.

¿Cómo derivas la cuarta fórmula cinemática, v2=v02+2aΔx?

Para derivar la cuarta fórmula cinemática, vamos a empezar con la segunda fórmula cinemática:
Δx=(v+v02)t
Queremos eliminar el tiempo t de esta fórmula. Para hacerlo, vamos a despejar el tiempo de la primera fórmula cinemática, v=v0+at para obtener t=vv0a. Si sustituimos esta expresión para el tiempo t en la segunda fórmula cinemática obtendremos
Δx=(v+v02)(vv0a)
Multiplicar las fracciones en el lado derecho nos da
Δx=(v2v022a)
Y ahora, al despejar v2, obtenemos la cuarta fórmula cinemática.
v2=v02+2aΔx

¿Qué es confuso acerca de las fórmulas cinemáticas?

La gente suele olvidar que las fórmulas cinemáticas solo son verdaderas al suponer que la aceleración es constante durante el intervalo de tiempo considerado.
Algunas veces, una variable conocida no se proporciona de forma explícita en un problema dado, sino más bien se da de forma implícita en palabras clave. Por ejemplo, "empieza en reposo" significa v0=0, "se deja caer" a menudo significa v0=0, y "se detiene" significa v=0. También, la magnitud de la aceleración debida a la gravedad en todos los proyectiles que vuelan libremente se supone que es g=9.81ms2, de modo que esta aceleración usualmente no se da de forma explícita en un problema, sino que se entiende que este es su valor para un objeto que vuela libremente.
La gente olvida que todas las variables cinemáticas (Δx,vo,v,a), excepto el tiempo t, pueden ser negativas. Un signo negativo faltante es una fuente de error muy común. Si la dirección hacia arriba se toma como positiva, entonces la aceleración debida a la gravedad de un objeto que vuela libremente debe ser negativa: ag=9.81ms2.
La tercera fórmula cinemática, Δx=v0t+12at2, podría requerir el uso de la fórmula cuadrática (revisa el ejemplo resuelto no. 3 a continuación).
La gente olvida que aún cuando puedes escoger cualquier intervalo de tiempo durante la aceleración constante, las variables cinemáticas que sustituyes en una fórmula cinemática deben ser consistentes con ese intervalo de tiempo. En otras palabras, la velocidad inicial v0 tiene que ser la velocidad del objeto en la posición inicial al comienzo del intervalo de tiempo t. Del mismo modo, la velocidad final v debe ser la velocidad en la posición final al final del intervalo de tiempo t que está siendo analizado.

¿Cómo se ven algunos ejemplos resueltos que involucran a las fórmulas cinemáticas?

Ejemplo 1: la primera fórmula cinemática, v=v0+at

Un globo lleno de agua de sabor se deja caer desde la azotea de un edificio muy alto.
¿Cuál es la velocidad del globo con agua después de caer durante t=2.35 s?
Al suponer que la dirección hacia arriba es la positiva, nuestras variables conocidas son
v0=0 (Como el globo con agua se deja caer, empieza en reposo).
t=2.35 s (Este es el intervalo de tiempo después del cual queremos encontrar la velocidad).
ag=9.81ms2(Esta está implícita, ya que el globo con agua es un objeto en caída libre).
El movimiento es vertical en esta situación, así que vamos a usar y como nuestra variable de posición en lugar de x. El símbolo que escojamos no tiene mucha importancia siempre y cuando seamos consistentes, pero la gente típicamente usa y para indicar movimiento vertical.
Como no conocemos el desplazamiento Δy y no se nos preguntó por el desplazamiento Δy, vamos a usar la primera fórmula cinemática v=v0+at, a la cual le falta Δy.
v=v0+at(Usa la primera fórmula cinemática, ya que le falta Δy).
v=0 m/s+(9.81ms2)(2.35 s)(Sustituye los valores conocidos).
v=23.1 m/s(¡Calcula y celebra!)
Nota: la velocidad final fue negativa ya que el globo con agua estaba yendo hacia abajo.

Ejemplo 2: la segunda fórmula cinemática, Δx=(v+v02)t

Un leopardo está corriendo con una rapidez de 6.20 m/s y, después de ver un espejismo que tiene forma de un camión de helados, aumenta su rapidez a 23.1 m/s en un tiempo de 3.3 s.
¿Cuánta distancia cubrió el leopardo al ir de 6.20 m/s a 23.1 m/s?
Al suponer que la dirección inicial del recorrido es la dirección positiva, nuestras variables conocidas son
v0=6.20 m/s (La rapidez inicial del leopardo).
v=23.1 m/s (La rapidez final del leopardo).
t=3.30 s (El tiempo que le tomó aumentar su rapidez).
Como no conocemos la aceleración a y no se nos pidió la aceleración, vamos a usar la segunda fórmula cinemática para la dirección horizontal Δx=(v+v02)t, a la cual le falta a.
Δx=(v+v02)t(Usa la segunda fórmula cinemática, ya que le falta a).
Δx=(23.1 m/s+6.20 m/s2)(3.30 s)(Sustituye los valores conocidos).
Δx=48.3 m(¡Calcula y celebra!)

Ejemplo 3: la tercera fórmula cinemática, Δx=v0t+12at2

Una estudiante está harta de hacer su tarea de fórmulas cinemáticas, así que lanza su lápiz hacia arriba y de forma recta a 18.3 m/s.
¿Cuánto tiempo le toma al lápiz alcanzar por primera vez un punto 12.2 m más alto de donde fue lanzado?
Al suponer que la dirección hacia arriba es la positiva, nuestras variables conocidas son
v0=18.3 m/s (La velocidad inicial hacia arriba del lápiz).
Δy=12.2 m (Queremos conocer el tiempo que le toma al lápiz recorrer este desplazamiento).
a=9.81 m s2 (El lápiz es un proyectil que vuela libremente).
Como no conocemos la velocidad final v y no se nos pidió encontrar la velocidad final, vamos a usar la tercera fórmula cinemática para la dirección vertical Δy=v0yt+12ayt2, a la cual le falta v.
Δy=v0yt+12ayt2(Empieza con la tercera fórmula cinemática).
Normalmente solo resolveríamos nuestra expresión de manera algebraica para la variable que queremos encontrar. Pero esta fórmula cinemática no se puede resolver de forma algebraica para el tiempo si ninguno de los términos es cero, porque si ninguno de los términos es cero y t es la variable desconocida, esta ecuación se vuelve una ecuación de segundo grado. Podemos verlo al sustituir los valores conocidos.
12.2 m=(18.3 m/s)t+12(9.81 m s2)t2(Sustituye los valores conocidos).
Para escribir esto como una ecuación de segundo grado más fácil de resolver, movemos todos los términos a un solo lado de la ecuación. Al restarle 12.2 m de ambos lados obtenemos
0=12(9.81 m s2)t2+(18.3 m/s)t12.2 m(Ponla en la forma de la ecuación de segundo grado).
En este momento, resolvemos la ecuación de segundo grado para el tiempo t. Las soluciones de una ecuación de segundo grado de la forma at2+bt+c=0 se encuentran al usar la fórmula cuadrática t=b±b24ac2a. Para nuestra ecuación cinemática, a=12(9.81 m s2), b=18.3 m/s y c=12.2 m.
Entonces, al sustituir en la fórmula cuadrática, obtenemos
t=18.3 m/s±(18.3 m/s)24[12(9.81 m s2)(12.2 m)]2[12(9.81 m s2)]
Como hay un signo de más/menos en la fórmula cuadrática, obtenemos dos respuestas para el tiempo t: una cuando usas el signo + y otra cuando usas el signo . Resolver la fórmula cuadrática de arriba da estos dos tiempos:
t=0.869 s y t=2.86 s
Hay dos soluciones positivas ya que hay dos tiempos para los cuales el lápiz está a una altura de 12.2 m. El tiempo menor se refiere al tiempo requerido para ir hacia arriba y alcanzar por primera vez el desplazamiento de 12.2 m de altura. El tiempo mayor se refiere al tiempo requerido para moverse hacia arriba, pasar por los 12.2 m de altura, alcanzar la altura máxima y después caer de regreso a un punto que está a 12.2 m de altura.
Entonces, para encontrar la respuesta a nuestra pregunta de "¿cuánto tiempo le toma al lápiz alcanzar por primera vez un punto 12.2 m más alto de donde fue lanzado?" escogeríamos el tiempo menor t=0.869 s.

Ejemplo 4: la cuarta fórmula cinemática, v2=v02+2aΔx

Un motociclista europeo comienza con una rapidez de 23.4 m/s y, al ver tráfico adelante, decide frenar en una longitud de 50.2 m con una desaceleración constante de magnitud 3.20 m s2. Supón que la motocicleta se está moviendo hacia adelante durante todo el recorrido.
¿Cuál es la nueva velocidad de l motociclista después de frenar en los 50.2 m?
Al suponer que la dirección inicial del recorrido es la dirección positiva, nuestras variables conocidas son
v0=23.4 m/s (La velocidad inicial de la motocicleta).
a=3.20 m s2 (La aceleración es negativa ya que la motocicleta está frenando y suponemos que la dirección hacia adelante es la positiva).
Δx=50.2 m (Queremos conocer la velocidad después de que la motocicleta se mueva a través de este desplazamiento).
Como no conocemos el tiempo t y no se nos pidió encontrarlo, vamos a usar la cuarta fórmula cinemática para la dirección horizontal vx2=v0x2+2axΔx, a la cual le falta t.
vx2=v0x2+2axΔx(Empieza con la cuarta formula cinemática).
vx=±v0x2+2axΔx(Resuelve de manera algebraica para la velocidad final).
Observa que al sacar una raíz cuadrada, obtienes dos posibles respuestas: positiva o negativa. Como nuestro motociclista seguirá yendo en la dirección de movimiento con la que empezó y supusimos que esa dirección era positiva, vamos a escoger la respuesta positiva vx=+v0x2+2axΔx.
Ahora podemos sustituir los valores para obtener
vx=(23.4 m/s)2+2(3.20 m s2)(50.2 m)(Sustituye los valores conocidos).
vx=15.0 m/s(¡Calcula y celebra!)

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  • Avatar blobby green style para el usuario Oscar Garcia
    Saludos, mi pregunta es, ¿cual es el origen de las fórmulas cinemáticas como por ejemplo?:
    y=-1/2gt²+vₒsenθt+yₒ
    Vy=-gt+vₒsenθ
    x=vₒcosθt+xₒ
    ¿De donde es que salen estas formulas y cual es su relación con las formulas de MRU y MRUA (caída libre)?
    (1 voto)
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    • Avatar orange juice squid orange style para el usuario Jo Cabezas
      Oscar! Estoy viendo eso en mi curso de física de la universidad así que intentaré ayudar si es que aún te sirve. Por favor lee todo detenidamente:
      Aquellas ecuaciones cinemáticas son totalmente equivalentes a las que muestran en este post: la primera ecuación que pones es como la ecuación (3), la segunda es como la ecuación (1) y la tercera ecuación que pones no sale en el post.
      Antes que nada, me gustaría corregir que esos signos menos en tus ecuaciones no están del todo bien; allí debería ir un 1/2gt² y un gt respectivamente, sin el signo menos, pues este ya viene incluido al tomar g=-9.8m/s².

      Luego, lo que preguntas: esas ecuaciones con identidades trigonométricas como seno o coseno vienen del hecho de dividir UN movimiento de 2 DIMENSIONES, a DOS movimientos en UNA DIMENSIÓN (descomponerlo).
      Imagina que tengo una pelota y la tiro en diagonal hacia arriba y hacia al frente mío. Allí tengo un movimiento en dos dimensiones un poco difícil de analizar (el movimiento vertical de cómo sube y luego baja la pelota, y el movimiento horizontal que siempre es hacia el frente). Por lo mismo, este se puede dividir en dos componentes y se hace más fácil su análisis.
      Para analizar en el eje x, la componente en x de la velocidad será igual a vₒcosθ (te recomiendo que veas un poco de trigonometría y circulo unitario), y ya luego la reemplazas en la fórmula cinemática común y corriente. Lo mismo ocurre con la componente en y de la velocidad que pasa a ser vₒsenθ.

      Las fórmulas en una dimensión, y sus equivalentes cuando descomponemos un movimiento de dos dimensiones quedan finalmente así:
      y=yₒ+vₒt+1/2gt² ---> y=yₒ+vₒsenθt+1/2gt²
      Vy=vₒ+gt ---> Vy=vₒsenθ+gt
      x=xₒ+vₒt ---> x=xₒ+vₒcosθt
      Espero que te sirva. Saludos.
      (16 votos)
  • Avatar aqualine ultimate style para el usuario Cinthya Eusebia Quispe Poma
    hola, no entiendo por que en el ejemplo 3, la aceleración es negativa ._.
    (4 votos)
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  • Avatar leafers tree style para el usuario Juan Alejandro Florez González
    hola
    necesito alguien que me esplique mejor
    si alguien quiere se mi profesor le agradezco mucho
    (3 votos)
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  • Avatar blobby green style para el usuario Antonio Aviles Aguayo
    este ejemplos y esta explicacion esta super bien es una informacion confiable
    (2 votos)
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  • Avatar blobby green style para el usuario joseangelsanchezbellido4444
    hola, ¿como se puede despejar aceleracion de la tercera formula?
    (2 votos)
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  • Avatar blobby green style para el usuario Madeleine González
    Esto me está ayudando mucho en mi aprendizaje
    (2 votos)
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  • Avatar blobby green style para el usuario luisanayatan
    y como se deriva la 5 formula cinematica?
    (1 voto)
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  • Avatar blobby green style para el usuario lina barillas
    En las fórmulas cinematocas como se cuando poner signo negativo o cambiarlo a positivo?
    (1 voto)
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  • Avatar blobby green style para el usuario Girlis  Guerra
    Una nadadora está nadando hacia la izquierda con una rapidez de 1.0\,\dfrac{\text m}{\text s}1.0
    s
    m

    1, point, 0, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction cuando empieza a aumentar la rapidez con una aceleración constante. La nadadora alcanza una rapidez final de 2.5\,\dfrac{\text m}{\text s}2.5
    s
    m

    2, point, 5, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction a lo largo de una distancia de 5.0\,\text m5.0m5, point, 0, start text, m, end text.
    ¿Cuánto tiempo tardó la nadadora en aumentar la rapidez a 2.5\,\dfrac{\text m}{\text s}2.5
    s
    m

    2, point, 5, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction?
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  • Avatar starky sapling style para el usuario López Zamudio Denisse
    la aceleración
    se divide siempre por tiempo
    (1 voto)
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