Modelo de Bohr del hidrógeno

En este video vemos cómo el modelo atómico de Bohr explica el espectro atómico de emisión.

Puntos más importantes

  • El modelo del hidrógeno de Bohr está basado en la suposición clásica de que los electrones viajan en capas específicas, u órbitas, alrededor del núcleo.
  • Con el modelo de Bohr se calcularon las siguientes energías para un electrón en la capa nn:
E(n)=1n213.6eVE(n)=-\dfrac{1}{n^2} \cdot 13.6\,\text{eV}
  • Bohr explicó el espectro del hidrógeno en términos de electrones que absorben y emiten fotones para cambiar niveles de energía, en donde está la energía del fotón.
hν=ΔE=(1nbajo21nalto2)13.6eVh\nu =\Delta E = \left(\dfrac{1}{{n_{bajo}}^2}-\dfrac{1}{{n_{alto}}^2}\right) \cdot 13.6\,\text{eV}
  • El modelo de Bohr no funciona para sistemas con más de un electrón.

El modelo planetario del átomo

Al principio del siglo XX, surgió un nuevo campo de estudio conocido como mecánica cuántica. Uno de sus fundadores fue el físico danés Niels Bohr, a quien le interesaba explicar el espectro de líneas discretas observado en la luz emitida por diferentes elementos. A Bohr también le interesaba la estructura del átomo, el cual era un tema de mucho debate en la época. Se habían postulado varios modelos del átomo con base en resultados experimentales en los que se incluyen el descubrimiento del electrón por J. J. Thompson y el descubrimiento del núcleo por Ernest Rutherford. Bohr apoyaba el modelo planetario, en el que los electrones giran alrededor de un núcleo cargado positivamente como los anillos alrededor de Saturno, o alternativamente, los planetas alrededor del Sol.
Imagen de Saturno y sus anillos
Muchos científicos, incluidos Rutherford y Bohr, pensaban que los electrones podían orbitar el núcleo como los anillos alrededor de Saturno. Crédito de la imagen: Imagen de Saturno por la NASA
Sin embargo, los científicos todavía tienen preguntas sin respuesta:
  • ¿Qué son los electrones y qué hacen?
  • Si los electrones están orbitando el núcleo, ¿por qué no caen hacia el núcleo como predice la física clásica?
    De acuerdo con la física clásica, un electrón cargado negativamente que se mueve en el campo eléctrico positivo creado por el núcleo debería emitir energía electromagnética. El electrón continuará perdiendo energía mientras orbita el núcleo hasta que eventualmente caiga dentro del núcleo. ¡Desafortunadamente, este razonamiento sugeriría que todos los átomos son inherentemente inestables!
  • ¿Cómo es la estructura interna del átomo relacionada con las líneas discretas de emisión producidas por los elementos excitados?
Bohr contestó estas preguntas usando una hipótesis aparentemente simple: ¿qué pasaría si algunos aspectos de la estructura atómica, como las órbitas y energías electrónicas, solo pudieran tomar ciertos valores?

Cuantización y fotones

A principios de los años 1900, los científicos eran conscientes de que algunos fenómenos ocurrían en una forma discreta, en lugar de continua. Los físicos Max Planck y Albert Einstein habían teorizado recientemente que la radiación electromagnética no solo se comporta como una onda, sino a veces también como partículas llamadas fotones. Planck estudió la radiación electromagnética emitida por objetos calientes y propuso que la radiación electromagnética emitida estaba "cuantizada" pues la energía de la luz solo tenía valores dados por la siguiente ecuación: Efotnoˊ=nhνE_{\text{fotón}}=nh\nu, donde nn es un entero positivo, hh es la constante de Planck —6.626×1034Js6.626 \times10^{-34}\,\text {J}\cdot \text s— y ν\nu es la frecuencia de la luz que tiene unidades de 1s\dfrac{1}{\text s}.
Como consecuencia, la radiación electromagnética emitida debía tener energías que fueran múltiplos de hνh\nu. Einstein usó los resultados de Planck para explicar por qué se necesitaba una frecuencia mínima de luz para expulsar electrones de la superficie de un metal en el efecto fotoeléctrico.
Para obtener más información sobre el efecto fotoeléctrico, incluidos ejemplos resueltos, mira nuestro video sobre el efecto fotoeléctrico.
Cuando algo está cuantizado, significa que solo están permitidos valores específicos, como cuando se toca el piano. Puesto que cada tecla está afinada en una nota específica, solo cierto conjunto de notas —que corresponde a frecuencias de ondas sonoras— se pueden producir. Siempre y cuando tu piano esté apropiadamente afinado, puedes tocar un fa o fa sostenido, pero no puedes tocar la nota que está a la mitad entre fa y fa sostenido.

Espectro de líneas atómicas

El espectro de líneas atómicas es otro ejemplo de cuantización. Cuando un elemento o ion se calienta por una llama o se excita debido a una corriente eléctrica, los átomos excitados emiten luz de un color característico. La luz emitida puede refractarse por un prisma, lo que produce un espectro con una distintiva apariencia rayada debido a la emisión de ciertas longitudes de onda de la luz.
Espectro de emisión del sodio, arriba, comparado con el espectro del Sol, abajo. Las líneas obscuras en el espectro de emisión del Sol, que también se llaman líneas de Fraunhofer, son debido a la absorción de longitudes de onda específicas de luz por elementos en la atmósfera del Sol. La comparación lado a lado muestra que el par de líneas obscuras cerca de la mitad del espectro de emisión del Sol son debidas probablemente al sodio en su atmósfera. Crédito de la imagen: De la Biodiversity Heritage Library
Para el caso relativamente fácil del átomo de hidrógeno, las longitudes de onda de algunas emisiones incluso se pueden ajustar a ecuaciones matemáticas. Sin embargo, las ecuaciones no explican por qué el átomo de hidrógeno emite esas longitudes de onda en particular. Antes del modelo del átomo de hidrógeno de Bohr, los científicos no tenían clara la razón detrás de la cuantización del espectro de emisión atómico.

Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno: cuantización de la estructura atómica

El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno comenzó como el modelo planetario, pero él le agregó una suposición con respecto a los electrones. ¿Qué tal que la estructura del átomo estuviera cuantizada? Bohr sugería que quizás los electrones podrían orbitar el núcleo solo en órbitas específicas o capas con un radio fijo. Solo las capas con un radio dado por la ecuación siguiente estarían permitidas, y el electrón no podría existir entre estas capas. Matemáticamente, podríamos escribir los valores permitidos del radio atómico como r(n)=n2r(1)r(n)=n^2\cdot r(1), donde nn es un entero positivo y r(1)r(1) es el radio de Bohr, el radio más pequeño permitido para el hidrógeno.
Encontró que r(1)r(1) tiene el valor
radio de Bohr=r(1)=0.529×1010m\text{radio de Bohr}=r(1)=0.529 \times 10^{-10} \,\text{m}
Se muestra un átomo de litio usando el modelo planetario. Los electrones están en órbitas circulares alrededor del núcleo. Crédito de la imagen: modelo atómico planetario de Wikimedia Commons, CC-BY-SA 3.0
Al mantener los electrones en órbitas circulares cuantizadas alrededor de un nucleo cargado positivamente, Bohr fue capaz de calcular la energía de un electrón en el nn-ésimo nivel de energía del hidrógeno: E(n)=1n213.6eVE(n)=-\dfrac{1}{n^2} \cdot 13.6\,\text{eV}, en el que la energía más baja posible o energía del estado base de un electrón de hidrógeno, E(1)E(1), es 13.6eV-13.6\,\text{eV}.
Observa que la energía siempre va a ser un número negativo, y el estado base, n=1n=1, tiene el valor más negativo. Esto es porque la energía de un electrón en órbita es relativa a la energía de un electrón que se ha separado por completo de su núcleo, n=n=\infty, lo cual por definición tiene una energía de 0eV0\,\text{eV}. Puesto que un electrón en órbita alrededor del núcleo es más estable que un electrón que está infinitamente lejos de su núcleo, la energía de un electrón en órbita es siempre negativa.

Absorción y emisión

El diagrama de niveles de energía muestra las transiciones para la serie de Balmer, que tiene el nivel de energía n=2 como estado base.
La serie de Balmer —las líneas espectrales en la región visible del espectro de emisión del hidrógeno— corresponde a electrones que caen de los niveles de energía n=36n=3-6 al nivel de energía n=2n=2.
Ahora Bohr podía describir el proceso de absorción y emisión en términos de estructura electrónica. De acuerdo con el modelo de Bohr, un electrón absorbería energía en forma de fotones para excitarse y pasar a un nivel de energía más alto siempre y cuando la energía del fotón fuera igual a la diferencia entre los niveles de energía final e inicial. Después de saltar al nivel de energía más alto —también llamado el estado excitado— el electrón excitado estaría en una posición menos estable, así que rápidamente emitiría un fotón para caer a un nivel de energía más bajo y más estable.
Los niveles de energía y transiciones entre ellos se pueden ilustrar usando un diagrama de niveles de energía, como el ejemplo anterior que muestra a los electrones cayendo al nivel n=2n=2 del hidrógeno. La energía del fotón emitido es igual a la diferencia en energía entre los dos niveles de energía para una transición particular. La diferencia de energía entre los niveles de energía nalton_{alto} y nbajon_{bajo} se puede calcular usando la ecuación para E(n)E(n) de la sección previa:
ΔE=E(nalto)E(nbajo)=(1nalto213.6eV)(1nbajo213.6eV)=(1nbajo21nalto2)13.6eV\begin{aligned} \Delta E &= E(n_{alto})-E(n_{bajo}) \\ \\ &=\left( -\dfrac{1}{{n_{alto}}^2} \cdot 13.6\,\text{eV} \right)-\left(-\dfrac{1}{{n_{bajo}}^2} \cdot 13.6\,\text{eV}\right) \\ \\ &= \left(\dfrac{1}{{n_{bajo}}^2}-\dfrac{1}{{n_{alto}}^2}\right) \cdot 13.6\,\text{eV} \end{aligned}
Puesto que también conocemos la relación entre la energía del fotón y su frecuencia por la ecuación de Planck, podemos resolver para la frecuencia del fotón emitido:
hν=ΔE=(1nbajo21nalto2)13.6eV            Iguala la energa del fotn a la diferencia de energa.ıˊoˊıˊν=(1nbajo21nalto2)13.6eVh                      Resuelve para la frecuencia.\begin{aligned} h\nu &=\Delta E = \left(\dfrac{1}{{n_{bajo}}^2}-\dfrac{1}{{n_{alto}}^2}\right) \cdot 13.6\,\text{eV} ~~~~~~~~~~~~\text{Iguala la energía del fotón a la diferencia de energía.}\\ \\ \nu &= \left(\dfrac{1}{{n_{bajo}}^2}-\dfrac{1}{{n_{alto}}^2}\right) \cdot \dfrac{13.6\,\text{eV}}{h}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{Resuelve para la frecuencia.}\end{aligned}
También podemos encontrar la ecuación para la longitud de onda de la radiación electromagnética emitida usando la relación entre la velocidad de la luz c\text c, la frecuencia ν\nu y la longitud de onda λ\lambda:
c=λν                                                                  Arregla para resolver para ν.cλ=ν=(1nbajo21nalto2)13.6eVh              Divide ambos lados entre c para resolver para 1λ.1λ=(1nbajo21nalto2)13.6eVhc\begin{aligned}\text c &=\lambda \nu ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{Arregla para resolver para }\nu . \\ \dfrac{\text c}{\lambda}&=\nu=\left(\dfrac{1}{{n_{bajo}}^2}-\dfrac{1}{{n_{alto}}^2}\right) \cdot \dfrac{13.6\,\text{eV}}{h}~~~~~~~~~~~~~~\text{Divide ambos lados entre c para resolver para }\dfrac{1}{\lambda}.\\ \\ \dfrac{1}{\lambda} &=\left(\dfrac{1}{{n_{bajo}}^2}-\dfrac{1}{{n_{alto}}^2}\right) \cdot \dfrac{13.6\,\text{eV}}{h\text c} \end{aligned}
La relación entre la longitud de onda y los niveles de energía iniciales y finales se puede reescribir usando la constante de Rydberg, RR, que se define como:
R=13.6eVhc=1.1×1071mR=\dfrac{13.6\,\text{eV}}{h\text c}=1.1\times 10^7\,\dfrac{1}{m}
Si usamos RR para reescribir nuestra ecuación para la longitud de onda de la radiación emitida obtenemos
1λ=(1nbajo21nalto2)R\dfrac{1}{\lambda}=\left(\dfrac{1}{{n_{bajo}}^2}-\dfrac{1}{{n_{alto}}^2}\right) \cdot R
¡Así que no te confundas si ves la ecuación para la longitud de onda escrita con la constante de Rydberg, puesto que RR se puede representar en términos de cc, E(1)E(1) y la constante de Planck hh!
Por tanto, podemos ver que la frecuencia —y la longitud de onda— del fotón emitido depende de las energías de las capas iniciales y finales de un electrón en el hidrógeno.

¿Qué hemos aprendido desde que Bohr propuso este modelo del hidrógeno?

El modelo de Bohr funcionó muy bien para explicar el átomo de hidrógeno y otros sistemas de un electrón como He+\text{He}^+. Desafortunadamente, no lo hizo tan bien cuando se aplicó al espectro de átomos más complejos. Además, con el modelo de Bohr no se podía explicar por qué algunas líneas son más intensas que otras o por qué algunas líneas espectrales se dividen en varias líneas en presencia de un campo magnético, el efecto Zeeman.
En las siguientes décadas, el trabajo hecho por científicos como Erwin Schrödinger mostró que se puede pensar que los electrones se comportan como ondas y como partículas. Esto significa que no es posible saber tanto la posición del electrón en el espacio como su velocidad al mismo tiempo, un concepto que es expresado más precisamente en el principio de incertidumbre de Heisenberg. El principio de incertidumbre contradice la idea de Bohr de que los electrones existen en órbitas específicas con una velocidad y radio conocidos. En lugar de eso, solo podemos calcular probabilidades de encontrar electrones en una región particular del espacio alrededor del núcleo.
El modelo mecánico cuántico moderno podría sonar como un salto grande desde el modelo de Bohr, pero la idea clave es la misma: la física clásica no es suficiente para explicar todos los fenómenos a nivel atómico. Bohr fue el primero en reconocer esto al incorporar la idea de cuantización en la estructura electrónica del átomo de hidrógeno, y de ese modo fue capaz de explicar el espectro de emisión del hidrógeno, así como otros sistemas de un electrón.
Este artículo fue adaptado de los siguiente artículos:
El artículo modificado está autorizado bajo una licencia CC-BY-NC-SA 4.0.
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