Radios del modelo de Bohr (obtención con el uso de física)

en el modelo de borde el átomo de hidrógeno tenemos un protón en el núcleo aquí dibujo una carga positiva y un electrón con carga negativa orbitando al núcleo más o menos como los planetas orbitando alrededor del sol y aún cuando el modelo de bourne no refleja la realidad no sé es útil para el concepto del átomo no sirve para calcular por ejemplo el radio de este círculo que es lo que vamos a hacer en este vídeo así que vale la pena estudiar este modelo pero debo advertirles que vamos a trabajar con mucha física en este vídeo por lo que si no les gusta mucho la física los invito a que vean el siguiente vídeo donde estaremos usando los resultados obtenidos aquí regresando al electrón de aquí digamos que el electrón va en sentido antihorario y la velocidad del electrón en este punto es tangente a esta curva y esta será la dirección del vector velocidad digamos que el electrón tiene una masa m y este electrón va a sentir una fuerza va a sentirse atraído hacia el núcleo las cargas opuestos se atraen así que este electrón con carga negativa va a sentir una fuerza atrae al centro de este círculo y por eso será una fuerza centrípeta y en este caso estamos hablando de la fuerza eléctrica esta es la fuerza eléctrica que ocasiona que el electrón se mueva en un círculo podemos encontrar la fuerza eléctrica usando la ley de colom y esta de aquí es la ley de colom a lo que es igual la fuerza eléctrica cada es una constante multiplicada por 1 que es una de las cargas digamos que con 1 es la carga del protón multiplicada por la otra carga que es q2 y es la carga del electrón dividido entre la distancia entre estas dos cargas al cuadrado vamos a escribir lo que conocemos en esta ley de colom k es una constante que veremos en un momento 1 dijimos que era la carga en el protón y digamos que la carga del protón es y así la vamos a llamar por el momento es una carga elemental q2 dijimos que era la carga del electrón y el electrón tiene la misma magnitud de carga que el protón pero es negativa así que ponemos aquí una negativa dividido entre la distancia entre ambas cargas al cuadrado y la fuerza es igual a la masa por la aceleración esto viene de la segunda ley de newton y ms era la masa del electrón y esta será la aceleración centrípeta ya que estamos hablando de una fuerza centrípeta y sabemos que la aceleración centrípeta es b al cuadrado entre r vamos a sustituir esto aquí esto es igual a m por d al cuadrado entre r inmediatamente vemos que podemos cancelar una de las erres y ya que nos interesa la magnitud de la fuerza no nos interesa el número negativo aquí nos interesa solamente la magnitud de la fuerza eléctrica así que podemos simplificar esto un poco y decir que acá y al cuadrado entre r del lado izquierdo es igual a m por b al cuadrado y continuando con la física clásica usaremos lo que es el momento angular que es un concepto algo curioso el momento angular es l mayúscula y una de sus ecuaciones es r por b donde r es un vector y p es el momento lineal y el momento lineal es igual a la masa por la velocidad así que estamos hablando de el momento lineal del electrón la masa del electrón multiplicada por la velocidad del electrón vamos a sustituir esto en el momento angular y vamos a tomar el momento angular en el centro de nuestro círculo de acá el momento angular en el centro r es un vector vamos a ponerlo aquí y es la distancia desde el centro hasta donde se encuentra nuestro electrón aquí tenemos el vector r producto cruz está x significa un producto cruz que multiplica al momento lineal entonces es r que multiplica a m volver por el seno del ángulo que forman ambos vectores así que pensemos ahora en el otro vector que tenemos aquí el otro vector es el vector momento el vector momento tiene la misma dirección que el vector velocidad esta es la dirección de la velocidad y también la dirección del vector momento lineal así que el ángulo entre ambos vectores es obviamente de 90 grados el seno de 90 grados es 1 por lo que podemos decir que el momento angular es igual a r por m por b por 1 nils board pensó que este momento angular debería estar quant izado y lo que él hizo fue establecer este momento angular igual a cierto entero como 1 2 o 3 y así sucesivamente así que le ponemos un entero n por h que es la constante de planck dividida entre 2 pi esto es lo que encontró board y uso esto para despejar la velocidad vamos a hacerlo vamos a despejar ve de la ecuación de la derecha la velocidad es igual a n por h dividido entre 2 y m por r ya despejamos y vamos a usar esto en nuestra otra ecuación que tenemos aquí a la izquierda vamos a hacerlo nos queda acá y al cuadrado entre r es igual a m por todo esto n por h entre 2 p m r todo elevado al cuadrado hagamos más espacio y continuemos resolviendo esto usemos nuestra álgebra tenemos acá al cuadrado entre r es igual a la masa por todo eso al cuadrado en el cuadrado h al cuadrado entre 4 p al cuadrado m al cuadrado r al cuadrado podemos cancelar algunas cosas por ejemplo una de estas se me saca y una de estas erres viaja ahora en el lado izquierdo nos queda acá al cuadrado igual m al cuadrado h al cuadrado entre 4 x pie al cuadrado por m por r la meta aquí es despejar el radio de este círculo y para hacerlo podemos multiplicar ambos lados por 4 por pie al cuadrado por m por r y nos queda acá al cuadrado 4 pi al cuadrado m&r igual a n al cuadrado h al cuadrado vamos a despejar r&r va a ser igual a en el cuadrado h al cuadrado dividido entre cada x al cuadrado por 4 x piel cuadrado por m y ahora vamos a tomar todo esto de acá y vamos a escribir los números que les corresponden por ejemplo h es la constante de planck y sabemos que esto es 6.626 por 10 a la menos 34 esto va a estar al cuadrado y va está dividido entre todo esto acá sí ya vieron física sabrán que acá es una constante y vale 9 por 10 a 9 es la carga elemental y la magnitud de la carga elemental de un protón o un electrón es 1.6 por 10 a la menos 19 coloms esto es al cuadrado por 4 al cuadrado y recordamos que m es la masa del electrón y la masa del electrón es 9.11 por 10 a la menos 31 kilogramos y bueno estos son bastantes cálculos y en lugar de sacar mi calculadora y mostrarles cómo se hacen los invito a que hagan los cálculos ustedes mismos y verán que como resultado nos darán 5.3 por 10 a la menos 11 y si se dieron el tiempo de hacer el análisis dimensional tendrán como unidades metros así que hagan estos cálculos de ustedes y verán que obtendrán este número y este es un número bastante importante vamos a usarlo en nuestra ecuación de la izquierda r es igual a n al cuadrado por 5.3 por 10 a la menos 11 metros vamos a calcular cuál será el radio para n igual a 1 esto representa el estado fundamental de un electrón en el hidrógeno 100 es igual a 1 está r será r1 igual a 1 al cuadrado por este número obviamente esto es un cálculo muy sencillo así que este radio 1 va a ser igual a este número 5 puntos 3 por 10 a la menos 11 metros así que regresemos aquí a nuestro dibujo para que vean por qué este número es importante acabamos de calcular este radio para el estado fundamental de un electrón en el átomo de hidrógeno calculamos esta distancia y la llamamos r 1 la idea de niels bohr al cuantificar el momento angular va a limitar a los radios que podemos tener vamos a generalizar esta ecuación r n n es cualquier entero es igual a n al cuadrado por este radio r 1 en el cuadrado por r 1 que acabamos de encontrar y el 5.3 por 10 a la menos 11 metros r para cualquier entero n es igual a n al cuadrado por r 1 y esa es una ecuación muy importante ya que significa que sólo ciertos radios están permitidos en este modelo del átomo de hidrógeno debido a que niels bohr quant hizo el momento angular así que debemos tener radios específicos hablaremos de los otros radios en el siguiente vídeo así que en este vídeo después de toda esta física llegamos a esta ecuación y la usaremos para ver más detalles de los radios del modelo de voz