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Demostración de la fórmula de decaimiento exponencial (se puede omitir, cálculo involucrado)

Transcripción del video

la idea de la vida media de la vida media es muy útil vida media cuando nosotros tenemos unidades de tiempo que tienen que ver con múltiplos de la vida media por ejemplo si nosotros tenemos am en el tiempo igual a cero bueno pues en el tiempo igual a cero nosotros tenemos el 100 por ciento de nuestra substancia el 100% pero nosotros también podemos tener am el tiempo igual a una vida media cuando tenemos una vida media ha pasado una vida media bueno pues entonces solamente nos queda la mitad de la sustancia el 50 por ciento y después de que pase otra vida media and después de dos vidas medias bueno pues solamente nos vamos a quedar con la mitad de la mitad es decir el 25% y así podemos seguir y seguir y seguir y bueno es que si por ejemplo yo te digo que han pasado tres vidas medias y digamos que hablamos del carbono 14 que aproximadamente esta cantidad de tiempos eran como 15 mil años entonces de una manera exacta podemos decir cuánto carbono 14 nos queda es decir qué porcentaje de carbono 14 nos va a quedar de la cantidad inicial y es más el carbono 14 que tenemos todavía no ha decaído andrógeno 14 todavía no ahora hasta aquí va bien todo vamos bien sin embargo esto no nos quita la duda de qué es lo que va a pasar si nosotros pensamos en otro tipo de cantidad de tiempo por ejemplo nosotros pensamos que es lo que va a pasar después de medio año o después de media vida media o tal vez después de 10 minutos o un millón de años y tal si nosotros queremos una función general que nos diga cuál es la cantidad de gm ponerlos y cuál va a ser nuestra cantidad que nos va a quedar de esta sustancia que está decayendo después de un cierto tiempo esto estaría genial y de hecho es justo lo que vamos a ver en este vídeo y bueno para esto vamos a ocupar un ojo el conocimiento de matemáticas y bueno realmente no va a ser muy complicado y más si ya tomaste el primer curso de cálculo de hecho esta es una clara aplicación del primer curso de cálculo así que recordemos o vamos a hablar un poco sobre la tasa de cambio o lo podríamos pensar como la probabilidad del número de partículas que está cambiando en un tiempo dado es decir lo que nos queremos fijar es en cómo cambia o cuál es la diferencia entre la cantidad del número de partículas entre el número de partículas entre un cambio muy pero muy pero muy pequeño de tiempo lo que me voy a fijar es cómo cambia esta cantidad con respecto a un cambio en el tiempo y bueno de qué va a depender esta expresión que tengo aquí es decir que si aquí tenemos a la función de la cantidad de partículas que tenemos con respecto al tiempo aquí entonces estamos expresando la tasa de cambio y bueno lo primero que quiero que te des cuenta es que éste va a tener un valor negativo y bueno es que también podemos decir que éste sería positivo si hablamos por ejemplo del crecimiento del compuesto si hablamos del crecimiento del compuesto este sería positivo y dependería de que tanto compuesto tenemos bien y para explicar esto vamos a intentar ser un poco más intuitivo imagínate que aquí tengo a 1 por 10 1 por 10 a la 9 átomos de carbono es decir mil millones de átomos de carbono y por acá tengo otra muestra distinta la cual tiene uno por diez las seis de átomos de carbono uno por diez las seis de átomos de carbono lo cual es un millón de átomos de carbono y bueno imagínate que nos fijamos en un periodo muy corto de tiempo imagínate un segundo este delta etem es un período infinitesimal es decir muy pero muy pero muy pequeño de tiempo pero mediante que de tema es un cambio en el tiempo y por lo tanto lo vamos a tomar como delta de te voy a decir que esté del tdt es un segundo y lo que veo es que esta primera muestra tiene un de pimiento de 1.000 de mil partículas por segundo voy a decir que esta primera muestra se decae en mil partículas por segundo y bueno date cuenta que esta muestra es mil millones si te das cuenta ahora en ese mismo período de tiempo esta muestra que es más pequeña mi segunda muestra sólo tiene un millón de partículas por lo tanto tiene una milésima parte de la muestra es la izquierda o dicho de otra manera podemos pensar que entonces nosotros vamos a ver que la cantidad de partículas que van a decaer va a ser también una milésima parte de la cantidad que tenemos aquí es decir solamente veríamos que una partícula por segundo cd cae en esta muestra de aquí y bueno realmente estos datos son los datos exactos del carbono 14 y bueno aunque no sabemos realmente cuál es esta constante que tenemos aquí lo que sí sabemos es que no importa cuál sea la sustancia de la que estemos hablando esta constante aquí va a depender de esa sustancia es decir en el caso del carbono 14 va a ser muy distinto al caso del uranio y éste a su vez va a ser distinto de radón y bueno lo que pasa es que aquí vamos a tener cantidades distintas porque depende de esta sustancia y de hecho es justo lo que vamos a ver en el siguiente vídeo vamos a calcular esta constante aquí dependiendo la vida media que nos den pero lo importante de esto es lo que quiero que te des cuenta es que esta tasa de cambio realmente va a depender de la cantidad de partículas que tengamos y de hecho no podemos ver desde aquí arriba cuando nosotros tenemos una vida media después de esta vida media lo que vamos a hacer es perder la mitad de la cantidad que anteriormente teníamos si por ejemplo hubiéramos empezado aquí con 100 partículas bueno pues aquí en una vida media tendríamos 50 partículas y después de dos vidas medias tendremos 25 partículas y lo que quiero que te des cuenta es que de aquí para acá han perdido 50 partículas y de aquí para acá solamente perdimos 25 partículas porque depende de la cantidad que tenemos aquí claramente se ve que la cantidad que pierdes es proporcional a la cantidad con la que iniciaste la cantidad depende de la cantidad con la que iniciamos en un período muy pequeño de tiempo y date cuenta a lo que llegamos llegamos a esta expresión de aquí la cual es una simple o bueno tal vez no para todas las personas sea simple pero es una ecuación diferencia la cual podemos resolver utilizando unos métodos muy sencillo unas técnicas muy sencillas para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales así que déjenme bajar un poco la pantalla y vamos a trabajar con esta ecuación que tenemos aquí este es un caso de separación de variables y bueno que podemos hacer entonces para resolverla lo primero que se me ocurre es que podemos dividir todo / n así que vamos a dividir los dos lados de esta ecuación entre enem me quedaría uno / n ok esto que multiplica adn con respecto a detener a mí me voy a poner con este color lo voy a poner con este color ok esto es igual a menos la anp y ahora qué te parece si multiplicamos todo por de temps que me quedarían bueno pues obtendría 1 / n esto que multiplica ante n esto va a ser igual a menos landa por de temps a menos landa que multiplica a de té de lujo y bueno ahora me puedo tomar la integral de ambos lados de esta ecuación la integral de este lado la integral de este lado y bueno entonces que nos quedan si yo me tomo la integral de uno / n dn bueno pues pensemos en anti derivadas como tenemos integral indefinida entonces pensemos en la anti derivada de de la función 1 / n y eso es el lugar natural de en así que lo voy a poner así aquí tengo el logaritmo natural ok de n esta función sale de ésta integral ya esto le voy a sumar y déjeme tomarme este color a esto le voy a sumar una constante de integración la cual le voy a poner una constante 1 ok mientras que del otro lado que me va a quedar de resolver este tema el equipo bueno pues si nosotros pensamos en anti derivadas es muy fácil encontrarla anti derivada de una constante lo único que tenemos que hacer es poner esa constante - la banda ok y multiplicarla por la variable bajó en la cual estamos integrando la cual en este caso es el tiempo - landa por el tiempo ok y bueno como estamos integrando de aquí para salir otra constante a la cual le voy a poner constante 2 y como tengo una constante kim y otra constante aquí que no forzosamente son la misma entonces qué te parece si mejoran las pasamos de un lado voy a pasar a esta constante restando de este lado y así solamente voy a obtener una constante y ahora sí entonces am si ponemos la solución de esta ecuación diferencial justo por aqim a que llegaríamos bueno pues entonces puedo decir que el logaritmo natural el logaritmo natural de enem esto va a ser igual a quién a - la onda te lo voy a poner así a menos ok landa que multiplica al tiempo ok más una constante 3 la cual obtenemos de reducir estas dos constantes y ahora si nosotros lo que queremos es la función de n que depende de temps bueno pues habrá que despejar de esta ecuación de esta solución de esta ecuación diferencial vamos a despejar a en el que te parece si para despejar a en nos tomamos la función inversa de logaritmos natural y bueno la función inversa del hogar y natural nosotros sabemos que es en la función exponencial así que voy a llevar a la función exponencial cada una de las partes de esta ecuación y me va a quedar e l va a esta potencia ok de este lado mientras que desde otro lado voy a obtener ha elevado hasta otra potencia ahora lo padre es que date cuenta que de este lado am el logaritmo natural se cancela con la función exponencial porque son funciones inversas y solamente me queda que enem n es igual y de este otro lado me queda en elevado a la - la cndh atem ok más c3 y lo bueno es que tenemos una propiedad para los exponentes y entonces nos quedarían que en él es igual a e ^ la - lan datem al andate que multiplica ha elevado a la c-3 ok que multiplica ha elevado la c 3 estas expresiones son iguales y ahora si bajamos un poco más la pantalla ya no tengo espacio por aquí voy a bajar un poco más la pantalla y ahora sí lo que quiero que te des cuenta es que esta expresión que tengo aquí e elevado a una constante bueno pues eso realmente es otra constante así que no nos complicamos la vida ya está constante que tengo aquí le voy a poner un nombre como ésta es una constante arbitraria le voy a poner el nombre de c 4 y c 4 y entonces ahora sí me va a quedar que esta función que está buscando n que depende del tiempo la cantidad de sustancia que me va a quedar después de un cierto tiempo esto va a ser exactamente igual a esta constante c4 ok que multiplica ha elevado a la menos landa t y esta es la solución de nuestra ecuación diferencial ahora si nosotros decimos que empezamos con una cierta cantidad es decir que n de cero con la cantidad con la que empezamos es igual a en el sub zero voy a decir que es la única entidad con la que empezamos qué te parece si utilizan este dato resolvemos para hacer 42 tuvo que hacer es sustituir seo en esta ecuación y me va a quedar que n de cero ok lo cual sabemos que es en el cero por lo que tenemos aquí en el subíndice 0 esto va a ser igual a 4 hace cuatro que multiplica ha elevado a la que no estamos en el tiempo cero por lo tanto me va a quedar - la banda x 0 y bueno - la banda por 0-0 y me quedaría elevado al acero pero elevado de acero esto es uno por lo tanto esto es exactamente igual que hace cuatro o dicho de otra manera ya sabemos cuánto vale c4 c4 es la cantidad con la que empezamos y utilizando esa información que acabamos de obtener vamos a reescribir esta ecuación que tengo aquí nos va a quedar que en i d t'aime ok es decir la cantidad de partículas que tenemos en un tiempo dado esto es exactamente igual que en el subíndice cero porque ese 4 es lo mismo que en el subíndice 0 la cantidad con la que empezamos que multiplica a la función exponencial elevado a la menos landa t y bueno recuerda que aquí tenemos como variable independiente al tiempo lo cual nos va a ayudar a encontrar estas constantes ahora bien esto es justo lo que queríamos pero si tú me preguntas de qué me sirve esto si nosotros pensamos en la vida media qué te parece si intentamos encontrar esta cuestión para el carbono porque al final esto sirve para cualquier sustancia que tenga un decaimiento radiactivo si nosotros hubiéramos de pura casualidad un signo más aquí entonces estaríamos hablando de crecimiento de la substancia pero con el menos estamos hablando de decaimiento radiactivo y entonces déjame bajar un poco más la pantalla porque ahora vamos a trabajar con el carbono 14 nosotros sabemos que el carbono 14 ok el carbono 14 cuyo número atómico 66 ok éste tiene una vida media tiene una vida media tiene una vida media media de 5 mil 700 años 5 mil 700 años ok y cómo utilizamos este dato aquí en esta ecuación y utilizando la vida media bueno es nosotros podemos decir que si el tiempo es igual a cero si empezamos supongamos que con 100 átomos de carbono 14 entonces cuando nosotros nos tomamos a ld 0 en el tercero estamos hablando del tiempo igual a cero cuando empezamos bueno cuando empezamos tenemos 100 átomos de carbono 14 y ahora lo que nos dice la vida media es que después en de 5 mil 700 años y ojo estoy cambiando la unidad de tiempo ahora la unidad de tiempo va a ser años para que esto sea consistente hablando en años después de cinco mil 700 años bueno habrá pasado una vida media del carbono 14 es decir llegaríamos a 50 y esto nos quedaría igual con cualquier otra cantidad que nosotros nos tomáramos podrían ser 100 átomos de carbono o mil átomos de carbono o x átomos de carbono y entonces acá abajo tendríamos que poner x entre dos muy bien ahora utilizamos esta información aquí en la función que tenemos arriba estos datos nos van a ayudar a obtener alambre y bueno lo primero que quiero que te des cuenta es que ya sabemos cuánto vale en el subíndice 0 nos quedaría esto de la siguiente manera si ocupamos esta información de kim ok me va a quedar que en el temps en el dtm es igual a 100 a cien porque recuerda que en el subíndice cero es la cantidad con la que empezamos bien que multiplica ha elevado a la - lan datem y vamos a intentar resolver para encontrar el valor del hampa ahora hasta aquí hemos utilizado solamente esta información de esta primera igualdad si nosotros queremos también usar esta vida media entonces qué nos va a quedar nosotros sabemos de esta igualdad acá abajo que en el de 5 mil 700 años bueno pues esto es igual a 50 esto utilizando esta información que tenemos aquí que nos dan en la vida media pero por otra parte podemos sustituir este valor este valor del tiempo aquí en esta ecuación que tenemos arriba y me quedaría 100 que multiplica a e ok esto elevado a la - la banda y en esta ocasión el tiempo vale 5 mil 700 años por lo tanto landa que multiplica a 5 mil 700 años y ahora lo que podemos hacer con esta expresión que tenemos aquí es resolver para obtener el valor de la anda vamos a hacerlo déjeme para eso bajar un poco más esta pantalla am paguemos la pantalla y ahora sí si nosotros queremos obtener el valor de la banda lo primero que se me ocurre es que podemos dividir todo entre cien y si dividimos todas en recién voy a obtener que a 50 entre 100 es lo mismo que un médium un medio es lo mismo que eeuu ha elevado a la menos y lo voy a escribir así 5.700 que multiplica al andar lo único que hice es voltear estos valores y ahora para obtener este valor de la banda voy a sacar el localismo natural de ambos lados el logaritmo natural de este lado y el hogar es natural de este otro lado y bueno aquí tengo el logaritmo natural de un medio esto es igual a el lugar es natural de la función exponencial elevada a la menos 5.700 landa bueno pues eso solamente la parte de arriba menos 5.700 la banda ok y ahora como lo que queremos es la banda voy a decir que él anda antes de ponerlo así en la banda es igual a el logaritmo natural de un medio ok esto su vez / ok entre am - 5.700 y bueno ahora lo que queremos saber es esto déjame sacar por aquí mi calculadora y la voy a traer para acá y yo lo que quiero saber es cuánto es el logaritmo natural de un medio pero medios punto 5 ok esto esto su vez dividido entre menos menos cinco mil 2 y esto es exactamente igual que a 0.000 121 o dicho de otra manera 1.21 por diez al menos cuatro dejan escribir la sim el valor de la banda que nosotros estábamos buscando es igual a 1.21 ok por 10 elevado a la menos cuatro justo lo que nosotros buscábamos y bueno ya que encontramos el valor de la banda ahora sí podemos escribir la ecuación que nosotros buscábamos para el carbono 14 si nosotros queremos saber qué cantidad de carbono 14 va a haber en un período de tiempo bueno pues esto es lo mismo que la cantidad con la que iniciamos que multiplica ha elevado a la - la banda es decir a la menos 1.21 ok por 10 elevado a la -4 ok todo esto multiplicado por el tiempo esta es la ecuación para encontrar la cantidad de carbono 14 a través del tiempo no solamente pensando en una vida media ya podríamos haber con esta ecuación cuánto carbono 14 para ver después de medio año o media vida media am o tal vez diez millones de años o tal vez diez minutos solamente que tener cuidado porque en este caso el tiempo está dado en años pero bueno en el siguiente vídeo haremos muchos problemas sobre este mismo tema