Resolución de problemas de decaimiento exponencial

hace un par de vídeos atrás empezamos a aprender toda esta idea sobre la vida media sobre la vida vida media díaz y bueno nos dimos cuenta de que somos buenos si tratamos de encontrar cuánto del compuesto nos quedará después de una vida media o dos vidas medias o tres vidas medias es decir podemos tomar la mitad del compuesto en cada uno de los periodos ahora esto no es muy útil cuando intentamos averiguar cuánto del compuesto nos quedarán después de la mitad de la vida media o después de un día o 10 segundos o 10 billones de años y para llegar a esto demostré en el último vídeo la demostración que envolvía un poquito de matemáticas sofisticadas y bueno si no has tomado cálculo te recomiendo que de una manera sencilla te saltes este vídeo ahora si eres una persona curiosa te puedo decir que en ese vídeo fue cuando probamos la siguiente fórmula la fórmula que dice me lo voy a poner aquí que dado cualquier en el tiempo si tú tienes un cierto átomo radioactivo algún elemento entonces la desintegración radioactiva puede moderarse por la fórmula la cantidad de elementos en que depende de ti que depende del tiempo es decir en cualquier punto en el tiempo es igual es igual a la cantidad con la que empezaste y esa le habíamos puesto el nombre de n subíndice 0 en el subíndice 0 que multiplica a el que multiplica a el elevado a la menos camps y bueno en el vídeo pasado le pusimos a esta constante lambda pero como es una constante no importa el nombre que tenga he elevado a la menos que multiplica a su vez al tiempo esta era la fórmula que encontramos en el vídeo pasado en que depende del tiempo es igual a en el sub zero que multiplica a elevado en la menos catherine y bueno si ya tenemos esta fórmula datos de algún elemento particular y además sabemos su vida media entonces podemos calcular de una manera sencilla el valor de acá y entonces aplicar el otro problema así que con lo que vamos a ver en este vídeo algunas de estas constantes como acá o como en el sub zero o como nm te quedarán cada vez más claras pero bueno qué te parece si hacemos un ejemplo el carbono 14 y déjame cambiar de color el carbono 14 vimos en el vídeo pasado que tenía una vida media y lo voy a poner aquí el carbono 14 el carbono 14 tiene una vida media de 5.730 años es decir que si utilizamos esta información entonces la podemos aplicar en esta fórmula la vida media lo que nos está diciendo es que después de cinco mil setecientos treinta años va a quedar la mitad de la cantidad inicial con la que empezamos y por lo tanto y déjame ponerlo así con otro color por lo tanto si yo me fijo en n en n de 5.730 años bueno pues esto aplicando la fórmula en primer lugar es exactamente lo mismo que en esos 0 que en el subíndice es 0 lo que quiere decir la cantidad con la que empezamos esto que a su vez multiplica a ok elevado a la menos que a la menos k por el tiempo pero el tiempo son cinco mil setecientos treinta años cinco mil setecientos treinta años así que lo voy a poner aquí ya que multiplica a cinco mil 703 años y bueno nosotros sabemos que como es la vida media entonces esto es exactamente igual a pues la mitad de la cantidad con la que empezamos es decir en el subíndice 0 esto dividido entre 2 la mitad de la cantidad con la que empezamos y bueno ahora sí de aquí queremos despejar acá entonces qué te parece si en un primer lugar dividimos todo entre en el subíndice 0 y éste es raíz y éste es raíz y entonces voy a quedarme con que el elevado a la menos 5.730 acá lo único que estoy haciendo es volteando estos dos esto es lo mismo que un medio y ahora si me quiero tomar el lugar y tmo natural de ambos lados tomó el lugar y no natural de esto que tengo aquí ok y tomó el lugar ismo natural de este que tengo aquí entonces que me va a quedar ahora recuerda que si tomamos el logaritmo natural de ambos lados del lado izquierdo que quedan bueno pues ahora qué que cuando tomemos el logaritmo natural de elevado a lo que sea es ese lo que sea lo que me queda es decir lugar natural de elevado la am es simplemente a así que de aquí lo único que me va a quedar es menos 5.730 camps así que tan déjame ponerlo aquí menos 5.730 que multiplica acá esto es exactamente lo mismo que el logaritmo natural de un médium y ya casi tenemos el valor de acá para obtener el valor de acá lo único que hay que hacer de kim es dividir todo entre menos 5.730 y me va a quedar que camps es exactamente lo mismo que el logaritmo natural de un medio esto dividido entre menos 5.700 ok y bueno justo en el vídeo pasado hicimos esta operación que tenemos aquí pero de todas maneras lo voy a hacer en este vídeo así que déjame traer por acá mi calculadora vamos a traerlo por acá y ahora lo que quiero calcular es el logaritmo natural ok de punto 5 ok punto 5 es un medio y esto lo voy a dividir ok entre menos donde estén menos menos 5.730 de lujo y esto es exactamente lo mismo que ok 0.0001 2 os lo puedo poner como a 1.2 por 10 a la decoró 1-2-3-4 por 10 al menos 4 así que mejor lo voy a poner justo así esto es exactamente lo mismo que 1.2 por 10 al menos 4 ok y ya con esto estoy sacando el valor de camps y eso me va a servir bastante porque entonces ya tengo la expresión de la fórmula general para el carbono 14 y es más si ahora utilizo este color y yo pongo n dt y sigo hablando del carbono 14 así que déjenme ponerle que esto es para el carbono 14 ok si quisiéramos sacar la fórmula general para otro elemento entonces a rectificar nos en la vida media de ese elemento para así poder obtener el valor de la constante k entonces esto es exactamente igual a en el subíndice 0 y en el subíndice 0 que multiplica a la exponencial elevado a la menos camps pero ya sabemos el valor de camps es justo este que tenemos aquí 1.2 por 10 al menos 4 es decir el elevado a la menos 1.2 10 elevado a menos 4 y todo esto hay que multiplicarlo por el tiempo todo esto lo multiplicamos por el tiempo que es justo este dato que me dan y bueno ya que tenemos aquí esta fórmula esta expresión de kim que te parece si la utilizamos para resolver un problema vamos a decir que y déjame bajar un poco la pantalla porque ya no tengo espacio por aquí y qué te parece si ahora decimos que empezamos con 300 gramos de carbono 14 así que voy a decir que mi cantidad inicial de carbono 14 son 300 gramos tengo 300 gramos ok de carbono 14 ok y yo lo que quiero saber es cuánto me va a quedar de estos 300 gramos de carbono 14 y después de 2000 años así que déjame aquí lo que quiero saber es qué es lo que va a quedar después de eso de de 2000 años años de lujo y bueno lo único que hay que hacer es enchufar estos datos en esta ecuación que tenemos aquí y entonces me va a quedar lo siguiente que n que n de dos mil años nd y aquí voy a poner dos mil n de dos mil años ok esto a quien va a ser igual bueno esto va a ser igual a la cantidad inicial pero la cantidad inicial la sabemos son 300 gramos 300 ok que multiplica déjeme poner lo cual este color que multiplica a elevado a la menos 1.2 por 10 a la menos cuatro por el tiempo que es esto entonces lo voy a poner así 1.21.2 10 al menos 4 y esto a su vez está multiplicando a 2000 años entonces esto por 2000 y bueno es hora para obtener la solución de este problema de sacar de nuevo la calculadora así que la voy a traer por acá ya la tengo aquí y lo que tengo que hacer es 300 x todo esto de aquí entonces vamos a ponerlo 300 ok que multiplican que multiplica a m elevado elevado a la potencia a la potencia 1.2 por 10 en la menos 4 que es justo lo que tenemos aquí arriba entonces a la potencia menos la respuesta anterior ok que esto multiplica a 2000 a 2000 ok cierro paréntesis y lo hago con mucho cuidado voy a obtener la respuesta y la respuesta es 235 puntos 53 gramos 235 así que lo voy a poner justo aquí lo que va a quedar de 2000 años es 235 gramos de lujo así de fácil y así de sencillo esto está genial usando esta fórmula la fórmula del decaimiento exponencial podemos obtener la cantidad de carbono 14 que tendremos después de cualquier periodo de tiempo en un período de tiempo que no forzosamente sea la vida media y bueno como esto está tan genial vamos a hacer otro más otro problema muy parecido a este se me ocurre ahora a tomarnos en un inicio 400 gramos de carbono 14 y déjenme bajar un poco más la pantalla bajemos un poco más la pantalla a esta fórmula me va a servir entonces vamos a empezar esta vez con 400 gramos de carbono 14 con 400 gramos de carbono 14 esto en un inicio es mi cantidad inicial ya lo que quiero saber es en qué tiempo es decir mi incógnita esta vez será el tiempo en qué tiempo voy a obtener una cantidad de 350 gramos de carbono 14 es decir en cuánto tiempo en cuánto tiempo el tiempo es lo que no sé ok se convierten en 350 gramos y déjame ponerlo con este otro color los voy a convertir en 350 gramos después de un cierto tiempo y bueno entonces vamos a poner los datos que nosotros tenemos en esta ecuación general para el carbono 14 entonces a y déjeme escribirlo por aquí si yo lo que quiero es el tiempo entonces sé la cantidad que me va a quedar que son 350 gramos y sustituyendo aquí me va a quedar que 350 gramos esto va a ser igual es decir la cantidad con la que voy a finalizar es exactamente lo mismo que la cantidad inicial con 400 gramos 400 gramos ok que multiplican que multiplican a m que multiplica ha elevado a la menos camps pero acá vale 1.2 por 10 a la menos 4 así que lo voy a poner si 1.2 por am 10 al menos 4 ya esto lo voy a multiplicar por el tiempo a esto lo voy a multiplicar por el tiempo ok y justo lo que quiero saber es el tiempo así que vamos a despejar lo lo primero que se me ocurre hacer es dividir todo entre 400 entonces éste se va a ir y de este lado me va a quedar 350 entre 400 cuánto es 350 entre 400 es lo mismo que siete octavos haber 350 entre 400 ok esto es lo mismo que 0.8 175 aquí me va a quedar 0.8 175 es lo mismo que elevado a la menos 1.2 por 10 de la menos 40 déjame ponerlo así menos 1.2 por 10 al menos 4 ok y ahora lo que voy a hacer es tomar el logaritmo natural de ambos lados el logaritmo natural de stem y el logaritmo natural de todo esto que tengo aquí ahora lo bueno es que sabemos que de este lado derecho el logaritmo natural y la exponencial cuando me toma el logaritmo natural de elevado a lo que sea me va a quedar solamente lo que sea y entonces ante aquí voy a obtener y déjame ponerlo así que el logaritmo natural de 0.8 175 esto es exactamente igual que 1.2 por 10 de la menos cuatro de al menos 1.2 10 al menos 40 ok y lo que quiero es el tiempo por lo tanto voy a dividir todo entre menos 1.2 por 10 era menos 4 y déjame de una vez atrapar esto lo voy a atrapar ok lo voy a copiar lo voy a pegar ok entonces este me va a servir porque voy a dividir todo entre esto voy a dividir todo entre esto ok a esta parte también ok y entonces me va a quedar lo siguiente am y déjeme ver esto me va a quedar como una división esto también pero estos dos se van este y éste se van y solamente me queda el tiempo es decir que lo que busco el tiempo es exactamente igual a esta expresión que tengo aquí y para eso vamos a sacar de nuevo mi calculadora y vamos a hacer las respectivas cuentas que tengo aquí tengo el logaritmo natural de 0.8 175 ok a esto lo voy a dividir entre am - 1.21.2 por 10 a la menos 4 así que voy a traer por acá el por 10 aunque a esto lo voy a multiplicar por 10 elevado a la menos 4 todo esto con paréntesis todo esto con paréntesis y esto va a ser igual a mil 112 años de lujo ya tenemos la solución de este problema esto es lo mismo que en mil 112 años niños y de lujo ya tengo la solución de este problema y tal vez esto se ve un poquito complicado pero realmente lo único que tienes que hacer es recordar dejar de subir un poco en la pantalla recordar esta fórmula que tenemos aquí esta es la fórmula más importante de todo lo que hemos trabajado esta que tenemos aquí esta de aquí y si lo que quieres saber es de dónde salió esta fórmula tienes que ver el vídeo pasado y bueno para cualquier elemento en particular primero debes resolver esta fórmula para obtener el valor de campo de la vida media y después solo debes de sustituir lo que sabes para obtener lo que no sabes utilizando esta fórmula de aquí y de lujo en el siguiente vídeo voy a trabajar con otros problemas parecidos