Más ejemplos de decaimiento exponencial

vamos a hacer algunos problemas sobre el decaimiento exponencial porque realmente la forma de que se te hagan muy fáciles es simplemente práctica y sentirse de una manera confortable con la idea de la fórmula general que voy a escribir de nuevo la fórmula general me dice que la cantidad de un elemento que está decayendo en algún punto del tiempo es decir n es la cantidad de este elemento que depende de ti de un punto en el tiempo esto es exactamente igual que la cantidad inicial que hay de este elemento es decir en el sub índice 0 esta es la cantidad inicial ok que multiplican a la exponencial que multiplica al exponencial elevada a la menos cam que a la menos acá en donde el valor de cam es un valor específico para un cierto elemento que tiene una cierta vida media y bueno algunas veces no te dan esta vida media de hecho creo que esta es una situación bastante interesante imagínate que tenemos un elemento y déjame darte su fórmula am se me ocurre pensar en un elemento en el cual sepamos esta constante acá pero no sepamos su vida media y vamos a decir que a este elemento mágico por aquí tiene un valor de can tiene un valor de cam iguala perdona es que he comido muchas nueces y mi garganta está un poco seca este valor de acá es igual a 0.05 vamos a decir ok y bueno si este es el valor de cam entonces la ecuación me va a quedar de la siguiente manera en el dtm n de tm es exactamente igual a en el subíndice 0 que multiplica a la función exponencial y éste es positivo por lo tanto aquí me va a quedar menos 0.05 ok estoy sustituyendo el valor que nos dan de camps por el tiempo ok y yo lo que quiero es saber cuál es la vida media de este elemento que tenemos aquí y es más deben ponerlo con este color yo lo que quiero saber es cuál es la vida la vida media día ok pues como lo resolvemos es decir para que te que pongamos aquí quiero una t que pongamos aquí vamos a obtener que la cantidad de inicial se va a dividir a la mitad en esta ecuación es decir empezamos con una cierta cantidad y como no la sabemos podemos poner en el subíndice cero pero bueno también podremos poner cualquier valor aquí tal vez a 100 voy a suponer in déjame cambiar de color que en ese subíndice 0 es igual a 100 para no hacer esto tan tan abstracto y bueno date cuenta que el valor que elijamos es indistinto porque no estoy tomando este valor de una manera aleatoria podría dejarlo en abstracto es decir en el subíndice 0 pero va a ser más fácil si ponemos algún valor aquí decimos que empezamos con 100 y entonces a ampo me quedaría esta parte de mi ecuación bueno pues la cantidad inicial vale 100 entonces me va a quedar déjame cambiar de color me va a quedar cien veces cien veces he elevado a la menos 0.05 que multiplica a t y de hecho es justo lo que queremos un valor para t esto va a ser exactamente igual que en y bueno del otro lado tenemos la cantidad que nosotros queremos pero lo que queremos saber es la vida media y la vida media es el tiempo en el cual la cantidad inicial se divide a la mitad es decir que esto va a ser igual a 50 a 50 y bueno de aquí habrá que despejar el tiempo y para eso se me ocurre que lo primero que podemos hacer es dividir todo entre 100 y me va a quedar que es elevado a la menos 0.05 por t ok esto va a ser igual a un medio ok y bueno si ahora sacó el logaritmo natural de ambos lados voy a sacar a logaritmo natural de este lado y también voy a sacar el logaritmo natural de éste entonces que me va a quedar bueno recordemos lo que vimos en el vídeo pasado el logaritmo natural de m elevado a lo que sea es esto es lo que sea por lo tanto de aquí solamente voy a obtener am y déjenme cambiar de ecuador de aquí solamente voy a obtener menos 0.05 por t ok y de este otro lado me va a quedar que es lo mismo que el logaritmo natural de 1 y si de aquí quiero despejar el tema aunque voy a obtener voy a obtener que te den es exactamente igual al logaritmo natural de un medio de un medio ok esto dividido entre menos 0.05 lo único que estoy haciendo es dividiendo todo entre esta cantidad y ahora si yo saco por acá mi calculadora déjame traerla por acá ok entonces qué es lo que va a pasar cuando él yo quiero hacer el cálculo con esta ecuación y puedo de hecho se me ocurre una cosa muchísimo creo que podríamos regresar aquí antes de bajar un poco en la pantalla déjame bajar un poco la pantalla para que entonces am hagamos un pequeño truco lo cual me va a facilitar las cuentas en la calculadora si yo aquí en lugar de este menos le pongo aquí un más que multiplicó todo por menos uno el menos me quedaría justo acá arriba lo único que hice fue pasar el menos para arriba pero cuando yo tengo menos el organismo natural de algo esto es exactamente lo mismo el logaritmo natural del inverso multiplicativo de lo que está aquí adentro eso siempre lo podemos hacer cuando tenemos un menos antes del logaritmo y me quedaría que t es igual al logaritmo natural de 2 que es el inverso multiplicativo de un medio entre 0.05 y ahora si nosotros traemos para acá nuestra calculadora y hacemos esta cuenta que me va a quedar déjame traerla para acá voy a decir que quiero el logaritmo natural de 2 ok ya estoy dividirlo entre a 0.05 y la respuesta es 13.86 perfecto ya tengo el tiempo esto es lo mismo que 13.86 y es justo lo que yo quería la vida media y bueno voy a suponer que está dado en años en años porque casi siempre estos problemas se dan en años ahora bien podría no estar dado en años pero cualquier cantidad de tiempo que nosotros tengamos aquí de una manera sencilla la podemos convertir a años y bueno obtuvimos este resultado gracias a que nosotros am y dejamos subir un poco de la pantalla empezamos con esta ecuación que tenemos aquí con esta ecuación que tenemos aquí y nosotros nos dimos cuenta que ya teníamos el valor de cam y después aquí puse una cierta cantidad la que ya mismo ocurrió a bien podremos poner que en el subíndice cero sea 200.000 o equis y entonces si fuera x aquí tendría que poner la mitad es decir x entre 2 y ya con esto lo único que teníamos que hacer era despejar el valor de t con mucho cuidado y ya tenemos la respuesta así que qué te parece si hacemos un problema más de este tipo para sentirnos muy cómodos con la fórmula original voy a bajar un poco la pantalla para hacer el siguiente problema se me ocurre hacer este siguiente problema digamos que tenemos una vida media una vida a media de un mes de um un mes y entonces a no no no no mejor voy a quitar esto y es que en el vídeo pasado ya vimos cómo encontrar la constante cam dada la vida media así que si tú tienes problemas con ello puede regresar a ese vídeo pasado entonces en lugar de tener una vida media de un mes voy a decir que camps a vale 0.001 y bueno estoy haciendo esto por cuestiones de tiempo lo que quiero es el problema un poco más rápido de todas maneras quiero que recuerdes que en el vídeo pasado nos dimos cuenta de cómo encontrar la constante camps utilizando los datos de la vida media y bueno si k es igual a 0.001 entonces como me queda mi ecuación n dtm en el dtm va a ser igual a subíndice 0 ok que multiplica a el elevado a la menos camps es decir menos 0.001 0.001 que a su vez multiplica al tiempo ok ahora vamos a suponer que después de 1000 años y eso lo voy a poner con este color se me ocurre decir que después después de mil años mil años solamente me quedan 500 gramos me quedan 500 gramos de este compuesto mi pregunta es con cuánto iniciamos es decir esencialmente lo que queremos saber es cuál es el valor de n subíndice 0 y para eso vamos a utilizar estos datos en esta ecuación así que vamos a ponerlo si yo aquí calculó cuánto es n de 1000 n de 1000 ok porque este dato lo tengo bueno esto es exactamente lo mismo que en el subíndice 0 estoy sustituyendo en esta fórmula que multiplica a el elevado a la menos 0.001 que a su vez esto multiplica el tiempo pero el tiempo son 1000 años por lo tanto esto que multiplica a mil a mil ok muy bien dejan lo mejor ponerlo con un asterisco ok estos dos están multiplicando y esto a su vez es exactamente igual pues la cantidad de final que son 500 gramos después de mil años vamos a tener 500 gramos de este elemento y bueno lo único que hay que hacer de aquí es despejar en el subíndice 0 y creo que no está tan difícil déjame bajar un poco la pantalla para terminar de resolver este problema se ahora aquí lo que quiero es despejar en el subíndice cero que voy a obtener bueno que n subíndice 0 por el elevado a la 01.00 uno por mil bueno pues esto es una milésima parte de mil lo cual es menos 1 eso está muy sencillo entonces en el subíndice 0 que multiplica a en elevado al menos 1 esto es lo mismo que 500 gramos ok y si ahora multiplicó todo por él me va a quedar que en el subíndice 0 es lo mismo que 500 x en ok y habrá que calcular así que déjenme sacar por aquí a la calculadora ok la tengo por aquí voy a multiplicar a 500 x por el elevado a la primera potencia elevado a la primera potencia y esto es lo mismo que en mil 359 gramos entonces déjame ponerlo aquí esto es lo mismo que mil 359 gramos os lo queremos ver en kilogramos es un kilogramo con 359 gramos ok entonces justo el valor de n sub zero que yo quería este valor de aquí es mil 359 gramos con esto empecé ahora como veis en este momento quiero que te des cuenta que lo más importante es regresar a esta déjame bajar un poco más la pantalla a esta fórmula que tenemos aquí si tú tienes un examen de química o tienes que resolver algún problema que tiene el profesor lo más importante es recordar está expresión que tenemos aquí está de aquí y curiosamente esto aplica a un montón de cosas que ya en un futuro veremos por ejemplo el interés compuesto pero en este caso la casería positiva aunque esencialmente es la misma fórmula y bueno también hay un montón de cosas que esta fórmula describe pero eso sí ahora lo que sabemos es que una de ellas es el decaimiento radioactivo pero bueno regresando la idea es que con esta fórmula intentes obtener la mayor cantidad de constantes que puedas y ya con eso tengas una expresión la cual puedas utilizar para resolver lo que te estén preguntando y bueno espero que te haya dado los suficientes ejemplos para que tengas unas buenas herramientas para resolver problemas de este tipo pero házmelo saber yo estoy feliz realizando estos problemas