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Lecciones de física

Curso: Lecciones de física > Unidad 17

Lección 3: Números cuánticos y orbitales
Ciencia
Lecciones de física
Física cuántica
Números cuánticos y orbitales
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El modelo mecánico cuántico del átomo

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Introducción al modelo mecánico cuántico del átomo: se piensa en los electrones como ondas de materia probabilística utilizando la longitud de onda de De Broglie, la ecuación de Schrödinger y el principio de incertidumbre de Heisenberg. Estudiamos el espín del electrón electrón y el experimento de Stern-Gerlach.

Puntos más importantes

  • Louis de Broglie propuso que todas las partículas podrían ser tratadas como ondas de materia con una longitud de onda λ, dada por la siguiente ecuación:
λ=hmv
  • Erwin Schrödinger propuso el modelo mecánico cuántico del átomo, el cual trata a los electrones como ondas de materia.
  • La ecuación de Schrödinger, H^ψ=Eψ, se puede resolver para obtener una serie de funciones de onda ψ, cada una de las cuales está asociada con una energía de enlace electrónica, E.
  • El cuadrado de la función de onda, ψ2, representa la probabilidad de encontrar un electrón en una región dada dentro del átomo.
  • Un orbital atómico está definido como la región dentro de un átomo que encierra donde posiblemente esté el electrón el 90% del tiempo.
  • El principio de incertidumbre de Heisenberg afirma que no podemos conocer tanto la energía como la posición de un electrón. Por lo tanto, a medida que sabemos con mayor precisión la posición del electrón, sabemos menos sobre su energía, y viceversa.
  • Los electrones tienen una propiedad intrínseca llamada espín, y un electrón puede tener uno de dos posibles valores de espín: espín arriba o espín abajo.
  • Cualesquiera dos electrones que ocupen el mismo orbital deben tener espines opuestos.

Introducción al modelo mecánico cuántico

"Debemos dejar en claro que cuando se trata de átomos, el lenguaje solo se puede usar como en la poesía." —Niels Bohr
La materia se comienza a comportar muy extraño a nivel subatómico. Algo de este comportamiento es tan contraintuitivo que solo podemos hablar de él con símbolos y metáforas, como en la poesía. Por ejemplo, ¿qué significa decir que un electrón se comporta como una partícula y como una onda? O que un electrón no existe en una posición en particular, sino que está disperso en todo el átomo?
Si estas preguntas te parecen extrañas, ¡es porque lo son! Pero resulta que tenemos buena compañía. El físico Niels Bohr también dijo, "cualquiera que no se sorprenda por la teoría cuántica, no la ha entendido". Así que si te sientes confundido cuando estés aprendiendo sobre la mecánica cuántica, acuérdate que los científicos que originalmente la desarrollaron estuvieron igual de confundidos.
Comenzaremos por repasar de manera breve el modelo de Bohr del hidrógeno, el primer modelo no clásico del átomo.

Repaso del modelo de Bohr del hidrógeno

Como hemos visto en un artículo previo sobre el modelo de Bohr, el espectro de emisión de diferentes elementos contiene líneas discretas. La siguiente imagen muestra la región visible del espectro de emisión del hidrógeno.
Espectro de emisión del hidrógeno que muestra líneas azules violáceas en 410 y 434 nm, una línea azul claro en 486 nm y una línea roja en 656 nm. Todas las líneas están contra un fondo negro.
El hidrógeno emite cuatro longitudes de onda en la región del visible. Crédito de la imagen: espectro de emisión de Wikimedia Commons, CC0 1.0
El espectro de emisión cuantizada le indicaba a Bohr que quizás los electrones podían solo existir dentro del átomo en ciertos radios y energías atómicas. Recuerda que cuantizado se refiere al hecho de que la energía solo se puede absorber y emitir en un rango de valores permitidos en lugar de cualquier valor. El siguiente diagrama del modelo de Bohr muestra que el electrón existe en un número finito de órbitas o capas permitidas alrededor del núcleo.
Diagrama que muestra los primeros tres niveles, n=1, 2, y 3, para el modelo de Bohr del hidrógeno. Un electrón está pasando de n=3 a n=2, como se indica por una flecha que comienza en n=3 y que va a n=2. La pérdida de un fotón se muestra para la transición electrónica con una energía de hf.
Un diagrama del modelo de Bohr del átomo de hidrógeno. Los electrones se mueven en órbitas circulares que están a distancias fijas del núcleo. La luz se emite cuando los electrones excitados, n>1, caen a un nivel de energía menor. Crédito de la imagen: de Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0
De este modelo, Bohr obtuvo una ecuación que predecía correctamente los varios niveles de energía en el átomo de hidrógeno, lo cual corresponde directamente a las líneas de emisión en el espectro del hidrógeno. El modelo de Bohr también fue exitoso para predecir los niveles de energía de otros sistemas de un solo electrón como el He+. Sin embargo, falló en explicar la estructura electrónica en átomos que contuvieran más de un electrón.
Mientras que algunos físicos inicialmente trataron de adaptar el modelo de Bohr para hacerlo útil para sistemas más complicados, al final concluyeron que era necesario un modelo completamente diferente.

Dualidad onda partícula y la longitud de onda de De Broglie

Otro gran desarrollo en mecánica cuántica fue liderado por el físico francés Louis de Broglie. Con base en el trabajo de Planck y Einstein que mostró cómo las ondas de luz podían exhibir propiedades de partícula, De Broglie tuvo la hipótesis de que las partículas también podrían tener propiedades de ondas.
De Broglie obtuvo la siguiente ecuación para la longitud de onda de una partícula de masa m (en kilogramos kg), que viaja a una velocidad v (en ms), donde λ es la longitud de onda de De Broglie de la partícula en metros y h es la constante de Planck, 6.626×10−34kg⋅m2s:
λ=hmv
Observa que la longitud de onda y la masa de las partículas de De Broglie son inversamente proporcionales. La relación inversa es la razón de por qué no notamos ningún comportamiento como de onda para los objetos macroscópicos que encontramos en la vida diaria. Resulta que el comportamiento de onda de la materia es más significativo cuando una onda encuentra un obstáculo o rejilla que es de tamaño similar a su longitud de onda de De Broglie. Sin embargo, cuando una partícula tiene una masa del orden de 10−31 kg, como el electrón, el comportamiento de onda se vuelve suficientemente significativo, lo que resulta en algunos fenómenos muy interesantes.
Verificación de conceptos: el lanzamiento de una pelota de béisbol más rápido registrado fue de aproximadamente 46.7 ms. Si una pelota de béisbol tiene una masa de 0.145 kg, ¿cuál es su longitud de onda de De Broglie?

Ejemplo 1: calcular la longitud de onda de De Broglie de un electrón

La velocidad de un electrón en el nivel de energía base del hidrógeno es 2.2×106ms. Si la masa del electrón es 9.1×10−31 kg, ¿cuál es la longitud de onda de De Broglie de este electrón?
Podemos sustituir la constante de Planck y la masa y velocidad del electrón en la ecuación de De Broglie:
λ=hmv=6.626×10−34kg⋅m2s(9.1×10−31kg)(2.2×106ms)=3.3×10−10 m
La longitud de onda de nuestro electrón, 3.3×10−10 metros, está en el mismo orden de magnitud que el diámetro del átomo de hidrógeno, ~1×10−10 metros. Esto significa que la longitud de onda de De Broglie de nuestro electrón es tal que con frecuencia encontrará cosas de tamaño similar a su longitud de onda, por ejemplo un neutrón o un átomo. Cuando eso pase, ¡el electrón probablemente mostrará comportamiento de onda!

El modelo mecánico cuántico del átomo

Ondas estacionarias

Un problema importante con el modelo de Bohr era que trataba electrones como partículas que existían en órbitas definidas con precisión. Con base en la idea de De Broglie de que las partículas podían mostrar comportamiento como de onda, el físico austriaco Erwin Schrödinger teorizó que el comportamiento de los electrones dentro de los átomos se podía explicar al tratarlos matemáticamente como ondas de materia. Este modelo, que es la base del entendimiento moderno del átomo, se conoce como el modelo mecánico cuántico o de las ondas mecánicas.
El hecho de que solo haya ciertos estados o energías permitidas que un electrón puede tener es similar a una onda estacionaria. Discutiremos de forma breve algunas propiedades de las ondas estacionarias para obtener una mejor idea de las ondas de materia electrónicas.
Probablemente ya estés familiarizado con las ondas estacionarias de los instrumentos musicales de cuerda. Por ejemplo, cuando se jala una cuerda en una guitarra, la cuerda vibra en la forma de una onda estacionaria como la que se muestra a continuación.
Animación de una onda estacionaria que muestra dos longitudes de onda de una onda. Los nodos, que tienen la misma amplitud en todo momento, están marcados con puntos rojos. Hay cinco nodos.
Una onda estacionaria. Crédito de la imagen: de Wikimedia Commons, dominio público
Observa que hay puntos de cero desplazamiento, o nodos, que ocurren a lo largo de la onda estacionaria. Los nodos están marcados con puntos rojos. Como la cuerda en la animación está fija en ambos extremos, esto lleva a la limitación de que solo ciertas longitudes de onda están permitidas para cualquier onda estacionaria. Como resultado, las vibraciones están cuantizadas.

La ecuación de Schrödinger

Podrías preguntar ¿cómo se relacionan las ondas estacionarias con los electrones?
En un nivel muy simple, podemos pensar en los electrones como ondas estacionarias de materia que tienen ciertas energías permitidas. Schrödinger formuló un modelo del átomo que suponía que los electrones podían ser tratados como ondas de materia. A pesar de que no veremos las matemáticas en este artículo, la forma básica de la ecuación de onda de Schrödinger es así:
H^ψ=Eψ
ψ se llama una función de onda; H^ es conocido como el operador hamiltoniano; y E es la energía de enlace del electrón. Resolver la ecuación de Schrödinger da varias funciones de onda como soluciones, cada una con un valor permitido para E.
Una onda estacionaria que forma un círculo, con la longitud de onda etiquetada como la distancia entre dos puntos adjacentes de amplitud máxima. Abajo, un ejemplo de en dónde la longitud de onda no se ajusta al radio del círculo de tal forma que las ondas se traslapan en un lado del círculo como un ejemplo de interferencia destructiva.
En la onda estacionaria, arriba, caben exactamente cinco longitudes de onda completas en el círculo. Cuando la circunferencia del círculo no permite un número entero de longitudes de onda, abajo, la interferencia destructiva da como resultado la cancelación de la onda.
Interpretar exactamente lo que nos dicen las funciones de onda es un poco complicado. Debido al principio de incertidumbre de Heisenberg, es imposible saber tanto la posición como la energía de un electrón dado. Como se necesita conocer la energía de un electrón para predecir la reactividad química de un átomo, los químicos generalmente aceptan que solo podemos aproximar la ubicación del electrón.
¿Cómo hacen los químicos para aproximar la ubicación del electrón? Las funciones de onda que se obtienen de la ecuación de Schrödinger para un átomo específico también se llaman orbitales atómicos. Los químicos definen un orbital atómico como la región dentro de un átomo que envuelve donde es probable que se encuentre el electrón el 90% del tiempo. En la siguiente sección, discutiremos cómo se determinan las probabilidades electrónicas.

Orbitales y densidad de probabilidad

El valor de la función de onda ψ en un punto dado en el espacio —x,y,z— es proporcional a la amplitud de la onda de materia del electrón en ese punto. Sin embargo, muchas funciones de onda son funciones complejas que contienen i=−1, y la amplitud de la onda de materia no tiene significado físico real.
Afortunadamente, el cuadrado de una función de onda, ψ2, es un poco más útil. Esto es porque el cuadrado de una función de onda es proporcional a la probabilidad de encontrar un electrón en un volumen de espacio en particular dentro del átomo. La función ψ2 a menudo se llama la densidad de probabilidad.
La densidad de probabilidad para un electrón se puede visualizar en diferentes formas. Por ejemplo, ψ2 se puede representar por una gráfica en la que la variación de la intensidad del color se usa para mostrar las probabilidades relativas de encontrar un electrón en una región dada en el espacio. Entre más grande sea la probabilidad de encontrar un electrón en un volumen en particular, más alta será la densidad de color en esa región. La imagen siguiente muestra las distribuciones de probabilidad para los orbitales esféricos 1s, 2s y 3s.
Las distribuciones de probabilidad para los orbitales 1s, 2s y 3s. Mayor intensidad de color indica las regiones en las que hay mayor probabilidad de que los electrones existan. Los nodos indican las regiones en las que un electrón tiene cero probabilidad de encontrarse. Crédito de la imagen: UCDavis Chemwiki, CC BY-NC-SA 3.0 US
Observa que los orbitales 2s y 3s contienen nodos, es decir, regiones en las que el electrón tiene una probabilidad de 0% de ser encontrado. La existencia de nodos es análogo a las ondas estacionarias que discutimos en la sección anterior. Los colores alternantes en los orbitales 2s y 3s representan regiones del orbital con diferentes fases, lo cual es una consideración importante en el enlace químico.
Otra forma de representar las probabilidades de los electrones en los orbitales es graficando la densidad superficial como una función de la distancia desde el núcleo, r.
Una gráfica de probabilidad radial que muestra una probabilidad superficial ψ2r2 contra r. Los electrones que ocupan orbitales de más alta energia tiene mayores posibilidades de encontrarse más lejos del núcleo. Crédito de la imagen: UC Davis Chemwiki, CC BY-NC-SA 3.0 US
La densidad superficial es la probabilidad de encontrar el electrón en una capa delgada de radio r. Esto se llama una gráfica de probabilidad radial. A la izquierda está una gráfica de probabilidad radial para los orbitales 1s, 2s y 3s. Observa que a medida que el nivel de energía del orbital se incrementa de 1s a 2s a 3s, la probabilidad de encontrar un electrón más lejos del núcleo se incrementa también.

Formas de los orbitales atómicos

Hasta ahora hemos estado examinando orbitales s, los cuales son esféricos. Así que la distancia desde el núcleo, r, es el factor principal que afecta la distribución de probabilidad de un electrón. Sin embargo, para otros tipos de orbitales como p,d y f, la posición angular del electrón relativa al núcleo también se vuelve un factor en la densidad de probabilidad. Esto lleva a formas orbitales más interesantes, como las de la siguiente imagen.
Esquema que muestra las formas generales de los orbitales s, p, d y f. Crédito de la imagen: UCDavis Chemwiki, CC BY-NC-SA 3.0 US
Los orbitales p tienen forma como de mancuernas orientadas a lo largo de uno de los ejes x,y,z. Los orbitales d se pueden describir como tener un trébol con cuatro posibles orientaciones, con la excepción del orbital d que casi se parece a un orbital p con una dona a su alrededor en la mitad. ¡Ni siquiera vale la pena intentar describir los orbitales f!

Espín del electrón: el experimento Stern-Gerlach

El último fenómeno cuántico que discutiremos es el del espín del electrón. En 1922, el físico alemán Otto Stern y Walther Gerlach hipotetizaron que los electrones se comportan como pequeñas barras magnéticas, cada una con un polo norte y sur. Para probar esta teoría, dispararon un haz de átomos de plata entre los polos de un magneto permanente con un polos fuertes norte y sur.
De acuerdo con la física clásica, la orientación de un dipolo en un campo magnético externo debería determinar la dirección en la que el haz se desvía. Como una barra magnética puede tener un rango de orientaciones relativas al campo magnético externo, ellos esperaban ver átomos siendo desviados en diferentes cantidades para dar una distribución de dispersión. En lugar de eso, Stern y Gerlach observaron que los átomos se dividían claramente entre los polos norte y sur. ¡Observa el siguiente video sorprendente para ver la hipótesis en acción!
Estos resultados experimentales revelaron que a diferencia de las barras magnéticas corrientes, los electrones solo podían mostrar dos orientaciones: con el campo magnético o contra él. Este fenómeno, en el que los electrones pueden existir en uno de solo dos estados magnéticos, ¡no se podía explicar usando física clásica! Los científicos se refirieron a esta propiedad de los electrones como el espín del electrón: cualquier electrón dado tiene espín arriba o espín abajo. A veces representamos el espín del electrón como flechas que apuntan hacia arriba, ↑, o hacia abajo, ↓.
Una consecuencia del espín del electrón es que un máximo de dos electrones puede ocupar cualquier orbital dado, y los dos electrones que ocupan el mismo orbital deben tener espín opuesto. Esto también se llama el principio de exclusión de Pauli.

Resumen

  • Louis de Broglie propuso que todas las partículas podrían ser tratadas como ondas de materia con una longitud de onda λ, dada por la siguiente ecuación:
λ=hmv
  • Erwin Schrödinger propuso el modelo mecánico cuántico del átomo, el cual trata a los electrones como ondas de materia.
  • La ecuación de Schrödinger, H^ψ=Eψ, se puede resolver para obtener una serie de funciones de onda ψ, cada una de las cuales está asociada con una energía de enlace electrónica, E.
  • El cuadrado de la función de onda, ψ2, representa la probabilidad de encontrar un electrón en una región dada dentro del átomo.
  • Un orbital atómico está definido como la región dentro de un átomo que encierra donde posiblemente esté el electrón el 90% del tiempo.
  • El principio de incertidumbre de Heisenberg afirma que no podemos conocer tanto la energía como la posición de un electrón. Por lo tanto, a medida que sabemos con mayor precisión la posición del electrón, sabemos menos sobre su energía, y viceversa.
  • Los electrones tienen una propiedad intrínseca llamada espín, y un electrón puede tener uno de dos posibles valores de espín: espín arriba o espín abajo.
  • Cualesquiera dos electrones que ocupen el mismo orbital deben tener espines opuestos.

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