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Contenido principal

Dilatación de tiempo

Vamos a empezar a pensar en la dilatación de tiempo en la relatividad especial y en cómo un diagrama de Loedel puede ayudarnos a apreciar la simetría entre los marcos de referencia inerciales.

Transcripción del video

retomemos la situación que hemos estado viendo ya en varios vídeos especialmente en el último video en donde buscábamos este marco de referencia neutral verdad y de hecho podríamos retomar todo el problema teníamos digamos el observador que se encuentra en esta nave espacial a verdad bert y teníamos que se encuentra en un marco de referencia inercial muy bien y además supusimos que al tiempo de igual a cero entonces teníamos un personaje ve que se movía justamente 0.8 veces la velocidad de la luz muy bien y justo pasaba el tiempo cero por encima de nosotros verdad y allá y nosotros ya sabemos ver los diagramas encimados verdad donde podemos ver estos ejes oblicuos verdad y si queremos por ejemplo fijarnos en el cambio en el tiempo por ejemplo vamos a comparar estos eventos vamos a comparar estos eventos digamos que vamos a comparar este primer evento en el origen y un evento que se encuentre digamos al variar 7 muy bien entonces vamos a poner aquí ahora sí vamos a ver aquí un cambio muy bien entonces ahí tenemos el camión se te gustó este evento que tenemos en el origen es cuando la nave pasa por arriba de nosotros verdad y podemos ver que nuestro marco de referencia ocurre digamos en exactamente el mismo lugar espacial verdad en realidad lo único que está cambiando es el tiempo pero si nos preguntamos cuánto tiempo se para estos eventos verdad desde el punto de vista ahora debe lo que tenemos que hacer es trazar esta línea paralela al eje en este caso x prima verdad trazamos una línea paralela al eje x prima y entonces donde intersecta ahí podemos medir verdad ahí podemos o más bien podríamos ver cuál sería el cambio en sete prima muy bien ahí podríamos ver el cambio en 7 prima y en principio en principio parece más largo verdad pero recordemos que hasta este momento mostrado cuáles son las escalas de todo esto y de hecho las escalas cambian dependiendo de las velocidades relativas muy bien pero podríamos ver algebraica mente que justamente el cambio en sete prima es más grande que el cambio en sete muy bien y para hacer para ver esto usaremos las transformaciones de lorentz entonces vamos a calcular el cambio en 7 prima esto será igual a gamma nuestro factor de lawrence que multiplica al cambio en 7 menos beta veces el cambio x muy bien entonces esta estas transformaciones ya las hemos visto en otros vídeos pero aquí si observamos cuál es el cambio en x el cambio en x en este caso es 0 así que este término no no no aparece verdad en realidad todo esto es estacionario en nuestro marco de referencia así que podríamos concluir que el cambio en 7 prima será igual a gamma que multiplica al cambio en 7 entonces lo único que necesitamos ver es más o menos quienes gamma en este caso gamma será igual a 1 sobre la raíz cuadrada de 1 menos la velocidad relativa que en este caso es 0.8 veces c dividido sobre si todo esto elevado al cuadrado verdad pero en este caso las s se cancelan y lo que obtenemos es dividido entre la raíz vamos a hacerlo digamos mentalmente tendremos la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado de 0.8 pero el cuadrado de 0.8 es 0.64 verdad y si a uno le restamos 0.64 tendremos 0.36 y si sacamos la raíz cuadrada cuadrada de 0.36 tendremos 0.6 verdad y esto 0.6 son 6 decimos verdad 1 entre seis décimos serían 10 sextos podemos sacar mitad verdad y tendremos 5 tercios 5 tercios son 11 un entero y dos tercios muy bien entonces puedes ver justamente que el cambio en 7 prima será uno y dos tercios eso multiplicando al cambio de verdad y uno podría decir que esta distancia esta distancia que tenemos aquí es un entero dos tercios del cambio en siete de verdad y aunque parece eso por el dibujo en realidad no podemos digamos como como tomar una regla calcular la longitud de ambos verdad por esto que las está las escalas en principio son distintas pero ahora pensemos qué es lo que ocurre desde el otro marco de referencia así que tomemos otro evento vamos a tomar otro evento digamos con este color de aquí sale entonces tomemos este otro evento de aquí que ahora tenga un cambio 7 prima bien tenemos en ese evento de ahí que tiene un cambio en 7 prima con respecto al origen muy bien y entonces otra vez qué pasa si queremos observar cuál es el cambio en ct bueno pues tendremos que trazar una recta paralela al eje x y ver dónde intercepta al eje 7 en este caso sería aquí verdad y el cambio en 7 tendría que ser esto el cambio en y en principio otra vez parece más largo pero en realidad lo podemos ver claramente si lo hacemos con álgebra verdad entonces el cambio en sete será igual a gamma veces el cambio en sete prima menos beta veces el cambio en x prima verdad en este caso otra vez el cambio en x prima es 0 verdad es un evento que es estacionario desde el punto de vista de b y entonces esto será igual a gamma que en este caso será igual a un anterior un entero dos tercios verdad será exactamente igual en este caso en este caso será gamma que multiplica al cambio en siete prima así que esta en realidad parece un poco extraño verdad un paso del tiempo en mi marco de referencia digamos con con un movimiento estacionario parece que ese evento toma más tiempo para para ocurrir digamos en el marco de referencia que se está análogamente si tenemos dos eventos estacionarios verdad en el marco de referencia debe resulta ser que el cambio en sete es mayor y por ello para ayudarnos a visualizar lo mucho mejor y de hecho para poner acepte y acepte prima digamos a la misma escala podemos usar el marco de referencia neutral que tenemos justamente aquí entonces vamos a movernos un poquito aquí tenemos un marco de referencia neutral entonces sólo recordemos de cómo es que construimos este marco de referencia neutral aquí teníamos que ver se mueve a una velocidad de 0.8 veces la velocidad de la luz en la dirección positiva del eje horizontal verdad cuando a está en un estado estacionario ahora bien cuando ves se encuentra en un estado estacionario entonces se mueve a menos 0.8 veces la velocidad de la luz pero en dirección negativa del eje horizontal verdad eso era lo que teníamos aquí pero pudimos hacer un marco de referencia donde tanto a como ve que se alejan ambos a una velocidad de 0.5 veces la velocidad de la luz verdad y se alejan de un origen verdad donde nos encontrábamos con este personaje se y lo que es genial de todo esto es que si hacemos el diagrama de espacio-tiempo de minkowski en es en ese marco de referencia neutral entonces los ejes tanto sete como el como el eje se te prima tienen la misma inclinación a la izquierda verdad ya la derecha respectivamente y dado que tienen la misma inclinación entonces la escala relativa a este marco será la misma entonces aquí podríamos poner una marca que corresponde a la misma escala de este lado podríamos poner otra marca aquí que corresponde también a la misma marca oa la misma escala del otro lado verdad de hecho podemos ver que tanto los ejes y prima como xvii prima por ejemplo aquí están pintados verdad tanto los ejes de mi prima como x mi prima también los dibujé en ambos en los otros marcos de referencia o quizás debería decir en los otros diagramas y de hecho se hallan entre los ejes de ambos verdad de ambos marcos de referencia pero si ahora regresamos al marco de referencia neutral muy bien y si nos fijamos en estos dos eventos cuando tenemos el cambio en siete que ya entonces vamos a poner aquí el cambio en siete es que sea justamente esto aquí está el cambio en quizás debería hacerlo un poquito más claro aquí tendremos el cambio en sete muy bien entonces vemos que si ahora nos fijamos en la coordenada ct prima verdad si nos fijamos en la coordenada 7 prima tendremos que estirarlo por un factor de un entero más dos tercios es más o menos estará hasta acá y esto de aquí será el cambio en 7 prima muy bien ahí tenemos el cambio en 7 prima en justamente esta posición lo único que tendríamos que hacer es pintar una línea paralela al eje x prima y ahí justamente donde intersecta tendremos nuestra posición de este evento verdad en este marco de referencia por otro lado si ahora nos fijamos en este otro evento verdad del que habíamos puesto con azul si ahora tenemos justamente digamos esto de aquí va a ser delta se te verdad prima esto será delta se te prima entonces sí sí ahora lo pensamos en el marco de referencia de a siguiendo el eje x verdad siguiendo el eje x vamos a tener que intersecta más o menos hay verdad ahí tenemos que intersecta al eje aléjese de verdad siguiendo al eje x y este sería nuestro cambio en sete verdad pero visto ahora desde el marco de referencia de a y lo que es realmente interesante de todo esto es que desde el marco de referencia de a el evento amarillo ocurre antes de lo que ocurre en el marco de referencia ve en cambio en el marco de referencia debe el evento azul ocurre antes que el evento amarillo verdad así que puedes ver que están ocurriendo cosas realmente fascinantes pero lo que realmente me gusta de este diagrama es que los marcos de referencia de aire tienen la misma escala ya que tienen la misma inclinación con respecto a este eje verdad solo que está uno hacia la izquierda y el otro la derecha y a este tipo de diagrama se le conoce como diagrama de loeb el que este tipo de diagrama es un diagrama de quizás no lo estoy pronunciando bien pero así se escribe déjenme escribirlo correctamente diagrama d diagrama de fuego muy bien y en realidad es una ligera variación del diagrama de minkowski pero nos permite apreciar la simetría entre estos dos marcos de referencia