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Manipular algebraicamente la transformación de Lorentz

Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es que nos familiaricemos algebraica mente con la transformación de lawrence y para que podamos reconocerla en sus distintas formas y poder desarrollar también nuestra intuición para entender cómo se comporta así que vamos a digamos sólo vamos a escribir la transformación del lawrence al menos como a mí me gusta escribirla y recordemos que si estoy en mi marco de referencia en donde acuérdense que que yo me encontraba a la deriva en el espacio entonces voy a llamarle por ahora a ese marco de referencia ese muy bien y en este marco de referencia a ese cualquier evento en el espacio-tiempo desde mi punto de vista tendrá una coordenada x voy a poner va a tener una coordenada x y también va a tener una coordenada 7 que voy a poner en naranja muy bien una coordenada x una coordenada 7 y mediante la transformación de laurents vamos a ir a otro marco de referencia verdad al marco de referencia s prima verdad y este marco de referencia s prima tendrá dos coordenadas también la coordenada x prima y la coordenada prima muy bien entonces vamos a escribir la transformación de lawrence que nos lleva de las coordenadas x y ct a las coordenadas x prima 7 prima muy bien entonces la coordenada x prima se calcula como el producto de nuestra de nuestra de nuestro factor de lawrence verdad que multiplica a x menos menos beta beta voy a poner aquí beta por 7 muy bien ahí tenemos la forma en la que calculamos x prima y recordemos quién es el factor del ourense este factor de lawrence que escribimos con la letra gamma es 1 sobre la raíz cuadrada de 1 - de cuadrada sobre se cuadrada donde b es la velocidad relativa que llevaba mi amiga en su nave espacial verdad y también podremos reescribir esto como 1 entre la raíz cuadrada de 1 - beta cuadrada beta cuadrada y recordemos que beta no es otra cosa más que el cociente de la velocidad relativa entre la velocidad de la luz entonces sigamos escribiendo las perdón las transformaciones de lorentz verdad ahora vamos a escribir 7 prima y esto otra vez se calcula como la con el factor de lawrence perdón el factor de lawrence por 7 - beta beta que multiplica a x verdad que multiplica a x y esta es digamos como ya lo he mencionado a mí me gusta escribir la transforman la transformación de lawrence de esta forma porque al menos para mí me es fácil recordarlo gracias a esta hermosa simetría que posee verdad aquí tenemos x menos beta 7 y aquí simplemente intercambiamos el papel verdad 7 - beta xy por supuesto ambas ambas coordenadas están digamos rescatadas por el factor del lawrence muy bien ahora lo que vamos a hacer es manipularlo para poder entenderlo mejor y ver cómo es equivalente a otras expresiones como como la que probablemente aparezca en tu libro de texto por ejemplo verdad entonces aquí simplemente recordemos que beta beta es la velocidad relativa dividido entre la velocidad de la luz verdad beta es la velocidad relativa entre la velocidad de la luz entonces por ejemplo en este caso en este caso simplemente podríamos cancelar las es verdad aquí está dividiendo aquí multiplicando y entonces qué es lo que obtenemos de este lado obtenemos x prima igual a nuestro factor de lawrence que multiplica a x menos la velocidad relativa es lo que nos queda que multiplica al t verdad y esto es lo que obtenemos para la coordenada x prima y esto es bastante interesante verdad porque salvo gamma que es nuestro nuestro factor de lawrence aquí lo que tenemos es una transformación galileana verdad es lo que nos dice la intuición de la física newtoniana de esta forma por ejemplo si nosotros tomamos la velocidad relativa que sea mucho mucho más pequeña que la velocidad de la luz entonces recordamos que en nuestro factor de lawrence ya lo habíamos mencionado pues realmente se parece mucho a una verdad y por eso es que las transformaciones galileanas sirven para las velocidades digamos que ocupamos en nuestro día a día de verdad sin embargo a medida que la velocidad relativa se va apareciendo cada vez más a la velocidad de la luz entonces gamma crece muchísimo verdad tiende a crecer muchísimo y tenemos un resultado distinto entonces vamos a ver ahora qué es lo que ocurre con la coordenada para 7 prima y aquí lo que podemos hacer es dividir en 13 en todos lados verdad dividimos en 13 de ambos lados verdad y entonces tenemos del lado izquierdo de prima de prima será igual otra vez a el factor de lawrence que multiplica a bueno aquí por supuesto aquí por supuesto podemos cancelar las es aquí justo cancelamos las es y tenemos - v que es la velocidad relativa que multiplica a equis y estamos dividiendo en 13 dos veces verdad entonces estamos dividiendo entre pse cuadrada muy bien entonces aquí tenemos la expresión para t prima y la razón por la que no sé por la que no me gusta esta forma de escribirlo es porque ya no se ve la simetría y recordemos que estábamos hablando de el espacio-tiempo verdad y el espacio-tiempo es un único continuo ya no estamos pensando al espacio como como un digamos una cosa independiente de lo que es el tiempo verdad y aquí justamente ya no se ve la simetría pero veamos vamos a analizar qué es lo que pasa si la velocidad relativa es mucho más chica si la velocidad relativa es mucho más chica que la velocidad de la luz bueno en este caso si la velocidad relativa es mucho más chica que la velocidad de la luz tenemos que gamma prácticamente eso verdad gama sería prácticamente 1 y entonces está digamos lo que tenemos del lado en este segundo sumando prácticamente es 0 verdad prácticamente será 0 y entonces lo que tendremos es que te prima se parece muchísimo a te verdad que también era parte de nuestra transformación galileana de hecho acá podríamos escribir también lo que ocurre para la equis prima cuando la velocidad relativa es mucho más chica que la velocidad de la luz gamma nuestro factor de lawrence prácticamente es 1 y entonces tenemos que x prima se parece mucho a x menos de t y cuando estamos diciendo que la velocidad relativa sea mucho más chica que la velocidad de la luz pues sólo para asentar una idea podríamos incluso pensar en la velocidad de una bala una bala es mucho más lenta que digamos que la luz verdad entonces aquí podríamos ver y es que las transformaciones galileanas son una muy buena aproximación para entender digamos los fenómenos que ocurren en nuestro en nuestra vida cotidiana verdad así que espero que esto te dé mucho más intuición te recomiendo que evalúes todas estas expresiones para para digamos velocidades comunes de la vida cotidiana y observa qué es lo que ocurre cuando la velocidad relativa ve comienza a aproximarse a la velocidad de la luz por ejemplo puedes intentarlo con 0.9 veces la velocidad de la luz luego puedes intentarlo con 0.99 veces la velocidad de la luz y de esta forma puedes ver cómo comienza a cambiar el comportamiento de todo esto