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Manipular algebraicamente la transformación de Lorentz

Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es que nos familiaricemos algebraica mente con la transformación de lawrence y para que podamos reconocer la en sus distintas formas y poder desarrollar también nuestra intuición para entender cómo se comporta así que vamos a digamos sólo vamos a escribir la transformación de lawrence al menos como a mí me gusta escribir la y recordemos que si estoy en mi marco de referencia en donde acuérdense que que yo me encontraba a la deriva en el espacio entonces voy a llamarle por ahora a ese marco de referencia s muy bien y en este marco de referencia s cualquier evento en el espacio tiempo desde mi punto de vista tendrá una coordenada x voy a poner va a tener una coordenada x y también va a tener una coordenada setec que voy a poner en naranja muy bien va a tener una coordenada x una coordenada 7 y mediante la transformación de laurent vamos a ir a otro marco de referencia verdad al marco de referencia s prima verdad y este marco de referencia s prima tendrá dos coordenadas también la coordenada x prima y la coordenada ct prima muy bien entonces vamos a escribir la transformación de lawrence que nos lleva de las coordenadas x y ct a las coordenadas x prima 7 prima muy bien entonces la coordenada x prima se calcula como el producto de nuestra de nuestra fe nuestro factor de lawrence verdad que multiplica a x - - beta beta voy a poner aquí beta por cp sé muy bien ahí tenemos la forma en la que calculamos x priva y recordemos quiénes el factor del ourense este factor de lawrence que escribimos con la letra gama es uno sobre la raíz cuadrada de 1 - de cuadrada sobre se cuadra donde ve es la velocidad relativa que llevaba a mi amiga en su nave espacial verdad o también podremos escribir esto como uno entre la raíz cuadrada de 1 - b está cuadrada beta cuadrada y recordemos que veta no es otra cosa más que el cociente de la velocidad relativa entre la velocidad de la luz entonces sigamos escribiendo las cortes las perdonas transformaciones de lawrence verdad ahora vamos a escribir se te prima y esto otra vez se calcula como la comes el factor de lawrence perdón la el el factor de lawrence por 77 - beta beta que multiplica a x verdad que multiplica a x y ésta es digamos y como ya lo han mencionado a mí me gusta escribir la transforman la transformación de lawrence de esta forma porque al menos para mí me es fácil recordarlo gracias a esta hermosa simetría que que posee verdad aquí tenemos x - beta 7 y aquí simplemente intercambiamos el papel verdad 7 - beta x y por supuesto ambas ambas coordenadas están digamos rescatadas por el factor del lawrence muy bien ahora lo que vamos a hacer es manipularlo para poder entenderlo mejor y ver cómo es equivalente a otras expresiones como como la que probablemente aparezca en tu libro de texto por ejemplo verdad entonces aquí simplemente recordemos que veta beta es la velocidad relativa dividido entre la velocidad de la luz la meta es la velocidad relativa entre la velocidad de la luz entonces por ejemplo en este caso en este caso simplemente podríamos cancelarlas es verdad aquí está dividiendo aquí multiplicando y entonces qué es lo que obtenemos de este lado obtenemos x prima igual a nuestro factor de lawrence que multiplica a x - la velocidad relativa es lo que nos queda que multiplica al atp verdad y esto es lo que obtenemos para la coordenada x prima y esto es bastante interesante verdad porque salvo gama que es nuestro nuestro factor de lawrence aquí lo que tenemos es una transformación galileana verdad es lo que nos dice la intuición de la física newtoniana de esta forma por ejemplo si nosotros tomamos la velocidad relativa que sea mucho mucho más pequeña que la velocidad de la luz entonces recordamos que nuestro factor de laurent ya lo habíamos mencionado pues realmente se parece mucho a 1 verdad y por eso es que las transformaciones galileanas sirven para las velocidades digamos que ocupamos en nuestro día a día verdad sin embargo a medida que la velocidad relativa se va pareciendo cada vez más a la velocidad de la luz entonces gama crece muchísimo verdad tiende a crecer muchísimo y tenemos un resultado distinto entonces vamos a ver ahora qué es lo que ocurre con la coordenada para sete prima y aquí lo que podemos hacer es dividir en 13 en todos lados verdad dividimos en 13 de ambos lados verdad y entonces tenemos del lado izquierdo te prima de prima será igual otra vez a él factor de lawrence que multiplica ah bueno aquí por supuesto aquí por supuesto podemos cancelar la csac y justo cancelamos la ces y tenemos de - v que la velocidad relativa que multiplica ax y estamos dividiendo en 13 2 veces verdad entonces estamos dividiendo entre se cuadra da muy bien entonces aquí tenemos la expresión parate prima y la razón por la que no se por la que no me gusta esta forma de escribirlo es porque ya no se ve la simetría y recordemos que estábamos hablando del espacio-tiempo gradín y y el espacio tiempo es un único continuo ya no estamos pensando al espacio como como un digamos una cosa independiente de lo que es el tiempo verdad y aquí justamente ya no se ve la simetría pero veamos vamos a analizar qué es lo que pasa si la velocidad relativa es mucho más chica si la velocidad relativa es mucho más chica que la velocidad de la luz bueno en este caso si la velocidad relativa es mucho más chica que la velocidad de la luz tenemos que gama prácticamente y es una verdad gama sería prácticamente uno y entonces ésta es digamos lo que tenemos del lado en este segundo sumando prácticamente es cero verdad prácticamente será cero y entonces lo que tendremos es que deprima se parece muchísimo a 'the verdad que también era parte de nuestra transformación galileana de hecho acá podríamos escribir también lo que ocurre para la x prima cuando la velocidad relativa es mucho más chica que la velocidad de la luz gamma nuestro factor de lawrence prácticamente es uno y entonces tenemos que x prima se parece mucho a x menos y cuando estamos diciendo que la velocidad relativa sea mucho más chica que la velocidad de la luz pues sólo para asentar una idea podríamos incluso pensar en la velocidad de una bala una bala es mucho más lenta que digamos que la luz verdad entonces aquí podríamos ver porque es que las transformaciones galileanas son una muy buena aproximación para entender digamos los fenómenos que ocurren en nuestro en nuestra vida cotidiana verdad así que espero que esto te dé mucho más intuición te recomiendo que evalúes todas estas expresiones para para digamos velocidades comunes de la vida cotidiana y observa que es lo que ocurre cuando la velocidad relativa de comienza a aproximarse a la velocidad de la luz por ejemplo puedes intentarlo con 0.9 veces la velocidad de la luz luego puedes intentarlo con 0.99 veces la velocidad de la luz y de esta forma puedes ver cómo comienza a cambiar el comportamiento de todo esto