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Derivar la transformación de Lorentz (parte 2)

Transcripción del video

en el último vídeo nos quedamos tratando de descubrir quién es gamma verdad y obtuvimos esta última ecuación y teníamos la idea de tomar un evento particular que correspondía a una señal luminosa verdad en cuyo caso x era igual a 7 para las coordenadas de ese evento pero también tendríamos que x prima es igual a 7 prima verdad y si gama era el mismo en el mismo factor verdad para cualquier transformación entre eventos en particular debe funcionar para este evento verdad donde x es igual a cto x prima es igual a 7 prima y quizás podríamos utilizar esto sustituirlo en esta ecuación y encontrar el valor de gamma así que vamos a sustituir x por 7 vamos a sustituir x por 7 y también x prima por 7 prima muy bien así que vamos a hacerlo entonces podemos ver que aquí en vez de esta x podríamos poner 7 en lugar de este x podríamos poner 7 y en lugar de esta x podríamos poner 7 ahora en lugar de este x prima podríamos poner 7 prima en lugar de este x prima sería 7 prima y en lugar de esta x prima ponemos 7 prima veamos qué es lo que obtenemos bueno aquí tenemos c por c que es sé cuadrada y esto x de prima de prima y esto a quien será igual esto será igual a gama cuadrada nuestro factor de lawrence verdad que multiplica se por sea quien se cuadrada se cuadrada que multiplica te deprimas t y t prima muy bien más aquí tenemos se porte por bt prima sería se porte por bt prima y luego tendríamos menos ce que multiplica a t por bt prima verdad aquí tendríamos esta vez y luego te prime entonces tenemos de aquí estate y luego ve de prima de de prima y voy a cambiar el color aquí para que compares bien con el sumando anterior y finalmente tenemos menos b cuadrada que multiplica y multiplica a t prima muy bien y cerramos nuestro paréntesis entonces lo que podemos observar aquí es que este sumando es exactamente el mismo que este otro pero tienen signos contrarios eso significa que podemos cancelar los verdad ahora bien de los sumandos que nos quedan todos los sumandos tienen la digamos el factor t t prima cierto entonces podemos dividir de ambos lados entre t t prima y esto se cancela para este sumando de este factor se cancela y este otro factor también se cancela verdad entonces qué es lo que obtenemos del lado izquierdo tendremos se cuadrada voy a seguir aquí verdad se cuadrada es igual gama cuadrada gama cuadrada que multiplica a se cuadrada se cuadrada esto se han cancelado y luego tenemos menos de cuadrada menos b cuadrada y cerramos nuestro paréntesis verdad de aquí simplemente podríamos despejar gama cuadrada verdad entonces gama cuadrada digamos ya pasándolo de este lado sería igual a se cuadrada sería igual si ya lo voy a hacer sólo con un color muy bien entonces sería se cuadrada y pasamos está dividiendo se cuadrada menos de cuadrada o en otras palabras si por ejemplo dividimos entre pse cuadrada en el numerador y en el dom denominador aquí nos queda uno aquí tendríamos uno menos de cuadrada sobre se cuadrada muy bien entonces ya con esto incluso podríamos dejar que suenen los redobles porque podríamos calcular explícitamente quien es nuestro factor verdad gama simplemente hay que obtener la raíz cuadrada verdad de esta expresión que tenemos del lado derecho y tenemos raíz cuadrada de 1 es uno dividiendo a la raíz cuadrada de uno menos b cuadrada sobre c cuadrada muy bien así que ahí tenemos el valor de gamma del factor de lawrence así que espero que todo esto te haya resultado convincente pues pues de todo lo que hicimos fue pensar en la asimetría que había entre estos marcos de referencia verdad en realidad tomamos la transformación galileana verdad partimos de la transformación galileana y luego la escalamos con un factor gamma y luego lo hicimos también para el otro marco de referencia verdad y además usamos el hecho fundamental de la relatividad especial de que la velocidad de la luz es absoluta en cualquiera de los marcos de referencia verdad entonces lo que hicimos fue sustituir estas expresiones verdad y pudimos resolver quién a gama ahora algunos de ustedes estarán preguntando qué es lo que ha pasado con digamos la parte de la transformación de lawrence correspondiente para ti y te prima si solo hemos en realidad ha hablado de las coordenadas xy x prima verdad entonces ese detalle te dejaré a ti que lo pienses y que trates de hacerlo y te daré una pista de cómo hacerlo solo es que será un poco más algebraico que lo que hemos hecho hasta ahora así que de cualquier forma lo haremos en el próximo vídeo