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Evaluación de una transformación de Lorentz

Transcripción del video

vamos a rascar le un poco más al tema de las transformaciones de lorentz y en particular vamos a poner algunos números aquí para que nos familiaricemos con su manipulación y ya luego vamos a poder tener más intuición sobre cómo se comportan estas transformaciones así que vamos a suponer como siempre que la velocidad de la nave de mi amiga es la mitad de la velocidad de la luz verdad entonces aquí la velocidad relativa de mi amiga será 0.5 por la velocidad de la luz verdad y por supuesto se está moviendo en la dirección positiva del eje x verdad entonces aquí tenemos los diagramas de espacio-tiempo verdad y vemos que en efecto coinciden en el origen muy bien así que fijémonos ahora en este evento este evento que que ya habíamos incluso trabajado en vídeos pasados verdad y que vamos a suponer que en mi marco de referencia tengan las siguientes coordenadas vamos a suponer por ejemplo que la coordenada x un metro verdad vamos a suponer que la coordenada x sea un metro y vamos a suponer que la coordenada 7 también sea un metro y de hecho ya hemos ya hemos dicho verdad que podemos pensar esto como un metro luz es decir el tiempo que tarda la luz en recorrer un metro verdad entonces aquí este evento tendrá las coordenadas 1,1 verdad ahora con base en esto trata de pensar cuáles serían las coordenadas en el otro marco de referencia en x prima y 7 prima verdad que sería el marco de referencia de mi amiga verdad entonces te invito a que hagas una pausa y trates de deducir cuál sería el valor de estos en términos de las transformaciones de lawrence por supuesto tendrás que calcular el factor de lawrence este esta variable beta verdad y sustituir entonces suponiendo que ya hiciste esto tú solito vamos a tratar de hacerlo ahora todos juntos y primero vamos a calcular el valor de beta muy bien entonces beta beta por como lo definimos sería la velocidad relativa dividida entre la velocidad de la luz pero la velocidad relativa es 0.5 c y la velocidad de la luz es justamente ser verdad entonces uno puede pensar a beta como como la fracción de la velocidad de la luz a la que viaja la persona en mi marco de referencia verdad esa sería una interpretación de beta entonces aquí nuestras constantes de verdad la velocidad de la luz se cancelan y simplemente nos queda que beta es 0.5 muy bien entonces ahora con esto ya podemos calcular el factor de lawrence es decir la variable gamma verdad gamma simplemente sería 1 dividido entre a raíz cuadrada de 1 - beta cuadrada que en este caso es 0.5 al cuadrado y que si nosotros sustituimos esto sería simplemente 1 sobre la raíz cuadrada de uno menos 0.5 al cuadrado pero 0.5 al cuadrado es 0.25 y uno menos 0.25 sería 0.75 muy bien entonces vamos a tratar de calcular este valor así que vamos a sacar la calculadora entonces tendremos 0.75 vamos a obtener la raíz cuadrada es 0.86 62 y un montón de números más y ahora vamos a obtener el recíproco muy bien el recíproco de eso es 1 punto vamos vamos a dejarlo simplemente como 1.15 muy bien entonces esto es el factor de laurent es aproximadamente 1 punto muy bien ahí tenemos el factor del ourense entonces ahora con esto ya podemos calcular la coordenada x prima y la coordenada 7 prima verdad entonces x prima será igual al factor de lawrence que es 1 1.15 1.15 multiplica a la coordenada 7 perdón es la coordenada xy estaba yendo al otro es uno menos beta que en este caso es 0.5 que multiplica a la coordenada 7 verdad por la coordenada 7 es uno muy bien ahí tenemos cómo calcular x prima y ahora para calcular 7 prima esto será nuevamente el factor de lawrence el factor de laurent que es 1.15 que multiplica a ahora sí 7 que es uno menos la beta que es 0.5 que multiplica a x que en este caso es 1 entonces aquí puedes observar muy en la simetría que tenemos verdad entonces 1 menos 0.5 en este caso será 0.5 verdad esto es 0.5 y 1 menos 0.5 también será 0.5 entonces si nos damos cuenta ambas coordenadas simplemente se van a calcular al multiplicar 1.15 por 0.5 0.5 verdad entonces vamos a ver esto a que es aproximadamente verdad todo esto todo esto es aproximado verdad porque el valor de gamma lo estamos aproximando muy bien entonces aquí tenemos ya el valor del factor de lawrence y simplemente lo que tenemos que hacer es multiplicar por 0.5 y eso nos da 0.5 o 77 vamos a redondear lo como 0.58 entonces tanto x prima como 7 prima es 0.58 punto 58 es decir si nos regresamos aquí a nuestro diagrama de espacio-tiempo nuestra coordenada equis prima será será aproximadamente aproximadamente 0.58 y la coordenada act prima también será aproximadamente 0.58 y recordemos que todo esto está dado en metros verdad aquí son metros y acá también son metros muy bien entonces si si regresamos y garza a mi dibujo en donde yo estaba a la deriva en el espacio verdad recordemos que yo tenía aquí una linterna desde el cual disparaba yo un fotón en de igual a cero en el tiempo te igual a cero y en y en el lugar x igual a cero entonces disparamos el fotón de mi linterna y nosotros podemos dibujar su trayectoria en el diagrama de espacio-tiempo verdad básicamente será esta recta que tiene un ángulo de 45 grados respecto al eje verdad entonces ya ya ya que tenemos eso ahora podemos ver cuáles son las coordenadas de ese mismo punto pero en el marco de referencia de mi amiga verdad entonces en realidad cuando yo digo que el fotón ha recorrido un metro y un metro luz de tiempo verdad digamos ha pasado digamos un metro luz de tiempo entonces desde el marco de referencia de mi amiga da ella podría decir no no no no no eso eso no ocurre en realidad eso ocurre a 0.58 metros luz desde que pasó sobre de mi verdad y además ocurrió a 0.58 metros en la dirección positiva del eje x verdad así que está ocurriendo algo muy pero muy interesante y te invito a que pienses sobre lo que realmente está pasando en estas distintas partes de las transformaciones de lawrence todo esto es bastante interesante pero pero pensemos que ocurre por ejemplo con el factor de lawrence por ejemplo qué pasaría si la velocidad relativa es muy muy pequeña es decir si esta velocidad es casi cero bueno pues podríamos ver que beta en efecto también sería casi cero verdad y entonces el factor de lawrence sería aproximadamente 1 verdad cuando la velocidad relativa es muy pequeña por otro lado qué pasaría si la velocidad relativa va aumentando hasta aproximarse a la velocidad de la luz bueno pues entonces beta se haría muy muy parecido digamos a 1 y entonces gamma se haría muy muy muy pero muy grande verdad porque el denominador sería algo parecido a 1 - algo parecido a 1 verdad sería algo como 1 entre 0 verdad más o menos en realidad está ocurriendo que el denominador se hace cada vez más chico verdad y si el denominador se hace cada vez más chico entonces el factor se hace cada vez más grande verdad de hecho si la velocidad relativa fuera exactamente igual a la velocidad de la luz entonces uno estaría dividiendo entre cero y todas cosas sin sentido comienzan a ocurrir y realmente te invito a que pruebes con más números aquí por ejemplo hablamos de una de una velocidad muy grande estamos hablando de la mitad de la velocidad de la luz así que podrías probar por ejemplo con cosas más mundanas como como la velocidad de una bala ahora en el siguiente vídeo voy a manipular algebraica mente todo esto para que puedas relacionar lo que hemos visto con lo que viene en tu libro de texto o quizás en otras referencias