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Introducción a la transformación de Lorentz

Transcripción del video

ya hemos sido capaces de explorar muchísimo a partir de nuestro pequeño experimento mental verdad donde donde yo me encontraba a la deriva aquí estoy yo y me encuentro a la deriva en el espacio verdad así que en este caso yo sería el origen de mi propio marco de referencia y justo al tiempo de igual a cero tengo una amiga que pasa justo sobre de mí en una nave espacial ahora debería dibujar mejor esta nave espacial justo al tiempo de igual a cero pasa por encima de mi verdad y esta nave espacial lleva a una velocidad ve muy bien y va en digamos en la dirección positiva del eje x en donde por supuesto por simplicidad para todos estos vídeos sólo nos estamos fijando en una dimensión verdad en una dimensión digamos espacial y pensamos justamente en el acertijo de los vídeos anteriores donde había que pensar cómo hacerle para que la velocidad de la luz sea siempre la misma en cada marco de referencia para lograrlo necesitamos reconsiderar la idea del espacio-tiempo la idea del espacio-tiempo y que de hecho lo estoy diciendo bastante rápido porque tiene que quedarse clara la idea de que a diferencia de la idea intuitiva en donde digamos pensamos al espacio y al tiempo como como cosas independientes en realidad cuando hablamos del espacio-tiempo en realidad estamos pensando en un solo continuo y cuando empezamos a hacer diagramas de espacio-tiempo nos dimos cuenta de que para que para que la velocidad de la luz fuera absoluta entonces el tiempo y el espacio no pueden ser absolutos ni tampoco pueden ser independientes como nosotros creíamos y así es como construimos estos diagramas de espacio-tiempo de minkowski verdad para cada uno de nuestros marcos de referencia así que por ejemplo para mí estoy representando el marco de referencia en blanco verdad este sería mi propio marco de referencia mientras que en azul estoy pintando el marco de referencia de mi amiga verdad este sería el marco de referencia de mi amiga y está pintado en azul verdad entonces aquí los los ángulos verdad estos ángulos que puedo pintar aquí son serán dependientes de la velocidad relativa que lleve mi amiga en su en su nave espacial verdad va a ser dependiente de la velocidad relativa que lleve a mi marco con respecto a mi marco de referencia muy bien entonces de hecho estos ángulos se pueden calcular explícitamente el ángulo alfa este ángulo será la tangente inversa o el arco tangente de la velocidad relativa de mi amiga dividido entre la velocidad de la luz muy bien y de hecho este ángulo que tenemos aquí también será alfa que es tangente inversa de la velocidad relativa dividida entre la velocidad de la luz entonces mientras más rápido tienda digamos tienda mi amiga a moverse en esa nave espacial estas dos rectas tenderán a irse a apachurra no digamos o van a tratar de colapsar en la recta que tiene un ángulo de 45 grados muy bien entonces todo esto ha resultado ser bastante interesante pero algunos de ustedes quizás quieran quieran ver un ejemplo digamos con números tangibles verdad así que vamos a vamos a pensar en este ejemplo en este digamos en este evento que se encuentra en el diagrama de espacio-tiempo verdad y vamos a encontrar sus coordenadas verdad entonces por ejemplo si quisiéramos encontrar las coordenadas de este punto con respecto a mi marco de referencia lo único que tenemos que hacer es trazar una recta vertical verdad ver dónde intersecta a nuestro eje blanco y eso sería la coordenada x verdad mientras que trazamos una recta horizontal para saber su coordenada sete verdad aquí estaría la coordenada x muy bien entonces en realidad nosotros ya vimos en un vídeo anterior por qué esto es así verdad desde tal suerte que el la coordenada 7 en realidad se puede medir en metros y que pues si así lo prefieres puedes pensar que son metros luz muy bien ahora si nosotros quisiéramos calcular las coordenadas de este evento en términos del marco de referencia x prima 7 prima tendríamos que trazar rectas paralelas en este caso al eje x prima para encontrar la coordenada 7 prima verdad de este evento y tendríamos que trazar una recta paralela al eje 7 prima verdad para encontrar la coordenada x prima muy bien entonces cómo es que podemos transformar nuestra coordenada x 7 en las coordenadas x prima y 7 prima entonces para hacerlo voy a tener que introducir en este vídeo el concepto de lo que son las transformaciones de lorentz muy bien entonces vamos a hablar de las transformaciones transformaciones de lorentz laurent transformaciones de lawrence entonces en esencia lo que hacen las transformaciones de lawrence es tomar las coordenadas x 7 y convertirlas en las coordenadas x prima 7 prima entonces vamos a ponerlo así las coordenadas x prima es la idea de las transformaciones de lawrence y espero que al menos en este vídeo se ve a un poquito la asimetría que tienen y en realidad puedes verlas digamos escritas de forma distinta dependiendo del libro o la referencia que esté consultando pero vamos a tratar de reconciliar todas esas todas esas asimetrías que podemos observar muy bien entonces vamos a antes de comenzar digamos propiamente con las transformaciones del lawrence vamos a definir lo que es el factor de lawrence en el factor de lawrence lo representamos con la letra griega gamma muy bien y esto simplemente será uno dividido entre la raíz cuadrada de uno menos de cuadrada sobre s cuadrada donde recordemos que b es la velocidad relativa de la nave espacial de mi amiga y se es la velocidad de la luz verdad entonces a veces este este mismo factor de lawrence gamma se escribe como uno dividido entre la raíz d 1 - beta cuadrada yo no se preguntara bueno quien es esta beta quien sería en este caso beta que estoy pintando ahora con este color azul y en realidad beta lo podemos calcular o se define más bien como la velocidad relativa dividida entre la velocidad de la luz y este digamos esta variable beta aparece muchísimo siempre que estemos trabajando en teoría de la relatividad verdad entonces por ejemplo por ejemplo aquí aparece que el ángulo es el la tangente inversa de la velocidad relativa dividida entre la velocidad de la luz entonces esto realmente sería la tangente inversa de beta verdad sería la tangente inversa de beta entonces ahora sí veamos cómo escribir nuestras transformaciones del lawrence entonces lo que vamos a hacer es calcular la coordenada x prima la coordenada x prima en términos de la coordenada x 7 y esa simplemente será gamma que multiplica a x x menos beta - beta por 7 por 7 muy bien eso sería la coordenada x prima y si nosotros queremos calcular ahora la coordenada 7 prima entonces esto será gamma nuevamente que multiplica ahora y aquí es donde viene digamos la parte de la simetría verdad sería 7 menos beta por x muy bien beta por x ésta es estas son las transformaciones de lawrence muy bien entonces en este caso quiero que quiero que aprecies cómo es que estas transformaciones dan cuenta de que el espacio y el tiempo tan son digamos son sólo dos direcciones del mismo continuo verdad y hay hay una linda simetría aquí por ejemplo aquí tenemos la coordenada x y aquí tenemos la coordenada x verdad en este lado también tenemos la coordenada y acá tenemos la coordenada 7 verdad entonces en esencia las transformaciones del orden nos dicen que para calcular la coordenada x prima de un mismo evento en términos de las coordenadas anteriores x 7 primero hay que rescatar por un factor y este factor es el factor de laurent y luego multiplicamos x menos beta por cts verdad gamma multiplica a todo ese número y luego para calcular la coordenada 7 prima tenemos otra vez que escalar digamos con este factor gamma verdad y multiplicamos ahora digamos como intercambiando el papel verdad 7 - beta x hemos intercambiado el papel de 7 y el de equis y esto esto quizás te parezca como si como si estuviéramos hablando en griego y de hecho estamos usando letras griegas pero en el siguiente vídeo voy a usar ciertos números de ejemplo para que veas que calcular dichas transformaciones tan sólo se trata de álgebra elemental