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Introducción a la transformación de Lorentz

Transcripción del video

ya hemos sido capaces de explorar muchísimo a partir de nuestro pequeño experimento mental verdad donde donde yo me encontraba a la deriva aquí estoy yo y me encuentro a la deriva en el espacio verdad así que en este caso yo sería el origen de mi propio marco de referencia y justo al tiempo te iguala 0 tengo una amiga que pasa justo sobre demi en una nave espacial verdad debería dibujar mejor esta nave espacial justo al tiempo te iguala 0 pasa por encima de mi verdad y esta nave espacial lleva a una velocidad ve muy bien y va en digamos en la dirección positiva del eje x en donde por supuesto por simplicidad para todos estos vídeos sólo nos estamos fijando en una dimensión verdad en una dimensión digamos espacial y pensamos justamente en el acertijo de los videos anteriores donde había que pensar cómo hacerle para que la velocidad de la luz sea siempre la misma en cada marco de referencia y para lograrlo necesitamos reconsiderar la idea del espacio tiempo la idea del espacio tiempo y que de hecho lo estoy diciendo bastante rápido porque tiene que quedarse clara la idea de que a diferencia de la idea intuitiva en donde digamos pensamos al espacio y al tiempo como como cosas independientes en realidad cuando hablamos del espacio-tiempo en realidad estamos pensando en un solo continuo y cuando empezamos a hacer diagramas de espacio tiempo nos dimos cuenta de que para que para que la velocidad de la luz fuera absoluta entonces el tiempo y el espacio no pueden ser absolutos ni tampoco pueden ser independientes como nosotros creíamos y así es cómo construimos estos diagramas de espacio tiempo de minkowski verdad para cada uno de nuestros marcos de referencia así que por ejemplo para mí estoy representando el marco de referencia en blanco verdad es que sería mi propio marco de referencia mientras que en azul estoy pintando el marco de referencia de mi amiga verdad es que sería el marco de referencia de mi amiga y está pintado en azul verdad entonces aquí los los ángulos verdad éstos ángulos que puedo pintar aquí son serán dependientes de la velocidad relativa que lleve mi amiga en su en su nave espacial verdad va a ser dependiente de la velocidad relativa que lleve a mí me marcó con respecto a mi marco de referencia muy bien entonces de hecho éstos ángulos se pueden calcular explícitamente el ángulo alfa este ángulo será la tangente inversa o el arco tangente de la velocidad relativa de mi amiga dividido entre la velocidad de la luz muy bien y de hecho este ángulo que tenemos aquí también será alfa que es la tangente inversa de la velocidad relativa dividida entre la velocidad de la luz entonces mientras más rápido tienda digamos tienda mi amiga a moverse en esa nave espacial estas dos rectas tenderán a irse a pak apachurra no digamos o van a tratar de colapsar en la recta que tiene un ángulo de 45 grados muy bien entonces todo esto ha resultado ser bastante interesante pero algunos de ustedes quizás quieran quieran ver un ejemplo en digamos con números tangibles verdad así que íbamos a vamos a pensar en este ejemplo en este digamos en este evento que se encuentra en el diagrama de espacio-tiempo verdad y vamos a encontrar sus coordenadas verdad entonces por ejemplo si quisiéramos encontrar las coordenadas de este punto con respecto a mi marco de referencia lo único que tenemos que hacer es trazar una recta vertical verdad ver dónde interfecta a nuestro eje blanco keys y eso sería la coordenada x verdad mientras que trazamos una recta horizontal para saber su coordenada ct verdad aquí estaría la coordenada x muy bien entonces en realidad nosotros ya vimos en un vídeo anterior porque esto es así verdad de de tal suerte que él la coordenada ct en realidad se puede medir en metros y que pues sí así lo prefieres puedes pensar que son metros luz muy bien ahora si nosotros quisiéramos calcular las coordenadas de este evento en términos del del marco de referencia x prima 7 prima tendríamos que trazar rectas paralelas en este caso al eje x prima para encontrar la coordenada ct prima verdad de este evento y tendríamos que trazar una recta paralela al eje ct prima verdad para encontrar la coordenada x prima muy bien entonces la pregunta es cómo es que podemos transformar nuestra coordenada x icp en las coordenadas x prima y ct prima entonces para hacerlo voy a tener que introducir en este vídeo el concepto de lo que son las transformaciones de lawrence bien entonces vamos a hablar de las transformaciones transformaciones de lawrence lawrence transformaciones de lawrence entonces en esencia lo que hacen las transformaciones del lawrence es tomar las coordenadas x y ct y convertirlas en las coordenadas x prima se deprima entonces vamos a ponerlo así las coordenadas x prima sete prima es la idea de las transformaciones de lawrence y espero que al menos en este video se ve a un poquito la asimetría que tienen y en realidad puedes verlas digamos escritas de forma distinta dependiendo el libro la referencia que éste es consultando pero vamos a tratar de reconciliar todas esas todas esas asimetrías que podemos observar muy bien entonces vamos antes de comenzar digamos propiamente con las transformaciones de lawrence vamos a definir lo que es el factor de lawrence en el factor de lawrence lo representamos con la letra griega gama muy bien y esto simplemente será uno dividido entre la raíz cuadrada de 1 - b cuadrada sobre se cuadra donde recordemos que ve es la velocidad relativa de la nave espacial de mi amiga y se es la velocidad de la luz verdad entonces a veces éste este mismo factor de lawrence gama se escribe como uno dividido entre la raíz de 1 - b está cuadrada y uno se preguntará bueno quién es esta beta quien sería en este caso beta que estoy pintando ahora con este color azul y en realidad beta lo podemos calcular o se define más bien como la velocidad relativa dividida entre la velocidad de la luz y este digamos esta variable beta aparece muchísimo siempre que estemos trabajando en teoría de la relatividad verdad entonces por ejemplo por ejemplo aquí aparece que el ángulo es en la tangente inversa de la velocidad relativa dividida entre la velocidad de la luz entonces esto realmente sería la tangente inversa de beta verdad sería la tangente inversa de beta entonces ahora sí veamos cómo escribir nuestras transformaciones de lawrence entonces la lo que vamos a hacer es calcular la coordenada x prima la coordenada x prima en términos de la coordenada x y ct y esa simplemente será gama que multiplica a x x - beta x - beta por cp por ct muy bien eso sería la coordenada x prima y si nosotros queremos calcular ahora la coordenada ct prima entonces esto será gama nuevamente que multiplica ahora y aquí es donde viene digamos la parte de la simetría verdad sería ct - beta por equis bien beta por equis ésta es estas son las transformaciones de lawrence muy bien entonces en este caso quiero que quiero que aprecies cómo es que estas transformaciones dan cuenta de que el espacio y el tiempo total son digamos son sólo dos direcciones del mismo continúa verdad y ahí hay una linda simetría aquí por ejemplo aquí tenemos la coordenada x y aquí tenemos la coordenada x verdad en este lado también tenemos la coordenada ct y acá tenemos la coordenada set de verdad entonces en esencia las transformaciones de lawrence nos dicen que para calcular la coordenada x prima de un mismo evento en términos de las coordenadas anteriores x7 primero hay que rescatar por un factor y este factor es el factor de lawrence y luego multiplicamos aa x - beta por ct verdad gama multiplica a todo ese número y luego para calcular la coordenada act prima tenemos otra vez que escalar digamos con este factor gama verdad y multiplicamos ahora digamos como intercambiando el papel verdad ct - beta x hemos intercambiado el papel de cc pp y el de x y esto esto quizás te parezca es como si estuviéramos hablando en griego y de hecho estamos usando letras griegas pero en el siguiente vídeo voy a usar ciertos números de ejemplo para que veas que calcular dichas transformaciones tan sólo se trata de álgebra elemental