Derivación de la transformación de Lorentz (parte 1)

en todos nuestros vídeos sobre relatividad especial hemos hablado de nuestro experimento mental donde yo me hallo a la deriva en el espacio verdad y el tiempo t igual a 0 una amiga que se encuentra sobre sobre una nave espacial que por cierto se mueve con dirección positiva en el eje x verdad se mueve con una velocidad v y de hecho dibujamos diagramas de espacio-tiempo para ambos verdad en blanco he dibujado digamos el que corresponde al mío verdad y en azul pintado el de ella y de hecho vimos que el ángulo digamos que forman entre los ejes temporales verdad es igual al ángulo que se forma con los ejes espaciales verdad de hecho tienen que ser los mismos y estos ángulos dependen de qué tan rápido viaja ella algo que quizás has estado pensando en esta serie de vídeos es digamos si yo la percibo a ella viajando a una velocidad ve en dirección positiva entonces desde su punto de vista si ella digamos se ve flotando en el espacio entonces al tiempo t prima igual a cero porque pues en ese momento es cuando coincidimos va en el mismo sitio verdad también entre prima igual a cero entonces ella me verá moverme con velocidad menos ve es decir en la dirección contraria verdad de hecho estos ángulos tendrán que ser los mismos que los que ya había calculado anteriormente pero aquí incluso voy a pintar la alfa al revés para que se entienda que me estoy moviendo en dirección contraria verdad es la dirección que yo llevo ahora lo que quiero hacer en este vídeo es usar esta simetría verdad estas estas dos ideas para que podamos deducir las expresiones de las transformaciones de lawrence y una buena forma de comenzar es con las transformaciones galileanas muy bien entonces vamos a poner digamos como punto de partida la transformación galiana donde x prima se calcula como x menos b t donde ves la velocidad relativa que lleva mi amiga verdad y nosotros sabemos que con estas transformaciones la velocidad de la luz no sería absoluta dejamos de lado la idea de que el espacio y el tiempo son absolutos y podemos poner un factor de escala aquí que voy a llamar gamma muy bien que multiplica a esta expresión verdad y en realidad esto mismo lo podemos hacer pero con esta digamos desde esta perspectiva verdad si yo quisiera calcular la coordenada x en función de las coordenadas de mi amiga verdad de su marco de referencia pues podemos hacer lo mismo tendremos un factor de escala gamma que multiplica x prima menos la velocidad que yo llevo que sería menos de verdad por t prima verdad y bueno así nosotros reescribimos esto digamos de mejor forma esto será igual a gamma que multiplica a x prima más de t prima muy bien ahí tenemos nuestra expresión para x de hecho de hecho la voy a poner justo aquí abajo de la que ya habíamos puesto para x prima esto será gamma que multiplica a x prima más b prima y lo tenemos entonces algo interesante es preguntarnos quién tiene que ser este factor de escala gamma muy bien entonces para poder obtenerlo vamos a hacer aquí algunos trucos algebraicos para poder deducir quién es este factor de escala entonces vamos a multiplicar a x con x prima muy bien si multiplicamos a x con x prima podemos utilizar las expresiones que tenemos del lado derecho verdad y simplemente tendremos que usar la propiedad distributiva para el producto entonces primero vemos que tenemos gamma por gamma y eso nos da gama cuadrada que multiplica a lo siguiente x x x prima verdad aquí sería por equis prima y luego tendremos que sumar x por bt prima entonces sumamos x por de de prima ahora lo que podemos hacer es multiplicar menos 20 x x prima entonces tendremos menos bt que multiplica a x prima y finalmente menos de te va a multiplicar a bt prima verdad entonces esto simplemente sería menos de cuadrada verdad sería menos b cuadrada de x de prima de prima y ahora si podemos poner el paréntesis verdad porque gama cuadrada multiplicada a todo esto y ahora como podemos usar toda esta locura toda esta expresión para deducir gamma bueno pues aquí vamos a retomar uno de los postulados fundamentales de la relatividad especial y es que la velocidad de la luz es absoluta es decir debe ser la misma en cualquier marco de referencia y para pensarlo podemos imaginarnos un evento que estuviera conectado con el origen entonces digamos que tenemos un rayo de luz tenemos un rayo de luz que nos podríamos podría digamos que ente y ente prima igual a cero verdad en siendo una linterna y entonces digamos que el fotón choca con con algo justo en este en este punto del espacio-tiempo verdad entonces vamos a conectarlo con el origen ahí lo tenemos y entonces pues esto tendrá ciertas coordenadas esto tendrá una coordenada x tendrá una coordenada de verdad ahí lo tenemos pero aquí tenemos que la línea amarilla que he pintado es de 45 grados voy a que llevar ya que este evento corresponde a un fotón que se mueve a la velocidad de la luz entonces si esta línea tiene un ángulo de 45 grados quiere decir que su coordenada x es igual a la coordenada muy bien entonces esto incluso también lo podríamos dibujar en este otro en este otro diagrama verdad aquí pintamos nuestra línea de 45 grados más o menos es esta altura verdad y podemos ver que también sus coordenadas podemos calcular sus coordenadas x y 7 verdad aquí tenemos la coordenada x se está moviendo en esta dirección y podemos calcular la coordenada 7 que estará como por hasta cada verdad entonces ahí estarían sus coordenadas x y ct verdad visto desde este punto de vista verdad y también podemos ver que x prima sería igual a 7 prima por ejemplo si lo vemos desde desde este lado entonces trazamos líneas paralelas a los ejes y vemos que en efecto tienen como la misma longitud justamente donde está cortando verdad lo mismo podríamos ver aquí bueno aquí es mucho más claro verdad aquí estaría su coordenada act prima aquí estaría coordenada equis prima entonces podemos ver que en efecto x prima es 7 prima y eso es porque se mueve a la velocidad de la luz muy bien entonces aquí podemos usar toda esta información verdad en realidad nosotros decimos si gamma es va a ser la misma para para cualesquiera de las coordenadas que queramos entonces en particular podemos usar toda esta información verdad que que ya hemos obtenido podemos utilizar estas coordenadas particulares x igual a 7 y x prima igual a 7 prima y podemos usarlo para obtener el valor de gamma y eso es exactamente lo que haré en el siguiente vídeo aunque definitivamente te recomiendo que trates de hacerlo por tu propia cuenta antes de ver el próximo vídeo