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Derivación de la transformación de Lorentz (parte 1)

Transcripción del video

en todos nuestros vídeos sobre relatividad especial hemos hablado de nuestro experimento mental donde yo me hallo a la deriva en el espacio verdad y al tiempo te iguala 0 una amiga que se encuentra sufre sobre una nave espacial que por cierto se mueve con dirección positiva en el eje x verdad se mueve con una velocidad ave y de hecho dibujamos diagramas de espacio tiempo para ambos verdad en blanco y dibujado digamos en el que corresponde al mío verdad y en azul pintado el de ella y de hecho mimos que el ángulo digamos que forman entre los ejes temporales verdad es igual al ángulo que se forma con los ejes espaciales verdad de hecho tienen que ser los mismos y éstos ángulos dependen de qué tan rápido viaja a ella ahora algo que quizás has estado pensando en esta serie de videos es digamos si yo la percibo a ella viajando a una velocidad de en dirección positiva entonces desde su punto de vista si ella digamos se ve flotando en el espacio entonces al tiempo te prima igual a cero porque es en ese momento es cuando coincidimos en el mismo sitio verdad también ente prima igual a cero entonces ella me verá a moverme con velocidad - b es decir en la dirección contraria verdad de hecho éstos ángulos tendrán que ser los mismos que los que ya había calculado anteriormente pero aquí incluso voy a poner a pintarla al pal revés para que se entienda que me estoy moviendo en dirección contraria verdad es la dirección que yo llevo ahora lo que quiero hacer en este vídeo es usar y esta simetría verdad de estas estas dos ideas para que podamos reducir las expresiones de las transformaciones de lawrence y una buena forma de comenzar es con las transformaciones galileanas muy bien entonces vamos a poner aquí digamos como punto de partida la transformación galiana donde x primas se calcula con x - bp donde ves la velocidad relativa que lleva mi amiga verdad y nosotros sabemos que con estas transformaciones la velocidad de la luz no sería absoluta dejamos de lado la idea de que el espacio y el tiempo son absolutos y podemos poner un factor de xcalak y que voy a llamar gama muy bien que multiplica a esta expresión verdad y en realidad esto mismo lo podemos hacer pero con ésta digamos desde esta perspectiva verdad si yo quisiera calcular la coordenada x en función de las coordenadas de mi amiga verdad de su marco de referencia pues podemos hacer lo mismo tendremos un factor de escala gama que multiplica a x prima - la velocidad que yo llevo que serían menos ve verdad por deprima verdad y buenos y nosotros reescribimos esto digamos de mejor forma esto será igual a la gama que multiplica a x prima más dt prima muy bien ahí tenemos nuestra expresión para x de hecho de hecho la voy a poner justo aquí abajo de la que ya habíamos puesto para x prima esto será gama que multiplica a x prima más de de prima y lo tenemos entonces algo interesante es preguntarnos quién tiene que ser este factor de escala gama muy bien entonces para poder obtener lo vamos a hacer aquí algunos trucos algebraicos para poder deducir quién es este factor de escala entonces vamos a multiplicar ax con x prima muy bien si multiplicamos ax con x prima podemos utilizar las expresiones que tenemos del lado derecho verdad y simplemente tendremos que usar la propiedad distributiva para el product entonces primero vemos que tenemos gama por gama y eso nos da gama cuadrada que multiplica a lo siguiente x x x prima verdad aquí sería x x x prima y luego tendremos que sumar x por bt prima entonces sumamos x por de de prima ahora lo que podemos hacer es multiplicar - vete por equis prima entonces tendremos menos bt que multiplica a x prima y finalmente - b te va a multiplicar a bt prima verdad entonces esto simplemente sería menos ve cuadrada verdad sería menos ve cuadrada de por de prima por de prima y ahora sí podemos poner el paréntesis verdad porque gama cuadrada multiplicada a todo esto y ahora cómo podemos usar toda esta locura toda esta expresión para deducir gama bueno pues aquí vamos a retomar uno de los postulados fundamentales de la relatividad especial y es que la velocidad de la luz es absoluta es decir debe ser la misma en cualquier marco de referencia y para pensar lo podemos imaginarnos un evento que estuviera conectado con el origen entonces digamos que tenemos un rayo de luz tenemos un rayo de luz que no se podríamos podrían digamos gente siente prima igual a cero verdad en siendo una linterna y entonces digamos que un fotón choca con con algo justo en este en este punto del espacio-tiempo verdad entonces vamos a conectarlo con el origen verdad ahí lo tenemos y entonces pues esto tendrá ciertas coordenadas esto tendrá una coordenada x tendrá una coordenada set de verdad ahí lo tenemos pero aquí tenemos que la línea amarilla que pintado es de 45 grados ya que lleva ya que este evento corresponde a a un fotón que se mueve a la velocidad de la luz entonces si esta línea tiene un ángulo de 45 grados quiere decir que su coordenada x es igual a la coordenada se dé muy bien entonces esto incluso también lo podríamos dibujar en este otro en este otro diagrama verdad aquí pintamos nuestra línea de 45 grados más o menos es a esta altura verdad y podemos ver que también sus coordenadas podemos calcular sus coordenadas x etb verdad aquí tenemos la coordenada x está moviendo en esta dirección y podemos calcular la coordenada sete que estará como por hasta acá verdad entonces ahí estarían sus coordenadas x y ct verdad visto desde este punto de vista verdad y también podemos ver que x primas será igual a 7 prima por ejemplo si lo vemos desde desde este lado entonces trazamos líneas paralelas a los ejes y vemos que en efecto tienen como la misma longitud justamente donde está cortando verdad lo mismo podríamos ver aquí bueno aquí es mucho más claro verdad aquí estaría su coordenada act prima aquí estaría las coordenadas x prima entonces podemos ver que en efecto x prima es ct prima y eso es porque se mueve a la velocidad de la luz bien entonces aquí podemos usar toda esta información verdad en realidad nosotros decimos sí gama va a ser la misma para para cualesquiera de las coordenadas que querramos entonces en particular podemos usar toda esta información verdad que que ya hemos obtenido podemos utilizar estas coordenadas particulares x igual act y x prima igual act prima y podemos usarlo para obtener el valor de gama y eso es exactamente lo que haré en el siguiente vídeo aunque definitivamente te recomiendo que traté de hacerlo por tu propia cuenta antes de ver el próximo video