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Derivación de la transformación de Lorentz (parte 3)

Transcripción del video

ya hemos logrado un buen progreso en la deducción de las distintas partes de la transformación de lorentz de hecho logramos expresar a x prima en términos del factor de lawrence gama x b y te verdad y de hecho también lo logramos al revés verdad pudimos expresar a x en términos de gamma el factor de laurent x prima de y t prima verdad y de hecho logramos deducir también quién era el factor de lawrence gamma verdad gamma es igual a 1 entre la raíz de 1 b cuadrada sobre c cuadrada y ahora lo único que nos falta es expresar a t prima en términos de x y de t verdad la pregunta es cómo hacerlo y la forma en la que lo haré será tomar esta ecuación que tenemos aquí verdad y voy a tratar de despejar t prima luego las partes que tengan x prima pues las voy a sustituir simplemente con esta expresión que ya tenemos para x prima así que vamos y hacerlo muy bien vamos a hacerlo de aquí vamos a partir de esta expresión vamos a dividir de ambos lados entre gamma muy bien entonces lo que tenemos es x que lo dividimos entre gamma será igual será igual a lo que tenemos del lado derecho pero cancelando gamma verdad será x prima más por de prima por prima ahí lo tenemos ahora qué es lo que vamos a hacer restamos de ambos lados x prima verdad entonces tenemos x dividido entre gamma luego restamos x prima y esto será igual por mi prima vamos bien hasta ahí muy bien ahora qué es lo que tenemos que hacer para despejar a t prima pues tenemos que dividir en ambos lados entre b muy bien entonces qué es lo que vamos a obtener vamos a obtener x dividido entre gamma por b verdad aquí ya estamos dividiendo entre b - x prima dividido entre entre b esto será igual a t prima muy bien ahí tenemos ya t prima verdad ahora lo que tenemos que hacer es tomar esta expresión para x prima y sustituirla en este valor verdad porque aquí aparece x prima simplemente sustituimos con esta expresión para x prima muy bien entonces que es lo que vamos a tener tendremos que prima lo voy a pasar solo de este de este lado será igual a x dividido entre gamma gamma x menos - aquí vamos a sustituir x prima verdad que en este caso será gamma que multiplica a x menos menos deporte muy bien aquí está la expresión para x prima y esto va / va dividido entre b dividido entre b ahí lo tenemos este es ya otra expresión para t prima lo que voy a hacer aquí es factorizar gamma muy bien entonces vamos a factorizar gamma y entonces este prima será igual a gamma que multiplica a vamos a ver x dividido entre aquí tenemos que poner gamma cuadrada verdad para que al multiplicar o al poner gama entre gamma cuadrada sólo nos dé gamma verdad en el denominador y esto va multiplicando por ver simplemente hace esta multiplicación gamma por x entre gamma cuadrada de es justamente este término que tenemos aquí y luego tenemos menos gamma ya está factor izado y tendremos de hecho vamos a distribuir el menos y vamos a distribuir la división entre b entonces tendremos menos x dividido entre b / b y luego tenemos menos por menos es más aquí vamos a tener más b t dividido entre b que es simplemente te muy bien aquí tenemos esta expresión de prima y ahora vamos a vamos a fijarnos en una parte de esta expresión vamos a fijarnos sólo en esta parte y vamos a ver qué es lo que obtenemos vamos a ver vamos a tratar de simplificar esta parte muy bien entonces por ejemplo aquí podemos simplemente factorizar x verdad factor izamos x y aquí multiplica a 1 entre gamma cuadrada por b 1 / gamma cuadrada x por ver menos voy a dejarlo con ese color menos 1 sobre b 1 sobre b muy bien entonces esta es digamos este cuadrito verde simplemente lo resto se puede reescribir de esta forma y para hacer esta esta diferencia de fracciones pues necesitamos encontrar un denominador común verdad para poder para poder hacerlo entonces vamos a poner aquí gama cuadrada y acá arriba pondremos también gama cuadrada verdad así esta es la misma expresión que teníamos anteriormente pero ahora ganamos que este denominador es exactamente el mismo que el del otro término verdad entonces veamos cómo podríamos hacer esto esto de aquí simplemente lo vamos a simplificar verdad sería 1 - gama cuadrada 1 - gama cuadrada y todo esto va dividido entre gama cuadrada por ver gama cuadrada por b vamos bien y esto será igual vamos a ver pues lo que podemos hacer aquí es sustituir quienes gama cuadrada verdad y en realidad gama cuadrada es muy fácil de calcular aquí de hecho tenemos gama entonces gama cuadrada será elevada al cuadrado tanto número numerador perdón como denominador 1 al cuadrado es 1 y el cuadrado de esto pues es simplemente lo que tenemos dentro de la raíz verdad es uno menos de cuadrada sobre se cuadrada de hecho lo voy a hacer un poco más más justo para que pueda escribir otra expresión gama cuadrada es 1 entre 1 - b cuadrada sobre se cuadrada verdad y esto si multiplicamos por se cuadrada tanto el numerador como el denominador tendremos tendremos se cuadrada menos de cuadrada entonces esta expresión es la que vamos a usar para poder simplificar esta otra que tenemos aquí verdad entonces quien sería uno bueno uno sería se cuadrada menos b cuadrada dividido entre pse cuadrada menos b cuadrada esto claramente es uno y luego restamos gamma cuadrada verdad préstamos gamma cuadrada que será se cuadrada dividido entre pse cuadrada menos de cuadrada entonces esta forma de expresar a uno es conveniente porque otra vez tenemos un denominador común verdad y luego todo esto va dividido entre gama cuadrada gama cuadrada que será se cuadrada entre pse cuadrada menos b cuadrada por b por b entonces aquí multiplicamos por b muy bien entonces qué es lo que vamos a obtener bueno aquí simplemente podríamos simplificar verdad porque tendremos se cuadrada menos e cuadrada esto sé la verdad y entonces tendremos vamos a escribir lo menos de cuadrada dividido entre pse cuadrada menos be cuadrada y luego esta división es exactamente lo mismo que si multiplicamos por el recíproco de lo que tenemos acá abajo verdad entonces será se cuadrada menos b cuadrada dividido entre pse cuadrada por b y entonces lo que podemos ver es que otra vez podemos simplificar esta verdad aquí tenemos este factor en el denominador ese mismo factor en el numerador verdad y entonces esto será igual simplemente a también podríamos simplificar una vez verdad porque aquí tenemos una b en el denominador y tenemos dos veces en el numerador como un factor es entonces podemos cancelar uno y lo que obtenemos simplemente es menos b dividido entre cuadrada muy bien entonces con esto ya podemos expresar bien a t prima verdad porque esto de aquí es simplemente hay que multiplicarlo por equis y luego sustituirlo acá verdad entonces lo que tenemos de t prima es que esto será igual a gamma gamma que multiplica a nuestro cuadrito el cuadrito era x que multiplica a o quizás deberíamos mejor poner el otro sumando primero vamos a poner primero t y luego tendremos menos bs cuadrada - de se cuadrada por equis verdad todo esto es esto que tenemos aquí y que era este cuadrito verde muy bien ahí tenemos nuestra expresión para t prima ya hemos terminado hemos completado nuestras transformaciones del ourense en realidad por ejemplo comenzamos con estas dos expresiones de aquí arriba que de hecho trabajamos en los vídeos anteriores y después de muchas operaciones algebraicas quizás digamos un tanto peliagudas obtuvimos esta expresión de prima será igual a gamma por t menos b sobre se cuadrada por equis y hemos terminado