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Derivación de la transformación de Lorentz (parte 3)

Transcripción del video

ya hemos logrado un buen progreso en la reducción de las distintas partes de la transformación de lawrence de hecho logramos expresar ax prima en términos del factor de lawrence gama x b&t verdad y y de hecho también lo logramos al revés verdad pudimos expresar a x en términos de gama el factor de lawrence x prima de ite prima verdad y de hecho logramos reducir también quién era el factor de lawrence gama verdad gama es igual a 1 entre la raíz de 1 - b cuadrada sobre se cuadrada y ahora lo único que nos falta es expresar ate prima en términos de x y dt verdad la pregunta es cómo hacerlo y la forma en la que lo haré será tomar esta ecuación que tenemos aquí verdad y voy a tratar de despejar de prima luego las partes que tengan x prima pues las voy a sustituir simplemente con esta expresión que ya tenemos para x prima así que vamos a hacerlo muy bien vamos a hacerlo de aquí vamos a partir de esta expresión vamos a dividir de ambos lados entre gama muy bien entonces lo que tenemos es x que lo dividimos entre gama será igual a igual a lo que tenemos del lado derecho pero cancelando gama verdad será x prima más b por de prima b por de prima ahí lo tenemos ahora que es lo que vamos a hacer restamos de ambos lados x prima verdad entonces tenemos x dividido entre gama luego restamos x prima y esto será igual a b x de prima vamos bien hasta ahí muy bien ahora qué es lo que tenemos que hacer para despejar ate prima pues tenemos que dividir en en ambos lados entre ve muy bien entonces qué es lo que vamos a obtener vamos a obtener x dividido entre gama por b verdad aquí estamos dividiendo entre de - x prima / / / b esto será igual a de prima muy bien ahí tenemos ya de primavera ahora lo que tenemos que hacer es tomar esta expresión para x prima y sustituirla en este valor verdad porque aquí aparece x primas simplemente sustituimos con esta expresión para x prima muy bien entonces qué es lo que vamos a tener tendremos que prima lo voy a pasar sólo de éste de este lado será igual a x dividido entre gamma gamma por de menos - aquí vamos a sustituir x prima verdad que en este caso será gama que multiplica a x - - deporte de por de muy bien aquí está el la expresión para x prima y esto va dividido va dividido entre b va dividido entre ve ahí lo tenemos esta es ya otra expresión parate prima lo que voy a hacer aquí es factorizar gama muy bien entonces vamos a factorizar gama y entonces te prima será igual a la gama que multiplica a no saber x dividido entre aquí tenemos que poner gama cuadrada verdad para que al multiplicar o al poner gama entre gama cuadradas o los de gama verdad en el denominador y esto va multiplicando por ve simplemente hace esta multiplicación gama x x entrega más cuadrada de es justamente este término que tenemos aquí y luego tenemos menos gama ya está factor izado y tendremos de hecho vamos a distribuir el menos y vamos a distribuir la división entre eventos tendremos menos x / / b / / d y luego tenemos menos por menos es más aquí vamos a tener más b d / / b que simplemente no viene aquí tenemos esta expresión de de primera y ahora vamos a vamos a fijarnos en una parte de esta expresión vamos a fijarnos sólo en esta parte y vamos a ver qué es lo que obtenemos saber vamos a tratar de simplificar esta parte muy bien entonces por ejemplo aquí podemos simplemente factorizar x verdad factor izamos x y aquí multiplica a 1 entre gama cuadrada por d gama cuadrada por de por de menos voy a dejarlo con ese color - 1 sobre b 1 sobre ve muy bien entonces ésta es digamos este cuadrito verde simplemente los reds se puede reescribir de esta forma y para hacer esta esta diferencia de fracciones pues necesitamos encontrar un denominador común verdad para poder para poder hacerlo entonces vamos a poner aquí gama cuadrada y acá arriba pondremos también gama cuadrada verdad así éste es la misma expresión que teníamos anteriormente pero ahora ganamos que este denominador es exactamente el mismo que el del otro término verdad entonces veamos cómo podríamos hacer esto esto de aquí simplemente lo vamos a simplificar verdad sería 1 - ghana cuadrada 1 - gama cuadrada y todo esto va dividido entre gama cuadrada por b gama cuadrada por b vamos bien y esto será igual vamos a ver qué es lo que podemos hacer aquí es sustituir quienes gama cuadrada verdad y en realidad gama cuadrada es muy fácil de calcular aquí de hecho tenemos gama entonces gama cuadrada será elevada al cuadrado tanto novena numerador perdón como denominador 1 al cuadrado es uno y el cuadrado de esto pues es simplemente lo que tenemos dentro de la raíz verdades 1 - de cuadrada sobre se cuadra de hecho lo voy a hacer un poco más y más justo para que puede escribir otra expresión gama cuadrada es uno entre 1 - b cuadradas sobre ese cuadrada verdad y esto si multiplicamos por se cuadrada tanto el numerador común denominador tendremos se cuadrada tendremos se cuadrada menos de cuadrada entonces esta expresión es la que vamos a usar para poder simplificar esta otra que tenemos aquí verdad entonces quien sería uno bueno y uno sería se cuadrada - b cuadrada dividido entre se cuadrará menos de cuadrada esto claramente es uno y luego restamos gama cuadrada verdad estamos gana cuadrada que será se cuadra dividido en 13 cuadrada menos de cuadra de entonces esta forma de expresar aún no es conveniente porque otra vez tenemos un denominador común verdad y luego todo esto va dividido entre ghana cuadrada cuadrada que será se cuadra da entre ese cuadrada - b cuadrada por b por bentos es aquí multiplicamos por ve muy bien entonces qué es lo que vamos a obtener bueno aquí simplemente podríamos simplificar verdad porque tendremos se cuadrada - se cuadrada esto se le cancela verdad y entonces tendremos vamos a escribir lo menos de cuadrada dividido entre se cuadrada - b cuadrada y luego esta división es exactamente lo mismo que si multiplicamos por el recíproco de lo que tenemos acá abajo verdad entonces era de cuadrada - b cuadrada / / c cuadrada por b y entonces lo que podemos ver es que otra vez podemos simplificar esto verdad aquí tenemos este factor en el denominador ese mismo factor en el numerador verdad y entonces esto será igual simplemente a también podríamos simplificar una verdad porque aquí tenemos un ave en el denominador y tenemos dos veces en el numerador como factores entonces podemos cancelar uno y lo que obtenemos simplemente es menos de / / c cuadrada muy bien entonces con esto ya podemos expresar bien ate prima verdad porque esto de aquí es simplemente hay que multiplicarlo por equis y luego sustituir loca verdad entonces lo que tenemos dt prima es que esto será igual a gamma gamma que multiplica a nuestro cuadrito el cuadrito era x que multiplica a o quizás deberíamos mejor poner el otro se mandó primero vamos a poner primero te y luego tendremos menos bc cuadrada menos de se cuadra da por equis verdad todo esto es esto que tenemos aquí que era éste cuadrito verde muy bien ahí tenemos nuestra expresión parate prima ya hemos terminado hemos completado nuestras transformaciones del ourense en realidad por ejemplo comenzamos con estas dos expresiones de aquí arriba que de hecho trabajamos en los videos anteriores y después de muchas operaciones algebraicas quizás digamos un tanto peliagudas obtuvimos esta expresión de prima será igual a la gama por de - b sobre ese cuadrada por equis y hemos terminado