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Demostración: S (o entropía) es una variable de estado válida

Transcripción del video

he hablado mucho sobre la idea general para tener una variable de estado por ejemplo qué es la energía interna del sistema en cualquier punto de este diagrama de presión volumen esa variable siempre debe ser la misma en cualquier punto siempre que no importa cómo nos movamos por ejemplo a lo largo del ciclo de carnets y si pensamos en una energía interna en el punto a a lo largo del ciclo al volver al punto a no debió haber cambiado sólo depende de su posición en el diagrama y no de cómo llegamos a ese punto a lo mejor podemos tener una trayectoria muy loca dea y que regrese al punto a pero no debe cambiar esa variable solo es dependiente de su estado no de cómo llegamos ahí por eso es que el calor es algo que no podemos realmente usar como una variable de estado por ejemplo si tratara de definir una un estado relacionado con el calor digamos que el calor contenido no y que el cambio en el calor contenido es igual a la cantidad de calor que al que agregamos al sistema bueno si volvemos a nuestro ciclo de carnota aquí mi contenido de calor aquí digamos que era 10 agregamos un calor q no a lo largo de desde ave luego debe hace está diabético así que no pasó nada y desea de seguimos calor verdad a través de q2 ok a través de q2 y luego de de a no no pasó nada porque era diabético así que si hubo cierto cambio así que la cantidad de calor neta que tenemos a lo largo del ciclo es uno menos q 2 y sabemos que este número es mucho mayor que este otro la cantidad neta de calor que agregamos al sistema era la cantidad de trabajo que realizamos en el sistema porque la energía interna no cambió así que si esto es 0 la cantidad de calor que agregamos es igual al trabajo realizado a lo largo del ciclo ok y de hecho la energía interna como que no cambia de cero y esta porción sombreada que pongo en amarillo que es el área dentro del ciclo demostramos que era el trabajo que realizaba la es de este ciclo verdad y así si agregamos cierta cantidad de calor al sistema digamos que empezamos con 10 aunque lo que sea no sé con qué empezamos pero digamos que con 10 le damos una vuelta al ciclo y ahora tengo 10 más w luego otra vuelta y tenemos 10 + 2 w otra vuelta y 10 más 3 dobles así que no puede ser una variable de estado porque es completamente dependiente de qué es lo que hacemos a lo largo del ciclo verdad en cada ciclo le agregamos una w que es el trabajo así que no es un estado legítimo como variable de estado por ya que nuestro cambio no hay que hay que ignorarlo porque nuestro cambio no nos da 0 ahora ya que conocemos uno que agregamos cierto calor vamos a la parte interesante aquí es este que agregamos una cantidad mayor de temperatura y acá abajo en q2 en realidad quitamos una cantidad muy poca de temperatura así que podríamos definir otra variable de estado que pudiéramos tener que después de un ciclo volvamos al mismo valor déjenme vamos a experimentar bueno un experimento como tal porque yo ya sé a qué es a lo que quiero llegar pero vamos a suponer que yo defino una nueva variable ese y que su cambio en el cambio de la variable s solo estamos haciendo una definición aquí sea el calor agregado al sistema entre la temperatura a la cual se le agregó ahora no sé lo que sea ese todavía lo veremos en vídeos futuros quizás con mayor inducción de lo que esto significa ya que lo tengamos en nuestra mente pero vamos a ver si al menos esto es una variable válida de estado a lo largo del ciclo de carnota vamos a ver cómo es nuestro cambio en ese ok entonces para que sea un cambio legítimo de estado de su pónganse que empezamos con 100 ok y al darle la vuelta al ciclo de kart notebook deberíamos volver a 100 es decir que nuestro cambio en ese debe ser cero así que vuelta s a lo largo del ciclo déjenme déjenme escribir delta delta s con otro color del tae se a lo largo del ciclo de carnot le voy a poner esa c ok vamos a lo largo del ciclo de carne debe ser igual a bueno cuando vamos de ave vamos a ver qué pasa qué temperatura tenemos tenemos un calor 1 y una temperatura de 1 verdad luego vamos debe hacer que es a diabético es decir no agregamos calor verdad no agregamos ningún calor así que sí sí le agregamos 0 es eso es porque es calor / cualquier temperatura lo mejor la temperatura cambia pero el calor es cero así que así se queda cuando vamos de shehadeh tenemos una temperatura de 2 pero tenemos q 2 como calor verdad ahí teníamos nuestro depósito de calor q2 después vamos debe a que es también un proceso a diabético y por lo tanto no hay transferencia de calor así que tenemos otro cero estos son ceros no importa insisto tenemos un calor entre no sé qué temperatura pero como el calor es cero bueno está ok entonces para que ese sea una variable de estado valida todo esto nos debe quedar igual a cero vamos a ver si es eso cuál es nuestro cambio en ese de nuestra variable mística a lo largo del ciclo de carnet bueno esto simplemente es q no entre t 1 más q 2 sobre t 2 y vamos a ver qué q 2 de hecho es negativo así que cuál es la cantidad de q1 como calculamos que uno bueno como estamos en esta parte de la terna de ave nuestro cambio en la energía no existe es decir el cambio en la energía es igual a cero y el calor agregado es igual al trabajo realizado del estado a al estado b que es el área debajo de la curva desde a del estado a hasta el estado de verdad solo sería el área debajo de esa curva cuál es esa área bueno déjenme hacerlo esto un poquito aparte así que qué 11 es igual al trabajo realizado desde hasta ve y el trabajo recordemos que lo podemos ver como el presión la presión por el cambio en el volumen vamos a hacer bastante cálculo aquí así que vamos a ponerlo en nuestro término de cálculo debe es un pequeño cambio en el volumen y vamos a integrar sobre todos esos pequeños cambios verdad debe es un pequeño cambio y entonces al multiplicar por b estamos calculando el área de rectángulos y vamos a sumar todos esos verdad muy bien vamos a sumar todos esos desde el volumen en a en el estado a hasta el volumen en el estado b y luego quién es q 2 quien va a ser q 2 bueno q 2 es igual esencialmente la misma cosa verdad pero vamos a tomar la suma del trabajo realizado por por el sistema el pdv ok y que en realidad es el trabajo realizado hacia el sistema de verdad porque estamos comprimiendo y por eso es que q 2 va a ser negativo pero bueno esto lo vamos a tomar cuál es nuestro punto inicial bueno empezamos en el en el estado c y terminamos en el estado de entonces los volúmenes van de c a d cómo evaluamos estas integrales bueno ya hemos hecho esto en algunos vídeos anteriores sólo vamos a solo que en otras circunstancias ok así que q1 y q2 van a tener la misma expresión excepto por los límites de integración y lo único que tengo que ver es que estamos cambiando la presión respecto al volumen la temperatura sigue siendo la misma a lo largo de esos de esos procesos así que si recordamos esta fórmula de la de los gases ideales si dividimos ambos lados por b tenemos que es igual a nrc sobre b y recordemos que en estos procesos la temperatura no está cambiando si sustituimos esto en las integrales ya podemos tener a p como función de b y calculamos ahora si el área debajo de esa curva verdad así que que uno va a ser igual a la integral de b a hasta bbb de p que en este caso es n r t sobre b dv y q2 va a ser igual a la misma integral solo que con otros límites de cbc abed de nrc sobre b bebe y simplemente estoy haciendo dos integrales en paralelo que realmente es la misma integral pero cambiando los límites verdad ok entonces cómo resolvemos esto bueno sabemos que en ambos casos estamos moviéndonos a lo largo de la curva isoterma así que la temperatura es constante de hecho en este caso la temperatura es de 1 de 1 verdad teníamos nuestro depósito de calor que la mantenía a temperatura de uno y en el otro lo mantenía a temperatura t2 verdad t2 se movía de shehadeh y teníamos un depósito que de hecho era frío de hecho era frío y cedía más bien sería calor muy bien entonces vamos a suponer que n de hecho es constante porque es el número de moléculas eres definitivamente una constante y tf1 también es constante así que q no lo podemos reescribir como rt 1 por la integral de vea hasta bb de 1 sobre b dv y de hecho q 2 también lo podemos escribir de esta forma nr de 2 la integral del bc abed de 1 sobre b dv muy bien ahora vamos a realizar estas integrales que son bastante directas cuál es la anti derivada de 1 sobre b eso es el logaritmo natural verdad entonces esto nos queda como nrc 1 por el logaritmo natural de de y esto evaluado de bb menos menos evaluado en vea y q2 bueno déjenme déjenme resolver de una vez esta ecuación así que esto que va a ser igual el logaritmo natural de bb menos el logaritmo natural de beas simplemente es el logaritmo natural de bb entre b ya lo hemos hecho varias veces espero recuerdes esto y esto lo multiplicamos por mrt 1 y esto es 1 ahora de la misma forma q 2 a quien va a ser bueno simplemente q2 va a ser n r de 2 por el logaritmo natural bueno de hecho es la integral de bs a bb a bb perdón y esto es el logaritmo natural de b sobre bc ok muy bien ahora cuál era nuestra pregunta original estábamos viendo bajo que como podríamos ver si esta variable mística s es una variable de estado legitima verdad es decir queríamos ver si su cambio a lo largo del ciclo era 0 ok su cambio está dada por esta expresión con 1 / t 1 más q 2 / t 2 así que vamos a ver qué pasa con 1 sobre t 1 es lo mismo que dividir entre t 1 y aquí se van las t1 es verdad de este lado dividimos entre t 2 ok y se van las de 2 se cancelan así que nuestro cambio de nuestra variable mística es a lo largo del ciclo de carnota es uno entre t 1 más q 2 sobre t 2 que es igual a por de este lado es n r se cancelaron las t1 símica logaritmo natural de bebé sobre b a ok eso es esta parte de aquí y luego sumamos sumamos nr se cancelaron las de 2 de esta forma por el logaritmo natural dvd sobre b c ok perdón esto era verde sobre b c ok esto es veces ya que era un ave aquí muy bien vamos a ver qué podemos hacer esto es igual ya casi llegamos esto es igual factor izando a n r aunque podemos factorizar eso esto es el logaritmo natural de bebé entre beat por más el logaritmo natural del bede sobre bc esto es el logaritmo natural de bebés sobre b vea bebé sobre veces ya sabemos que suma de logaritmos es el logaritmo del producto ahora todo esto es nuestro cambio de nuestra variable s a lo largo del ciclo de carnota y ahora esto aquí es igual bueno qué qué pasaría si dividimos bueno déjenme pensar la mejor forma de describir esto digamos que divido el numerador y el denominador por veces ok quizás quizás la mejor forma digamos que en vez de multiplicar voy a dividir pero voy a dividir entre el recíproco del segundo del segundo factor es decir voy a escribir el logaritmo natural de bb sobre vea y en vez de multiplicar voy a dividir pero dividido entre el recíproco de este desde esta expresión que es vece sobre vd y todo esto multiplicado por nr esto es el cambio en la variable c solo lo que hice fue en vez de expresar lo como multiplicación lo expresé como división ahora ya verás la importancia del vídeo anterior verdad que aquí es igual esto en el vídeo anterior les demostré que bebe sobre b es igual a veces sobre verde así que realmente todas esas operaciones complicadas y raras que hicimos nos llevaron a esta conclusión así que esta cantidad que enmarque en realidad es una verdad si dividimos algo entre sí mismo esto nos queda 1 si eso es igual a 1 cuál es el logaritmo natural de 1 es decir nuestro cambio en la variable s es igual a n r logaritmo natural de 1 y cuál es el logaritmo natural de 1 es decir que a la que me da 1 pues eso es 0 así que nr x 0 es igual a 0 no importa qué tan grande o chico sea n o r esto es simplemente cero así que ya lo tienen tenemos una variable de estado legal muy bien definida ajá ya que definimos nuestro cambio en s igual al valor agregado al sistema valor agregado al sistema entre su temperatura baja y entonces nos quedó que esto resulta ser un campo una variable de estado muy bien definida así que esto está esto significa que al menos tenemos cierta propiedad de algo no sabemos aunque espero que se conserva después de un ciclo de carnota es decir sólo depende de su posición en el diagrama no sé con qué empecé pero después de hacer un ciclo muy loco volvemos al mismo punto y entonces tenemos la misma cantidad verdad nuestro cambio en ese va a ser cero así que ese va a ser una buena variable de estado pero no sabemos idea de que es no tenemos idea de qué es pero sabemos que es variable de estado y su interpretación lo dejaremos para otro vídeo