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Demostración: S (o entropía) es una variable de estado válida

Transcripción del video

ha hablado mucho sobre la idea general para tener una variable de estado por ejemplo u que es la energía interna del sistema en cualquier punto de este diagrama de presión volumen esa variable siempre debe ser la misma en cualquier punto siempre que no importa cómo nos movamos por ejemplo a lo largo del ciclo de carnage y bossi y pensamos en una energía interna en el punto a a lo largo del ciclo al volver al punto a no debió haber cambiado sólo depende de su posición en el diagrama y no de cómo llegamos a este punto sea lo mejor podemos tener una trayectoria muy loca dea y que regrese al punto a pero no debe cambiar esa variable sólo es de pendiente de su estado no de cómo llegamos a y por eso es que el calor es algo que no podemos realmente usar como una variable estado por ejemplo y tratará de definir una un estado relacionado con el calor digamos que el calor contenido no y que el cambio en el calor contenido es igual a la cantidad de calor que alega que agregamos al sistema bueno si volvemos a nuestro ciclo de carnota aquí me contenido de calor aquí digamos que era 10 bueno agregamos un calor q no a lo largo de desde ave luego debe hacer esa diabético así que no pasó nada y desea de seguimos calor verdad a través de q2 ok a través de q2 y luego debe a no no pasó nada porque era diabético así que sí hubo cierto cambio así que la cantidad de calor neta que tenemos a lo largo del ciclo es q no menos q 2 y sabemos que este número es mucho mayor que este otro la cantidad neta de calor que agregamos al sistema era la cantidad de trabajo que realizamos en el sistema porque la energía interna no cambió así que si éste 0 la cantidad de calor que agregamos es igual al trabajo realizado a lo largo del ciclo ok y de hecho la energía interna como como que no cambia de cero y esta porción sombreada que pongo en amarillo que es el área dentro del ciclo demostramos que el trabajo que realizaba la es de este ciclo verdad y así si agregamos cierta cantidad de calor al sistema digamos que empezamos con diez aunque lo que sea no sé qué aunque empezamos no digamos que con diez le damos una vuelta al ciclo y ahora tengo diez más w luego otra vuelta y tenemos diez más doble u otra vuelta y 10 más 3 doblegó así que no puede ser una variable de estado porque es completamente dependiente de que lo que hacemos a lo largo del ciclo verdad en cada ciclo le agregamos una w es el trabajo así que no es un estado legítimo como variable de estado ya que nuestro cambio no hay que hay que ignorarlo porque nuestro cambio no nos a 0 ahora ya que conocemos q no le agregamos cierto calor vamos a la parte interesante aquí es éste que agregamos una cantidad mayor de temperatura y acá abajo en q2 en realidad quitamos una cantidad muy poca de temperatura así que podríamos definir otra variable de estado que pudiéramos tener que después de un ciclo volvamos al mismo valor déjenme vamos a experimentar bueno no va a ser un experimento como tal porque yo ya sé a qué es a lo que quiero llegar pero vamos al suponer que yo defino una nueva variable s y que su cambio y el cambio de la variable s sólo estamos haciendo una definición aquí sea el calor ha agregado al sistema entre la temperatura a la cual se le agregó ahora no sé lo que sea ese todavía lo veremos en videos futuros quizás con mayor inclusión de lo que esto significa ya que lo tengamos en nuestra mente pero vamos a ver si al menos esto es una variable válida de estado a lo largo del ciclo de carnot vamos a ver cómo en nuestro camiones ok entonces para que sea un cambio legítimo de estado debe suponerse que empezamos con 100 ok y al darle la vuelta al ciclo carnet deberíamos volver a 100 es decir que nuestro cambio en ese debe ser cero así que vuelta ese a lo largo del ciclo déjenme dejen de escribir delta del tae se con otro color del tae se a lo largo del ciclo de carnot le voy a ponerles hace ok vamos a lo largo del ciclo car no debe ser igual a bueno cuando vamos de ave vamos a ver qué pasa qué temperatura tenemos tenemos un calor 1 y una temperatura de 1 verdad luego vamos debe hace que esa diabético es decir no agregamos calor verdad no agregamos ningún calor así que si le agregamos 0 eso es porque escalón entre cualquier temperatura lo mejor la temperatura cambia pero el calor es ser así que así se queda cuando vamos de shehadeh tenemos una temperatura de 2 pero tenemos q 2 como calor verdad ahí teníamos nuestro depósito de calor cudós y después vamos debe a que es también un proceso diabético y por lo tanto no hay transferencia de calor así que tenemos otro 0 estos son ceros no importa insisto tenemos un calor entre no sé qué temperatura pero como el calor es cero bueno a esta ope entonces para que éste sea una variable estado válida todo esto nos debe quedar igual a cero vamos a ver si es eso cuál es nuestro cambio en ese de nuestra variable mística a lo largo del ciclo de carbono bueno esto simplemente es q no entre t1 mas q 2 sobre de dos y vamos a ver qué q2 de hecho es negativo así que cuál es la cantidad de q1 cómo calculamos q1 bueno como estamos en esta parte de la hizo terna de ave nuestro cambio la energía no existe es decir el cambio en la energía es igual a cero y el calor ha agregado es igual al trabajo realizado del estado a al estado ve que es el área debajo de la curva desde a del estado a hasta el estado de verdad sólo sería el área debajo de esa curva cuál es esa área bueno hacerlo esto un poquito aparte así que q11 es igual al trabajo realizado desde a hasta bbb y el trabajo recordemos que lo podemos ver como el presión la presión por el cambio en el volumen a vamos a hacer bastante cálculo aquí así que vamos a ponerlo en nuestro término de cálculo debe es un pequeño cambio en el volumen y vamos a integrar sobre todos esos pequeños cambios verdad debe es un pequeño cambio y entonces al multi ricard por b estamos calculando el área de rectángulo hitos y vamos a sumar todos es verdad muy bien vamos a sumar todos esos desde el volumen en en el estado a hasta el volumen en el estado ve luego quién escudos quién va a ser q2 bueno q 2 es igual esencialmente la misma cosa verdad pero vamos a tomar la suma del trabajo realizado por por el sistema el pp debe ok y que en realidad es el trabajo realizado hacia el sistema verdad porque estamos comprimiendo ahí por eso es que q2 va a ser negativo pero bueno esto lo vamos a tomar 2 cuál es nuestro punto inicial bueno empezamos en cuando en el estado se y terminamos en el estado de entonces los volúmenes van de c&a de cómo evaluamos estas integral es bueno ya hemos hecho esto en algunos vídeos anteriores sólo vamos a sólo que en otras circunstancias ok así que q1 y q2 van a tener la misma expresión excepto por los límites de integración y lo único que tengo que ver es que estamos cambiando la presión respecto al volumen la temperatura sigue siendo la misma lo largo de esos de estos procesos así que si recordamos la esta fórmula de la de los gases ideales si dividimos ambos lados por b tenemos que pes iguala en rt sobre b y recordemos que en estos procesos la temperatura no está cambiando si sustituimos esto en las integrales es ella podemos tener ap como función debe y calculamos ahora sí el área debajo de esa curva verdad así que q1 va a ser igual a la integral de b a hasta bbb de pepe que en este caso es en rt sobre b de bb y q2 va a ser igual a la misma integral sólo que con otros límites de beade bc ave de de nr te sobre b de bb y y simplemente estoy haciendo dos integrales en paralelo que realmente es la misma integral pero cambiando los límites verdad ok entonces cómo resolvemos esto bueno sabemos que en ambos casos estamos moviéndonos a lola de la curva isotermas y que la temperatura es constante de hecho en este caso la temperatura es de 11 verdad teníamos nuestro depósito de calor que la mantenía temperatura t1 y en el otro lo mantenía temperatura t2 verdad dedos se movía de shehade y teníamos un depósito que de hecho era frío de hecho era frío y sería más bien sería calor muy bien entonces vamos a suponer que n de hecho es constante porque es el número de moléculas r es definitivamente una constante y tf1 también es constante así que uno lo podemos rescribir como nr t1 por la integral desde b a hasta bbb de un oso breve debe y de hecho pudo también lo podemos escribir de esta forma nr dedos la integral de bc ave de de un oso breve debe muy bien ahora vamos a realizar estas integrales que son bastante directas cuál es la anti derivada de un oso breve eso es el logaritmo natural verdad entonces esto nos queda como en rt uno por el logaritmo natural de d&s evaluado de bebé - - evaluado en bea y q2 bueno de gm déjeme resolver de una vez esta ecuación así que esto que va a ser igual el logaritmo natural de bebé - el logaritmo natural de vea simplemente es el logaritmo natural de bebé entre ve a ya lo hemos hecho varias veces pero recuerde es esto y esto lo multiplicamos por en rt uno y esto es q no ahora del de la misma forma q2 aquí va a ser bueno simplemente q2 va a ser nr dedos por el logaritmo natural bueno de hecho es la integral de dbs ave de abb perdón y esto es el logaritmo natural debe de sobre bc ok muy bien ahora cuál era nuestra pregunta original estamos viendo bajo qué cómo podríamos ver si esta variable mística ese es una variable de estado legítima verdad es decir queríamos ver si su cambio a lo largo del ciclo era cero ok su cambio está dada por esta expresión que uno entre t1 más crudos entre todos así que vamos a ver qué pasa con kuno sobre t1 es lo mismo que dividir entre t1 y aquí se van las t1 es verdad de este lado dividimos entre todos ok y se van las de dos se cancelan así que nuestro cambio de nuestra variable mística ese a lo largo del ciclo de carne no es uno entre t1 mas q 2 sobre t2 que es igual a la de este lado es nr se cancelaron las de unos y mika logaritmo natural de bebés o breve a ok eso es esta parte de aquí y luego sumamos sumamos nr se cancelaron las de dos de esta forma por el logaritmo natural debe de sobre bc perdón esto era b del sobre b c o que estés veces ella quiera una vez aquí muy bien vamos a ver qué podemos hacer esto es igual ya casi llegamos a esto es igual factor izando a en rr que podemos actualizar eso esto es el logaritmo natural de bebé entre vea por más el logaritmo natural dvd sobre bc esto es el logaritmo natural de bebés o breve vea por vez de sobre bc ya sabemos que suma de logaritmos es el logaritmo del producto ahora todo esto es nuestro cambio de nuestra variable se a lo largo del ciclo de carnot y ahora esto aquí es igual de bueno que qué pasaría si dividimos bueno déjeme pensar la mejor forma de describir estos digamos que ha vivido el numerador y el denominador por bs ok no quizás quizás no la mejor forma digamos que en vez de multiplicar voy a dividir pero voy a dividir entre el recíproco del segundo del segundo factor es decir voy a escribir el logaritmo natural de bebé sobre b y en vez de multiplicar voy a dividir pero dividido entre el recíproco de este de este de esta expresión que es bc sobre b d y todo esto multiplicado por tener éste es el cambio en en las variables sólo lo que hice fue en vez de expresar lo como multiplicación lo exprese como división ahora ya verás la importancia del vídeo anterior verdad que aquí es igual esto en el vídeo anterior les demostré que bebe sobrevive a es igual abc sobre b d así que realmente todas esas operaciones complicadas y raras que hicimos nos llevaron a esta conclusión así que esta cantidad que en mar que en realidad es una verdad si dividimos algo entre sí mismo esto nos queda uno si eso es igual a 1 cuál es el logaritmo natural de uno es decir nuestro cambio en la variable ese es igual a nr logaritmo natural de uno y cuál es el logaritmo natural de uno es decir eh a la que me da uno pues eso es cero así que nr por cero es igual a cero no importa qué tan grande o chico sea en eeuu rr esto es simplemente cero así que ya lo tienen tenemos una variable estado legal muy bien definida ajá ya que definimos nuestro cambio en ese igual al valor agregado al sistema valor agregado al sistema entre su temperatura y entonces nos quedó que éste resulta ser un campo una variable estado muy bien definidas y que esto está esto significa que al menos tenemos cierta propiedad de algo no sabemos aunque espero que se conserva después de un ciclo de carbono es decir sólo depende de su posición en el diagrama no sé con qué empecé pero después de hacer un ciclo muy loco volvemos al mismo punto y entonces tenemos la misma cantidad verdad nuestro camiones se va a ser cero así que ése va a ser una buena variable de estado pero no sabemos idea de qué es no tenemos idea de qué es pero sabemos que es variable de estado y su interpretación lo dejaremos para otro vídeo