Demostración: U=(3/2) PV o U=(3/2) nRT

he hablado ya múltiples veces de lo que significa esta mayúscula que es la energía interna de un sistema y realmente es todo lo que está aventado ahí verdad la energía cinética de las moléculas la energía potencial si las moléculas están vibrando tienen la energía química de los enlaces la energía potencial de los electrones cuando quieren llegar a cierto lugar pero bueno para fines de lo que vamos a hacer que es bastante introductorio para química o física o incluso termodinámica es vamos a suponer que estamos hablando de un gas ideal ok y más aún que es un gas ideal mono atómico es decir que sólo tengo un tipo de átomo el entonces todo lo que está en mis sistemas son átomos individuales y en ese caso la única energía en el sistema es la energía cinética de cada una de esas partículas lo que quiero hacer en este vídeo es ponerle un poco matemático quizás pero quiero llegar a relacionar cuánta energía interna hay en un sistema dada su presión su volumen o su temperatura así que queremos relacionar presión volumen y temperatura la energía interna todos los vídeos que hemos hecho hasta ahorita hemos dicho cuál es el cambio la energía interna y quiero relacionar eso con el calor y ponerlo o para obtener el trabajo hecho por o para el sistema pero ahorita vamos a vamos vamos a determinar cuánta energía interna tiene un sistema y me voy a voy a voy a simplificar muchísimo este experimento mental digamos y yo creo que van a encontrarlo bastante bien y satisfactorio pero bueno digamos que dibujo bueno digamos que tengo un cubo ok creo que creo que ya he hecho esta demostración en algún otro vídeo pero bueno no está nunca además tenerlo en esta lista de termodinámica así que digamos que mi sistema está en este cubo y digamos que sus dimensiones del cubo son x en cada una de las direcciones verdad entonces es x de alto x de ancho y x de profundo así que su volumen su volumen por supuesto es x al cubo digamos que tengo n n partículas en mayúscula si usamos en minúscula eso lo dejamos para moles pero bueno luego lo veremos entonces tengo n partículas y todos están haciendo pues lo que su voluntad les dice sale entonces vamos a hacer una gran simplificación pero en este sistema cada partícula tiene que estar rebotando en cada una de las direcciones en todas las posibles direcciones y eso es digamos si se choca con alguna algún muro rebota de forma elástica es un choque elástico verdad entonces para fines de esta simple simplificación vamos a hacer una suposición voy a suponer que un tercio de todas las partículas están yéndose en la dirección paralela a cada uno de los ejes digamos que un tercio de las partículas se van en esta dirección yo creo que puedo decirle de izquierda a derecha otro tercio de las partículas va arriba y abajo aquí así arriba y abajo y otro tercio de las partículas van hacia adelante y hacia atrás y sabemos que esto no es en realidad cierto pero hacen nuestra matemática más simple y de hecho si hiciéramos la mecánica estadística del problema de todas estas partículas podríamos ver que llegamos a este resultado pero bueno con esto dicho ya no vamos a hacer más este súper simplificaciones excepto que vamos a hacer cambios infinitesimalmente pequeños y vamos a hablar después de este tipo de cosas pero en este sistema debido al movimiento se generará presión con esto dicho vamos a estudiar ahora si el sistema ok entonces digamos que tengo una vista frontal de el sistema vamos a estudiar una única partícula y voy a hacerlo con verde no con café está bien con café entonces esta partícula tiene cierta masa y cierta velocidad verdad se mueve a la derecha y a la izquierda y esta es una de esas partículas de las n que tengo en el sistema ahora tengo curiosidad de cuánta presión ejerce esta partícula en este muro de aquí en este muro de aquí sabemos lo que lo que vale el área de este mundo verdad el área de este muro es x por x que es x cuadrada ok este es el área cuánta fuerza ejerce la partícula en el muro digamos si está yéndose a la derecha y a la izquierda justo así la fuerza ejercida cuando cambia su momento su momento voy a hacer digamos las cuentas porque la fuerza es igual a la masa por la aceleración verdad ahora sabemos que la aceleración es la mã es el cambio en la velocidad es decir también la velocidad sobre el cambio en el tiempo verdad simplemente sustituir y por supuesto esto lo podemos escribir metiendo la constante dentro esto simplemente es el delta o el cambio en la masa por la velocidad y del tate y ese es simplemente el momento verdad así que esto es igual al cambio en el momento respecto al tiempo verdad y esa es otra forma de escribir la fuerza así que cuál es eso para esta partícula bueno está rebotando en esta dirección tiene algún momento digamos mb y está rebotando en este muro así y rebota en sentido contrario bueno si tenemos un choque elástico entonces rebota con la misma velocidad verdad no se pierde calor no se pierde nada en de energía entonces el nuevo momento va a ser menos mb también solo ha cambiado la dirección ahora sí sí si queremos ver cuál es el cambio en el momento baja entonces tenemos que restar el el momento final ajá digamos el cambio en el momento es el momento final la diferencia verdad es el momento final menos el momento inicial que es 2 mb ahora eso no nos da la fuerza aún hay que dividir esto esto entre el cambio en el tiempo del tate esto por unidad de tiempo así que que tan frecuentemente ocurre esto bueno lo que va a ocurrir aquí es que cada vez que yo choco con esta pared la partícula se rebota en la misma dirección pero en sentido contrario verdad que hay entonces que tan frecuentemente esto va a ocurrir bueno eso depende de qué tan largo es el intervalo que tenemos entre las colisiones verdad con el muro bueno la partícula viajando tiene una distancia x verdad hacia la derecha ya la izquierda déjenme hacerlo con otro color entonces esta distancia de aquí es x lo que va a hacer es viajar x hasta la izquierda y luego regresa con otra distancia x es decir viajo 12 x ziketan que tanto es esto bueno vamos a ver del tate es el cambio en el tiempo el tiempo que tarda en regresar al mismo punto después de varios choques es la distancia que es 2x y bueno eso va a ser dividido entre la tasa verdad la velocidad entonces esta es nuestra noción básica de la velocidad nada más que despejando el tiempo y entonces la distancia es 2x dividida por cuál es nuestra tasa bueno es la velocidad verdad entonces dividimos entre b ahí lo tienen entonces está del tate no es otra cosa más que esta expresión ahora nuestro cambio en el momento por unidad de tiempo el cambio de momento por unidad de tiempo es igual a 2 2 mb que es el momento incidente digamos porque el choque el choque tiene un un es un choque elástico y regresa con la misma dirección pero en sentido contrario y entonces al colisionar con este muro aquí hay que dividir entre la velocidad que es 2x sobre b que haciendo las operaciones tenemos 2 mb por b que es y esto dividimos entre 2x verdad y esto simplemente es igual a estas dos se cancelan y tenemos m de cuadrada sobre x muy interesante estamos llegando a un lugar bastante interesante a lo mejor tienes intuición para checar a dónde vamos a ir llegando más o menos pero esta es la fuerza que aplicamos por una partícula verdad esta fuerza es solo de una partícula en este muro la fuerza de una partícula y ahora cuál era el área bueno saquemos con la presión la presión la presión es igual lo escribí acá arriba la presión es igual a la fuerza entre el área es decir fuerza por unidad de área verdad así que si esta es la fuerza de la partícula esto es m de cuadrada sobre x y esto lo dividimos entre el área del muro ahora cuál era el área del muro bueno era x cuadrada verdad si cada uno bueno este muro en realidad es bidimensional y es un muro de un cubo y eso es tiene un área de x cuadrada y esto que es igual esto es igual a m p cuadrada sobre sobre x al cubo verdad simplemente multiplicamos estos dos 2 estas dos expresiones y eso nos da x al cubo ahora lo que tenemos es algo muy interesante la presión ejercida por una partícula digamos vamos a llamarle la presión vamos a llamarle de particular ajá es igual a mb cuadrada m de cuadrada sobre x al cubo pero que es x al cubo pues ese es el volumen de nuestro contenedor ok entonces es sobre el volumen vamos a ponerlo como de grande d mayúscula así que vamos a ver si podemos relacionar esto con algo más eso significa que la presión ejercida por una partícula ok bueno déjenme saltarme un paso cuál es la previa y bueno si ésta es una partícula que choca con un muro ahora si consideramos las n partículas todas las partículas que fracción de ellas van a estar rebotando en este muro ok y van a hacer lo mismo que esta partícula entonces tenemos un tercio de todas las partículas haciendo lo mismo que esta particular que verifique verdad entonces tenemos en total n entre tres partículas chocando de esta forma entonces esta es la presión por cada partícula si quiero tomar toda la presión de todas las partículas entonces la presión total en este muro va a ser n entre 3 multiplicado por la presión de cada una verdad entonces si queremos la total la presión total de en este muro la presión simplemente lo voy a poner presión entre muro por el muro digamos es m de cuadrada sobre b qué es lo que la presión que ejerce una partícula por todas las partículas que tenemos entonces esto es por n entre 3 verdad entre 3 son el número de partículas que están rebotando en esa dirección así que la presión total en este muro es igual a md cuadrada entre el volumen por n entre 3 vamos a ver si podemos manipular un poco las cosas si multiplicamos ambos lados por digamos por si multiplicamos ambos lados por 3 por 3 3 b vamos a poner 3 b entonces tenemos que por b y multiplicamos por b es igual a md cuadrada por n muy bien ahí tenemos verdad entonces si dividimos ambos lados por n entonces vamos a tener que 3 p b centre déjenme déjenme de olviden esto último vamos a dividir mejor ambos lados de esta igualdad por 2 entonces dividimos entre 2 y que nos queda del lado izquierdo el lado izquierdo vamos a tener tres medios de pep por b iguala y esto es muy interesante verdad en el número de moléculas por mb cuadrada entre 2 recuerden solo dividir la ecuación aquí por 2 y esto lo hice por una particular razón quienes m de cuadra entre 2 esto es la energía cinética de esta pequeña partícula que con la que empezamos verdad es la fórmula de la energía cinética y es igual a m p cuadrada sobre 2 ok entonces esta es la energía cinética de una partícula esta es la energía cinética de una partícula ahora lo estamos multiplicando por el número de partículas que hay que son n entonces esto nos da simplemente la energía cinética de todas las partículas ok y supuse que todas las partículas se mueven a la misma velocidad en una situación real podrían tener diferentes velocidades pero bueno era una de nuestras suposiciones iniciales para simplificar todo esto entonces si multiplicamos la energía cinética por el número de partículas es la energía cinética del sistema del sistema y ya casi estamos ahí de hecho ya estamos ahí porque hemos dicho que la energía cinética del sistema es igual a tres medios de la presión por por el volumen ahora cuál es la energía cinética del sistema es la energía interna verdad porque dijimos que la energía del sistema era solo la energía cinética porque era un gas ideal mono atómico y demás sale entonces podremos decir que la energía interna del sistema es igual a es igual a igual a tres medios por la presión por el volumen y podrías decir oye tú lo hiciste para una la presión sobre un lado del cubo verdad y eso en realidad no importa porque la presión en cualquier pared del cubo es la misma entonces esencialmente estamos encontrando lo mismo en cada pared del sistema y bueno así podemos concluir esto ahora que más sabemos que la presión por el volumen es igual la nrc verdad donde n es el número de moles r es la constante en es la constante del gas ideal y t es la temperatura en grados kelvin así que si hacemos esto si sustituimos tenemos tres medios por el número de moles la constante del gas ideal y por la temperatura ahora he hecho bastante trabajo esto es muy matemático pero estos resultantes son estos resultados son muy interesantes porque tenemos una relación entre la presión y el volumen con la energía interna y también una relación entre la energía interna que es la energía cinética con la temperatura ok y el número de moléculas que tengo entonces aquí tenemos la energía interna y ahí hay un par de claves para poder ver esto si la temperatura no cambia en una situación ideal es decir del tate es igual a cero entonces él como el número de partículas y la constante no cambian entonces la que el cambio en la energía interna es cero y si sabemos que hay algún cambio en la energía interna vamos a usar esto en demostraciones próximas esto es igual a tres medios nr y lo único que puede cambiar la temperatura verdad entonces cambio en la temperatura o también podríamos escribirlo como que es tres medios por el cambio en la presión por el volumen no sabemos que sea esto ni si cambia sólo una o ambas pero bueno esto es un poco matemático está bien espero que esto les dé mucho más sentido lo que realmente es la suma de la energía cinética y solo quiero dejar claro que estas variables macro estos macro estados se relacionan con la energía en el próximo vídeo vamos a usar estos resultados o al menos espero ya no se compliquen mucho con estas cuentas