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Tiempo actual: 0:00Duración total:17:08

Demostración: la razón de los volúmenes en un ciclo de Carnot

Transcripción del video

el objetivo de este vídeo es esencialmente demostrar un resultado muy bonito y muy simple y que es que la proporción entre los volúmenes déjenme déjenme escribirlo la proporción entre los volúmenes del estado b y el estado a lo que es es decir esta proporción entre estos dos estados es igual y esto todo esto lo vamos a hacer en un ciclo de carne es igual a la proporción entre los estados entre los estados del estado ce y del estado de ok esta expresión que escribí aquí es la que vamos a demostrar es un resultado bastante sencillo y si ya lo viste y para ti es suficiente ya y ya estás contento con ello puedes dejar de ver el resto del vídeo pero si eres curioso de cómo llegamos a esto bueno nos vamos a meter un poco con las matemáticas va a ser una parte muy divertida y además pues va a satisfacer tu curiosidad de saber si esto es cierto o no entonces vamos a empezar toda esta demostración que sé que sé que todo se resume a entender cuál es el proceso a diabético es decir cuando vamos de b a c y d y desde aaa entonces si no tenemos una transferencia de calor entonces q es igual a cero estamos justo en esa parte del ciclo donde es un proceso a diabético verdad justo en esta en estos dos en estas dos trayectorias ahora estamos en este proceso a diabético es decir aislado del resto del universo verdad por nuestra definición de él o más bien por la primera ley de la termodinámica sabemos que el cambio en la energía interna es decir del tau es igual al calor aplicado a el calor aplicado - menos el trabajo realizado por el sistema - pero el trabajo realizado es la presión por el cambio en el volumen no es decir si se puede escribir de esta forma verdad puedes verlo la presión lo puedes ver como una constante para pequeños cambios del volumen así que si esto es a diabético sabemos que q es igual a cero justo y si eso es 0 entonces podemos sumar p del tav de ambos lados de la ecuación y lo que obtendremos es lo siguiente si estamos en un proceso a diabético que del tau más del tav es decir nuestro cambio en el volumen es igual a 0 y veamos cómo podemos trabajar con esto con esta ecuación para obtener el resultado que tenemos en la mira entonces hace unos vídeos demostramos que a la energía interna del sistema en cualquier momento déjenme escribirlo es desigual ah no perdón es tres medios n r t ok entonces esto es la energía interna y ahora si tenemos un cambio en la energía interna como cambia del lado derecho algo debió haber cambiado bueno tres medios no cambia n tampoco ya que tenemos el mismo número de moléculas r es una constante así que lo único que puede cambiar es la temperatura y ahí lo tienen del tau lo podemos reescribir del tau déjenme ponerlo en otro color del tau lo podemos escribir como tres medios r y el cambio en la temperatura y eso es y esto es por lo cual sigo diciendo que cuando estamos en esta situación la energía interna es esencialmente la energía cinética del sistema es decir si no hay un cambio en la energía interna no hay un cambio en la temperatura no hay un cambio en la energía cinética así que vamos a vamos a enmarcar esto esto no se está midiendo el cambio en la energía interna que esencialmente es el cambio en la temperatura y vamos a ver qué podemos hacer con nuestras ecuaciones de gas es ideal es verdad todo este sistema lo suponemos así y sabemos que la presión por el volumen es igual a la nrc verdad esta ecuación ya la tienes que tener tatuada en la médula para poder seguir trabajando con esto así que si despejamos tenemos que es igual a n rt sobre b muy bien así que vamos a poner estas dos en en un marco y vamos a sustituirlos en la fórmula porque delta u es igual a la primera actuación que tenemos que es tres medios nr del tate más pe que en este caso es en rd sobre b n r t sobre b y que multiplica a delta b al cambio en el volumen ahora bien esto es igual a cero muy interesante esto que podemos seguir haciendo aquí bueno nos va a decir qué es lo que vamos a continuar haciendo esto me está diciendo que me cambio en la energía interna está relacionada con del tate y que el trabajo está relacionado con el cambio en el volumen así que vamos a decir digamos si tenemos pequeños incrementos vamos a llegar a cero para pequeños incrementos así que vamos a ver qué es lo que está pasando con delta ve justo aquí dejen hacerlo en un color más chillante este es el pequeño cambio en el volumen verdad estamos teniendo un pequeño cambio en el volumen y no vemos aquí cuál temperatura andamos pero bueno vamos a pensarlo también en términos de área ok la temperatura cambia un poco verdad es en realidad cambia porque estamos cambiando nos de isoterma y vamos a tener que integrar eventualmente a lo largo de todos los pequeños cambios que hay en la temperatura y en el volumen así que déjenme ver cómo aplicar esto con el cálculo así que vamos a dividir primero todo por mrt entonces dividimos este lado por rn t esté sumando también y por supuesto del lado derecho de la ecuación tenemos que hacer lo mismo ok en este término se cancelan las n las erres y nos queda eso y aquí todo este en rt se va con éste nrc y con que nos quedamos nos quedamos con tres medios aquí tenemos 1 / t por delta t + + 1 / b por delta b que es igual a 0 verdad simplemente 0 / cualquier cosa es 0 ahora vamos a integrar todo a lo largo de todos los pequeños cambios dt y debe a así que déjenme cambiar a la terminología de cálculo vamos a hacer hacer sumas infinitesimalmente pequeñas baja en del tate y delta b entonces vamos a tener tres medios de uno sobre t por de t más uno sobre b por db y esto es igual a cero entonces recuerden que esto significan cambios muy muy pequeños en el volumen estos son cambios muy muy pequeños en la infinitesimal mente pequeños en la temperatura verdad y lo que ahora quiero hacer es ver cuál es el cambio total en la temperatura ok y el cambio total en el volumen entonces vamos a hacer eso así que esto lo integramos desde nuestra temperatura inicial hasta nuestra temperatura fina ajá y vamos a integrar este término desde el volumen inicial al volumen final aquí hay herramientas de cálculo que nos ayudan a justificar este proceso que realmente es por ejemplo el cuando hacemos un cambio de variable verdad con eso podríamos integrar de esta forma pero bueno ahora chequeamos cuál es la anti derivada de 1 entre t pues ya sabemos que es el logaritmo natural de t y esto lo tenemos que evaluar desde la temperatura final hasta la inicial ok más vamos a encontrar cuál es la anti derivada de 1 entre b pues otra vez es el logaritmo natural el logaritmo natural de b y esto lo evaluamos bueno tenemos el volumen final menos al volumen inicial y ahora esto va a ser igual a cero digo si integramos de ambos lados al integrar del lado derecho pues en realidad la integral de 0 es 0 verdad muy bien entonces esto es igual a cero vamos a ver que podemos seguir haciendo entonces este estrés bueno vamos a ponerlo así tres medios y el logaritmo natural de una resta que es de la temperatura final - la temperatura inicial en realidad lo puedo poner como el logaritmo natural del cociente es decir de la temperatura final entre la temperatura inicial ok cuando evaluamos arriba tenemos logaritmo natural de la temperatura final y luego cuando evaluamos abajo es menos el logaritmo natural de la temperatura inicial ahora bien tenemos logaritmo natural del volumen final entre el volumen inicial de la misma forma que hicimos con la temperatura ok que es el logaritmo del volumen final menos logaritmo de volumen inicial entonces eso se traduce en un cociente ahora este tres medios que tenemos aquí este tres medios lo puedo meter a logaritmo natural no multiplicando sino como un exponente entonces todo esto lo elevó a la tres medios y si usamos aún las propiedades del logaritmo tenemos suma de logaritmos eso es igual al logaritmo de un producto así que esto va a ser igual déjenme cambiar de color esto va a ser igual al logaritmo natural de t efe entre ts por perdón a la 3 medios y esto multiplicando a df entre bs ok ya son bastantes cuentas verdad es el logaritmo natural de todo esto y es igual a cero ahora que podemos decir bueno si tenemos este logaritmo natural que nos da 0 qué número nos da que es un logaritmo naturales 0 bueno todo lo de adentro tiene que ser igual a 1 verdad es decir es decir vamos a tener que escribirlo de esta forma que te f ajá / t s que es la temperatura inicial a la 3 medios que multiplica al volumen final sobre el volumen inicial esto es igual a 1 para que el logaritmo natural nos dé 0 verdad muy bien ya ya ya trabajamos bastante para poder tener este resultado que ya en sí es bastante interesante pero ahora vamos a usar todavía que estamos en este proceso a diabético y bueno todo esto que hicimos en resumen fue tomar las fórmulas de la energía interna y de los gases ideales lo aplicamos al cambio de la energía y entonces obtuvimos al integrar a lo largo de todos los pequeños cambios de la temperatura y el volumen obtuvimos este resultado que ya es bastante bueno ok y eso es porque el logaritmo natural de un número que no si nos da 0 quiere decir que es el número tenía que ser 1 verdad el logaritmo natural de 1 es igual a 0 así que fijémonos en el volumen b está en temperatura 1 y el volumen se que está en temperatura de 2 verdad fíjense en el vídeo del ciclo de carne por si ya no se acuerdan muy bien de esto pero bueno están en isotermas distintas entonces aquí estamos en temperatura 1 y aquí en temperatura 2 aquí volumen sé muy bien así que en esta parte del justo del proceso al final en está en nuestra fórmula final nuestra temperatura final teníamos que es temperatura 2 / temperatura 1 y esto elevado a la 3 medios ahora cuál era nuestro volumen final bueno era del estado cde verdad es decir volumen c / volumen b que era donde iniciamos nuestro proceso a diabético y esto debe ser igual a 1 ahora vamos de vuelta al proceso a diabético pero ya no vamos a pensar lo debe hacer del estado de hace ya que nos dan nuestros volúmenes iniciales y finales ahora vámonos debe a que también es un proceso a diabético es decir podemos aplicar lo mismo y aquí la temperatura final pues es cuando estamos en el estado a que justamente es la temperatura 1 ok aquí en la estamos a la temperatura 1 que es nuestra nuestra temperatura final entonces la temperatura final es de 1 y la temperatura inicial es en el estado de que era la temperatura 2 esto lo elevamos a la 3 medios y ahora multiplicamos por el volumen final que en este caso es el volumen si se dan cuenta que está volumen final entonces es volumen en a sobre el volumen inicial que es en el estado de y esto es igual a 1 muy bien ya casi estamos ahí a lo mejor tus ojos ya están empezando a ponerse en blanco de la emoción porque esto ya se parece mucho y si seguimos haciendo un poquito de matemáticas vamos a ver ya casi podemos relacionar ambas ambas este ambos resultados son lo que vamos a tener que tomar el recíproco de ambos lados de la primera ecuación así que obviamente si tomamos el recíproco de esta cosa esto es de 2 / t 1 al menos 3 medios o podríamos simplemente pensarlo como que tomó de uno sobre t 2 de 1 sobre t 2 a la 3 medios ok este es el recíproco de la parte naranja y que multiplica al recíproco de la otra parte que es bebé sobre bc y esto es el recíproco de uno que es uno verdad sigue siendo el mismo ok y eso iguala a esta segunda actuación verdad porque ambos son iguales que uno es decir que t 1 / t 2 a la 3 medios por eb ea / v y ahora estas dos naranjas son iguales bueno antes que nada estas dos expresiones son iguales déjenme ponerlo bien porque hay parece que son desiguales ambos igualan a uno entonces son iguales entre sí así que podemos poner que estas dos expresiones son iguales y tenemos que la parte naranja es la misma así que podemos cancelar la verdad podemos cancelar esta parte naranja si se desaparecen y con que nos quedamos ya casi ves la línea final de este ejercicio verdad porque tenemos que bb sobre vece es igual a vea vea sobre bebé ahora no es exactamente el resultado que queríamos pero con un poquito de aritmética llegaremos ahí simplemente vamos a multiplicar cruz de forma cruzada y tenemos bebé por bebé es igual a vea por pc por bc por vea es lo mismo ok si dividimos ambos lados por déjenme ver cuál cual nos funciona déjenme dividir déjenme dividir todo del lado izquierdo y del lado derecho vamos a dividir sobre b de b a bb b tenemos esta división muy bien entonces que obtenemos del lado derecho se cancelan las veas y del lado izquierdo las veces así que obtenemos bb sobre vea es igual abc sobre b de todo eso funciona bastante bien es un resultado muy bonito muy muy muy ilustrativo y digo aunque a lo mejor las las operaciones y los cálculos son un poquito engorrosos y medio peludos en realidad todo esto lo obtenemos al tratar un proceso a diabético en donde nuestro cambio en el calor es cero y obtuvimos nuestra fórmula para relacionando el cambio del volumen con la energía interna que en esencia es el cambio en la temperatura y que esto debe ser igual a cero verdad entonces el trabajo realizado si te das cuenta es un trabajo negativo pero cuando opten obtuvimos el resultado de la energía interna en un vídeo anterior que es tres medios nrc entonces podemos podemos relacionar el cambio de la energía interna con el cambio de la temperatura integramos a lo largo de todos los pequeños cambios en temperatura y volumen para movernos a lo largo de esta línea ajá tomamos todos los cambios y eso lo igualamos a cero terminamos con esta fórmula de aquí aplican aplicado a dos procesos a diabéticos distintos cuando vamos de cee perdón de véase idea y obtuvimos esta última línea nos vemos en el próximo vídeo