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Reconciliar las definiciones termodinámica y de estado de la entropía

Transcripción del video

si ha seguido las matemáticas y algunos de los principios de termodinámica de los últimos vídeos lo que ocurre en este vídeo quizás puede volar tu mente no quiero hacerte más expectativas altas vamos a empezar mejor digamos que tengo este contenedor y que en el contenedor tengo partículas de un gas ok adentro del contenedor están rebotando todas estas partículas tienden a crear cierta presión en el contenedor y con cierto volumen y digamos que hay aquí n partículas ok tenemos en partículas cada una de estas podrían estar en equis estados diferentes déjenme escribirlo aquí okay cada partícula la partícula puede estar en equis distintas posiciones o diferentes posiciones estados que quiero decir con estado oposición bueno digamos que una partícula déjenme poner que esta partícula está solita tiene cierta velocidad y también puede puede estar en alguna posición de este contenedor verdad podría estar arriba o acá con cierta velocidad si sumamos el la los distintos estados a los que podría estar tendremos que puede estar en equis distintos estados no sé podríamos tener este estado y tener en partículas y cada una a tener en x distintos estados eso podría ser ahora si cada una tiene x estados distintos cuántos estados distintos puede tener el sistema bueno si una partícula a puede tener x distintos estados y otra partícula digamos puede estar en otros equis estados entonces de dos partículas al multiplicarlo tenemos los posibles estados en los que pueden estar ambas partículas verdad entonces si multiplicamos es por cada por cada partícula que tenemos en el sistema es decir por cada partícula multiplicamos x veces ya que tenemos x distintos estados tenemos en total x multiplicado n veces y eso es simplemente tenemos x a la n verdad y eso es todo en la cantidad de estados distintos que puede tener este estado es perdón a este sistema el potencialmente los distintos estados que se pueden presentar en este sistema entonces por ejemplo si tuviéramos sólo 3 entonces tendríamos x x x x x 3 moléculas tendríamos x x x x x y eso es x al cubo entonces al final este número realmente se reduce a x elevado a la n x elevado a la n de nuestro sistema ok ahora digamos que queremos pensar en cuántos estados un sistema puede tener ciertos estados tienen menos digamos quizás si tuviera un contenedor más pequeño también podría tener menos estados potenciales es decir si depende mucho de cómo está distribuido este sistema por ejemplo puede depender del volumen verdad voy a crear un estado una variable de estado que me diga cuántos estados puede tener este sistema cuántos estados distintos y me dice esta variable va a ser cuántos estados puede tener este sistema así que le voy a llamar s que es la primera vez en termodinámica que creo que usamos una letra que se relaciona con con su nombre ok entonces vamos a medir ese que son los estados distintos que se pueden presentar en el sistema ok y como este número es muy grande voy a tomar el logaritmo natural de este ok sólo para definirlo voy a poner un logaritmo natural o que hay un logaritmo natural de x a la n ok aquí lo voy a poner entonces logaritmo natural de x sale en esto es el número de estados potenciales que hay o qué número de estados potenciales y ya saben pues siempre hay que multiplicarlo por algún factor de escala digamos así que déjenme ponerle una una constante aquí que le va a llamar no sé una caja ok sólo para que nuestras unidades queden bien definidas y demás entonces esta es mi variable de estado si me dan un sistema yo debo en teoría poderles decir cuántos estados el sistema puede tomar muy bien entonces déjenme encerrar esto en una cajita ahora ya que tenemos esto bien contemplado ok déjenme copiar este sistema copiar y pegarlo como esta cajita y lo que voy a hacer es poner otra cajita al lado de esta que va a compartir este muro son digamos que son idénticas en tamaño ok pero aquí en el dibujo no pero vamos a suponer eso qué pasaría si yo de repente evaporó así de la nada desaparezco esta pared ok la vapor hizo de repente bueno en el primer momento en el que yo la desaparezca esta no va a ser un proceso isostático verdad todo esto se va va a romper el esquema que ya tenía y las partículas van a empezar a rebotar fuera de ese muro que desaparece se van a empezar a mover hacia la derecha van a empezar a rebotar también en los otros muros de este nuevo contenedor que agregué porque pues si ya no tienen en dónde retener se se empiezan a difuminar a lo largo de este nuevo sistema verdad así que la presión empieza a entrar en flujo el volumen también entre el flujo y no podemos no estamos en un proceso en donde podamos definir el volumen o la presión verdad están cambiando todo el tiempo así que este volumen digamos el cielo original era b1 en realidad ahora aumentamos dos veces el volumen del contenedor pensemos sobre alguna otra variable de estado por ejemplo en la presión la presión por supuesto va a bajar porque aumentamos el volumen de hecho duplicamos el volumen pero qué pasa con la temperatura bueno la temperatura si cambia a ver veamos la temperatura es el promedio de la energía cinética más o menos así que todas estas moléculas de aquí tienen cierta energía cinética podrían tener distintas cantidades de energía pero la temperatura es una medida digamos del promedio ahora si quito este muro que mantenía las moléculas cambia la energía cinética pues no lo cambia así que la temperatura se mantiene constante y aquí tiene temperatura de 1 entonces la temperatura de este nuevo sistema también este 1 y tú podrías decir oye espera cuando en el pasado en nuestro cilindro expandimos el sistema la temperatura bajaba y la razón era porque cuando lo expandimos era a través de un pistón que generaba cierto trabajo verdad entonces la energía cinética de las moléculas se transformaba en un trabajo realizado en este caso solo desaparecido la pared y estos tipos no realizaron ningún tipo de trabajo no realizaron ninguna expansión del sistema así que la temperatura no cambia así que esto es interesante pero bueno en este nuevo mundo qué es lo que ocurre que eventualmente llega una situación en donde mis moléculas llenan todo el contenedor verdad y sabemos no sea al menos del sentido común que esto ocurre no es un misterio bueno en esta dirección empiezan a rebotar dentro de este sistema y van a seguir rebotando hacia todos lados de este nuevo de este nuevo contenedor así que eventualmente van a tener que llegar a todas las partes de este sistema ahora vamos a hacer cierto algunos cálculos por aquí en esta situación anterior cada particular podría estar en x lugar es bueno no no no no podía estar en x podría tener x estados verdad ahora puede tener el doble de estado es verdad porque cada partícula puede estar en 2 2 desde 2x estados diferentes cada partícula puede estar en esos estados nuevos y porque es el doble bueno los estados solo en realidad se refiere a la posición y a la velocidad entonces por ejemplo pensemos en una sola partícula que puede estar en lugares distintos y que tiene momentos distintos ok ve momentos que centrados en realidad de velocidades distintas entonces a este le llamamos x ahora si tengo el doble de volumen en realidad puede estar en dos a lugares distintos y puede tener las mismas velocidades correcto entonces esto simplemente se reduce a 2a por b que es 2x aunque entonces puede estar en 2x estados distintos si duplicamos el volumen a través de este experimento que estamos haciendo entonces cada partícula puede estar en dos equis estados ok entonces si tenemos n multiplicamos 2x n veces así que en nuestra nueva s digamos si ésta era la s inicial y ahora tenemos ese final aunque estamos midiendo la cantidad de estados distintos a las que puede estar este sistema y tenemos que a veces el logaritmo natural del número de estados potenciales que puede haber en el sistema que es 2x a la n entonces aquí va 2x a la n así que me pregunta para ustedes es cuál es el cambio en s cuando borre la pared que separaba este este nuevo sistema entonces por ejemplo aquí duplicamos este cuarto al doble y está al desaparecer esta pared ahora obteníamos este nuevo sistema la temperatura no cambia así que la energía cinética se mantiene verdad por cierto olvide decirles que este era un proceso a diabético no hay intercambio de calor así que la temperatura no cambia cuál es nuestro cambio en ese nuestro cambio en ese va a ser igual a nuestra es el final menos la s inicial que es igual a quienes la s final esto es esta expresión de aquí esto es que por el logaritmo natural de dos y dos a la enee x a la n verdad esto distribuyendo el exponente y le restamos la s inicial que quién era ese inicial aquí está cada logaritmo natural de x a la n a logaritmo natural de x a la n ahora podemos usar nuestras propiedades de logaritmo bueno ya sabes que el logaritmo de a menos veces simplemente dividirlos verdad esto es igual a k factor izando laca de ambos términos logaritmo natural de 2 a la nx10 pm estoy confundiendo porque estoy poniendo n minúscula y en realidad es n mayúscula n minúscula es para moles verdad espero que disculpen este error vamos a corregir esto entonces es 2 a la n x a la n sobre x a la n verdad así que estos dos se cancelan y simplemente me queda que esto es el cabeza es logaritmo natural de 2 a la n mayúscula o si seguimos usando estas propiedades la n puede salir del logaritmo multiplicando y poder finalmente tendríamos que el cambio en ese es el cambio en esta variable de estado que no sabemos aún exactamente qué es exactamente es igual a k o más bien sacamos la n primer 10 n n a logaritmo natural de 2 así que al borrar esa pared obtuvimos que el número de moléculas tiene dos lugares o dos estados perdón el doble de estados posibles y haciendo todas estas operaciones nos queda que el cambio es esta expresión y que fue lo que ocurrió realmente el digo claramente subieron el número de estados que podía tener porque este es un número positivo logaritmo natural de 12 es positivo n es positivo y vamos a definir esta acá como un valor positivo entonces todo esto tiene un valor positivo y si el cambio fue positivo quiere decir que ahora hubo más estados posibles ok esto fue al volar de repente a la pared ajá tenemos más estados posibles tiene más cosas distintas que puede hacer y voy a voy a escupir una palabra muy rara que estoy diciendo que la entropía subió es decir esto viene a esto le vamos a llamar la entropía la entropía ha subido qué quiere decir en esencia el número de estados que tiene el número de estados posibles que tiene verdad estoy definiendo ese como el entropía entonces estados en con los que estamos lidiando ha subido ha subido por cierto factor de hecho va a subir un factor de n por logaritmo natural de 2 verdad esto está muy bien perfecto ya tenemos una forma estadística más o menos de interpretar esta este concepto que es una forma muy combinatoria de medir cuántos estados tiene el sistema y si miramos el número de moléculas que tenemos podemos determinar perfectamente el número de estados que tiene el sistema ahora como esto se relaciona con la s que definió en el vídeo anterior recordemos que en el vídeo anterior yo estaba buscando una función de estado que lidiará con el calor y definí ese o más bien definía el cambio n se definía el cambio en s como el calor agregado entre la temperatura a la cual fue agregado ok entonces veamos si podemos relacionar estas dos heces distintas principio que encontramos así que déjenme relacionar la volvamos de nuevo a nuestro diagrama pv de presión volumen y veamos si podemos sacar algo útil de ahí vamos a hacer nuestro diagrama ahí están los ejes muy bien ok entonces esta es la presión este es el volumen ahora cuando empezamos y antes de volar la pared digamos que teníamos cierta presión y volumen aquí este es un volumen de 1 después borré la pared y ok déjenme hacerlo un poquito diferente no quiero que esté ahí déjenme déjenme ponerlo en otra posición déjenme ponerlo por aquí aunque entonces este es nuestro volumen 1 y este es nuestro estado original en el que nos encontrábamos así que este es el estado inicial ok entonces al borrar la pared doblamos el volumen verdad duplicamos el volumen así que tenemos este nuevo volumen que es 2 b 1 y al doblar al duplicar el volumen tenemos otra nueva presión que es menor verdad y eso nos define el estadio 2 el estado 2 así que como este no era un proceso cuasi estático no puedo dibujar la trayectoria que va de s1 s2 ok aquí al quitar la pared entramos a un proceso de flujo que no me permite definir bien la presión y el volumen ok no es no fue un proceso casi estático entonces en realidad no sabemos qué fue lo que pasó entre el estado s 1 y el s2 así que si quiero determinar que / t o el calor entre la temperatura que vivimos en el vídeo anterior si yo tuviera un un proceso isotérmico para empezar y además que fuera un proceso casi estático entonces podría determinar una trayectoria que vaya de s1 s2 y si tuviera esa situación ok ahora la recordemos que la s es una función de estado vimos que el cambio era cero pero siempre y cuando tuviéramos procesos cuasi estáticos así que el cambio en esta entropía déjenme cuidar más mis palabras el cambio en ese que es ese 2 - ese 1 debería ser independiente debería ser independiente de la trayectoria que yo recorra ok es decir sólo depende de el punto final y el punto inicial no importa qué trayectoria lo que hayamos tomado verdad por ejemplo puede haber tomado algo así ok así que cualquier trayectoria que vaya de s1 s2 tendrá el mismo calor yendo dentro del sistema de que cualquier sistema que vaya de ese 1 a ese 2 no importa su trayectoria tendrá el mismo cambio la entropía o el mismo cambio en en la variable s porque aquí ese era algo que no dependía de otra cosa más que su posición en el diagrama así que qué sabemos de este tipo de sistemas bueno supongamos entonces que lo hubiera hecho de forma isotérmica es decir que me estoy yendo por una curva isoterma donde sabemos que la temperatura no ha cambiado ok porque no no le hemos agregado energía cinética a las partículas es verdad digamos que pienso en un proceso teórico en el cual en vez de hacer algo así como de volar una una pared baja en vez de eso digamos tengo aquí mi contenedor original sus moléculas y le pongo un depósito de calor que está cierta temperatura de 1 y aquí podría pensar en un pistón en donde a lo mejor tenía ciertas rocas que están empujando esto hacia la izquierda baja así y poco a poco vamos removiendo estas rocas a lo mejor con granitos y los gases van empujando el pistón para realizar cierto trabajo y hasta recorrer y recorrer este volumen entero aunque entonces la temperatura se mantiene constante debido al depósito de calor y este tipo de proceso digamos es una versión horizontal de lo que hacíamos con el ciclo de carnota verdad así que iríamos ahora de ese 1 a ese 2 a lo largo de una curva isoterma por ser un proceso cuasi estático y se vería algo así como una comunidad hipérbola o un pedazo de una hipérbola para este proceso cuál es el área debajo de esta curva cuál es el área entonces bueno el área debajo de la curva simplemente es la integral la integral ya hemos hecho muchas veces esto de nuestro volumen inicial al final que es el doble ok de la presión por diferencial de b ajá y p es simplemente nuestra altura en esta gráfica y esto va sumando áreas de rectángulos infinitamente delgados y que nos da el área esencialmente eso es lo que estamos haciendo para obtener el trabajo y el trabajo que éste el sistema realiza por ser un proceso isotérmico es igual al calor que le agregamos porque nuestra energía interna no cambia así que esto que es hemos hecho esto un buen de veces así que déjenme ponerlo de una vez esto es la integral debe 1 2 b 1 de p pero pepe es igual a en rt así que p es igual a n rt sobre b diferencial debe ok este es una temperatura 1 todo esto ocurre a lo largo de una curva isoterma así que esto es integre esta es la integral de v1 a2 b1 sacamos las constantes en rt 1 y queda la integral de 1 entre b bebe y hecho esta integral muchas veces así que de una vez me voy a saltar unos varios pasos y esto me queda nrc uno por el logaritmo natural de 2 b 1 sobre b 1 y entonces los ve unos se cancelan porque bueno primero la anti derivada de 1 entre bs el logaritmo natural nos queda este cociente y simplemente nada más de cancelar esa parte de v1 nos queda nrc 1 logaritmo natural de 2 muy interesante ahora vamos a agregar un detallito más un detallito interesante a esta ecuación así que en rte si yo quisiera escribirlo en términos del número de moléculas n estã n minúscula podría reescribir la como el número de moléculas sobre 6 por 10 a la 23 verdad muy bien eso es lo que estã n minúscula significa así que qué bueno recordemos que todo esto lo tratábamos de encontrar para ver la cantidad de trabajo realizado por el sistema verdad pero si lo hacemos de esta forma la ecuación se convierte en bueno déjenme ver el trabajo como es un proceso casi estático va va de este estado el inicial al al estado 2 va a hacerlo en una forma cuasi estática y eso se traduce al área debajo de la curva pero el trabajo realizado por este sistema es igual a n r sobre 6 por 10 a la 23 por t 1 logaritmo natural de 2 que esto es lo que obtuvimos ahorita ok vamos a llamar a esto una nueva constante que le va a poner acá convenientemente verdad y que de hecho éste se reduce a nk que de hecho se llama la constante de boltzmann ok simplemente es r dividirlo entre 6 por 10 a la 23 por t 1 logaritmo natural de 2 muy bien ahora esto es en esta situación la otra situación en no realizamos ningún trabajo porque no podríamos describir la trayectoria así que este sistema hizo cierto trabajo y como lo hicimos a lo largo de una isoterma el cambio el cambio la energía interna es igual a cero así que el cambio en la energía interna es igual al calor aplicado al sistema menos el trabajo realizado por el sistema y finalmente si esto es cero tenemos o concluimos que el trabajo realizado es igual al calor que le agregamos así que el calor agregado al sistema para por nuestro depósito de calor va a ser igual el calor agregado va a ser igual a nk porque uno baja por la temperatura de la que estábamos en la isoterma por el logaritmo natural de 2 ok entonces esto puede multiplicar por dos el volumen ahora en el último vídeo definía el cambio en s como q / t verdad que es que el calor agregado entre la temperatura la cual fue agregado así que para este sistema que es un sistema casi estático cuál fue el cambio en ese que tanto se cambió mi s mi estado s qué es el calor agregado entre la temperatura de uno así que si sustituimos esto es n por la constante de boltzmann por t 1 logaritmo natural de 2 y dividimos todo esto entre t 1 así que estos se cancelan y simplemente nos queda que nuestro cambio en ese nuestro camiones es igual a n k logaritmo natural de dos y ahora deberías empezar a tener una experiencia de esos que uno dice ah claro porque cuando definimos en el vídeo anterior esta está este cambio en el en la variable s solo vimos que era una variable de estado aceptable ok definiéndolo de esta forma que era el calor aplicado entre la temperatura a la cual el calor fue aplicado y cuando usamos esta definición el cambio en nuestro valores de esta posición a otra sólo depende del inicio y del final verdad y resultó ser esto ahora esto es una función de estado es una variable de estado no es dependiente de la trayectoria así que en cualquier proceso es esto toma el mismo valor de este punto a este otro punto no importando la trayectoria que yo recorra ok esto va a tomar un cambio en ese que es igual a n a logaritmo natural de 2 cualquier sistema por definición verdad no importa cómo nos movimos a lo largo de esta trayectoria pudo haber sido muy loco solo es una función que depende del estado inicial y el final así que cuando empezamos el vídeo empezamos con esta nueva definición de la s ajá moviendo el volumen al volar la pared y demás pero en el vídeo anterior con esta definición de cambio de s llegamos a que se obtienen las mismas expresiones ok y bueno ahí habría que refinar algunos detalles de las constantes pero obtuvimos el mismo resultado desde un punto de vista estadístico baja del número de estados distintos que puede tomar el sistema y lo que es algo para viajar la mente es que es es una bonita es un bonito macro estado en el mundo digamos de los de las máquinas de carnota estamos midiendo realmente el número de estados que el sistema puede tomar así que todo este vídeo largo que hasta parecería fácil de hacer en dos vídeos es una introducción de la entropía la entropía y en termodinámica un cambio en la entropía baja la entropía es ese yo creo que se refiere a estados en inglés por ejemplo en un ciclo de carnoedo en una máquina de carne es el calor agregado entre la temperatura la cual se agregó ahora en nuestro mundo de la mecánica estadística podríamos definir la entropía como una constante ok una constante que de hecho es la constante de boltzmann baja que está constante que multiplica que multiplica al logaritmo natural del número de estados que tenemos que el número de estados vamos a llamarle omega ok a veces a veces es conveniente hacerlo de esta forma y lo que he mostrado en este vídeo es que son definiciones equivalentes al menos para algunos de estos casos no para este caso en donde hice este experimento de incrementar el volumen verdad y obtuvimos este mismo resultado y cuando usamos la definición termodinámica también llegamos a ese mismo resultado si suponemos que esta constante es la misma y realmente es la misma la misma constante de boltzmann entonces nuestra definición nuestras dos definiciones son equivalentes y la intuición de entropía quizás sigue costando trabajo porque no es realmente fácil de entender pero el cambio en la entropía más y significa más o menos el cambio del número de estados que el sistema puede tener ya sabes al veces en alguna clase de química te dirán que es similar al desorden del sistema pero no quiero que piensen en el desorden como si estuviéramos hablando de un cuarto no sé de tu habitación que está muy desordenada sino no quiero que hablemos de ese caso más bien pensemos en un estadio lleno de gente tienen más estados un estadio lleno de gente que un estadio sin gente ok tiene tiene mayor entropía o quizás debería ser más cuidadoso el estadio a una alta temperatura digamos a mitad del día que cae todo el sol tiene más entropía que lo que hay dentro de mi refrigerador que las partículas en el estadio tienen más estados que las partículas en mi red en mi refrigerador y así que les voy a dejar con estas dos definiciones que ya vimos que son equivalentes en estos y vamos a aplicar esto para hablar un poquito de la segunda ley de la termodinámica de hecho esto está omega que escribí aquí como les decía en realidad es 2 a la n verdad son 2 a la n para el caso en que tenía el volumen inicial perdón cuando cuando yo tenía x la primera vez era x a la n 2 alain perdón y al multiplicar por dos el tamaño del cuarto entonces tenía 2 a la enee x a la n solo quiero asegurarme de que está omega se relacione con lo que vimos en este vídeo de cualquier modo nos vemos