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¿Qué es la distribución de Maxwell-Boltzmann?

En un gas, hay un montón de moléculas que viajan a un montón de velocidades distintas. Aquí hay un marco teórico para pensar sobre esto.

¿Qué es la distribución de Maxwell-Boltzmann?

No todas las moléculas de aire que nos rodean viajan a la misma velocidad, incluso si todo el aire se encontrara a la misma temperatura. Algunas de las moléculas se estarán moviendo muy rápido, algunas muy lento y otras apenas se moverán. Debido a esto, no tienen sentido preguntas como "¿Cuál es la velocidad de una molécula de aire en un gas?", ya que, dentro de una gama enorme, podría tener cualquier velocidad.
Así que en vez de preguntarnos por una molécula particular en un gas, nos hacemos preguntas como "¿Cuál es la distribución de velocidades en un gas a una temperatura dada?". De mediados a finales del sigo XIX, James Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann encontraron la respuesta a esta pregunta. Su resultado es referido como la distribución de Maxwell-Boltzmann, porque muestra cómo están distribuidas las velocidades de las moléculas en un gas ideal. La distribución de Maxwell-Boltzmann se representa a menudo con la siguiente gráfica.
El eje vertical de la gráfica de Maxwell-Boltzmann puede pensarse como el número de moléculas por unidad de velocidad. Así que, si la gráfica es alta en una región dada, significa que hay más moléculas del gas moviéndose a esas velocidades.
Observa que la gráfica no es simétrica. Hay una "cola" más larga en la zona de altas velocidades, a la derecha de esta. La gráfica continúa hacia la derecha hasta velocidades extremadamente grandes, pero hacia la izquierda debe terminar en cero (puesto que una molécula no puede tener velocidades menores que cero).
La ecuación matemática para la distribución de Maxwell-Boltzmann es un poco intimidante y no es típicamente requerida en la mayoría de los cursos introductorios de álgebra.

¿Qué es la velocidad media cuadrática?

Puedes pensar que la velocidad que se localiza directamente bajo el pico de la gráfica de Maxwell-Boltzmann es la velocidad promedio de una molécula en el gas, pero esto no es verdad. La velocidad situada directamente bajo el pico es la velocidad más probable vp, ya que la probabilidad de que una molécula en el gas tenga esa velocidad es máxima.
La velocidad promedio vprom de una molécula en el gas se localiza un poco a la derecha del pico. La razón de que la velocidad promedio se encuentre allí es la larga "cola" en ese lado de la gráfica de la distribución de Maxwell-Boltzmann. Esta larga cola jala la velocidad promedio un poco a la derecha del pico de la gráfica.
Otra cantidad útil es conocida como la velocidad cuadrática media o media cuadrática de la velocidad vrms. Esta cantidad es interesante su definición está escondida en el nombre. La media cuadrática es la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las velocidades. En este contexto, media es otra palabra para decir promedio. Matemáticamente, podemos escribir la velocidad cuadrática media como,
vrms=1N(v12+v22+v32+)
Pudiera parecer que esta técnica para encontrar un valor promedio es innecesariamente complicada, pues hemos elevado al cuadrado todas las velocidades solo para después sacar la raíz cuadrada. Te puedes estar preguntando "¿Por qué no simplemente tomamos el promedio de las velocidades?". Pero recuerda que la velocidad es un vector y tiene dirección. La velocidad promedio de una molécula en un gas es cero, pues hay casi las mismas moléculas yendo hacia la derecha (velocidad positiva) como hacia la izquierda (velocidad negativa). La razón por la cual primero elevamos al cuadrado las velocidades es para obtener solo cantidades positivas y así asegurarnos de que la media (es decir, el valor promedio) sea distinta de cero. Los físicos a menudo usan este truco para promediar cantidades que pueden ser tanto positivas como negativas (por ejemplo, el voltaje y la corriente en un circuito de corriente alterna).
Debemos observar que las tres cantidades (vp, vprom, y vrms) son bastante grandes, aún para un gas a temperatura ambiente. Por ejemplo, un gas de neón a temperatura ambiente (293 K), tiene velocidad más probable, velocidad promedio y velocidad cuadrática media de al rededor de,
vp=491ms (o 1100mihr)
vprom=554ms (o 1240mihr)
vrms=602ms (o 1350mihr)

¿Qué representa el área bajo la curva de la distribución de Maxwell-Boltzmann?

El eje vertical de la gráfica de distribución de Maxwell-Boltzmann nos da el número de moléculas por unidad de velocidad. El área total bajo la curva es igual al número total de moléculas en el gas.
Si calentamos el gas a una mayor temperatura, el pico de la gráfica se moverá hacia la derecha (dado que la velocidad molecular promedio aumentará). Conforme la gráfica se mueva hacia la derecha su altura disminuirá, de manera que el área total bajo la curva se mantenga igual. Similarmente, conforme se enfríe un gas y su temperatura baje, el pico de la gráfica se moverá hacia la izquierda y su altura aumentará, de manera que se preserve el área debajo de esta. En las curvas mostradas abajo, que representan un gas (con una cantidad constante de moléculas) a diferentes temperaturas, podemos observar este fenómeno.
Conforme el gas se enfríe, la gráfica se volverá más alta y angosta. De manera similar, conforme se caliente, la gráfica se volverá más pequeña y ancha. Esto es una condición necesaria para que el área bajo la curva (es decir, el número total de moléculas) se mantenga constante.
Si se agregan moléculas a la muestra de gas, el área total bajo la curva aumentará. Análogamente, si hay moléculas abandonando la muestra, el área total bajo la curva disminuirá.

¿Cómo se ven algunos ejemplos resueltos que involucran la distribución de Maxwell-Boltzmann?

Ejemplo 1: enfriar un gas

Un gas de nitrógeno diatómico se encuentra en un contenedor sellado. El contenedor es colocado en un baño de hielo y llega a una temperatura de equilibrio más baja de la que se encontraba originalmente.
¿Qué pasa con las siguientes cantidades conforme el gas se enfría (selecciona dos afirmaciones correctas)?
Elige todas las respuestas adecuadas:

Ejemplo 2: el cambio en un gas

Un gas cuenta con una distribución de velocidades que se ve de la siguiente manera:
¿Cuáles de las siguientes acciones podrían causar que la gráfica de distribución cambie de la curva 1 a la curva 2, como se muestra abajo?
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