¿Qué es la inercia rotacional?

¿Cómo se relaciona la inercia rotacional con la segunda ley de Newton?

Un motor capaz de producir una torca constante de $100\mathrm{Nm}$‍ y una velocidad de rotación máxima de $100\mathrm{Nm}$‍ se conecta a un volante con inercia rotacional de $0.1\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$‍. ¿Qué aceleración angular experimentará el volante cuando se enciende el motor?

Solución

Solución

Al reacomodar la versión rotacional de la segunda ley de Newton y sustituir los números encontramos:

$\begin{array}{rl}\alpha & =\frac{\tau }{I}\\ & =\frac{100\mathrm{Nm}}{0.1\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2}\\ & =1000\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2\end{array}$‍

¿En cuánto tiempo el volante tendrá una velocidad constante si parte del reposo?

Solución

Al usar cinemática rotacional,

$\omega ={\omega }_0+\alpha t$‍

Ya que sabemos la velocidad de rotación máxima del motor, podemos encontrar el tiempo que lleva acelerar hasta esa velocidad rotacional.

$\begin{array}{rl}t& =\frac{{\omega }_{\max }}{\alpha }\\ & =\frac{150\mathrm{rad}/\mathrm{s}}{1000\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2}\\ & =0.15\mathrm{s}\end{array}$‍

¿Cómo podemos calcular la inercia rotacional en general?

Considera el objeto que se muestra en la Figura 3. ¿Cuál es su inercia rotacional?

Solución

Al sumar todos los términos $m{r}^2$‍ para cada masa,

$\begin{array}{rl}I& =(1\mathrm{kg}\cdot 1^2{\mathrm{m}}^2)+(1\mathrm{kg}\cdot {1.5}^2{\mathrm{m}}^2)+(1\mathrm{kg}\cdot {0.75}^2{\mathrm{m}}^2)+(2\mathrm{kg}\cdot {0.75}^2{\mathrm{m}}^2)\\ & =4.9375\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\end{array}$‍.

Considera el caso alternativo de la Figura 3(b) del mismo sistema giratorio sobre un eje diferente. ¿Cuál esperarías que fuera la inercia rotacional en este caso?

Solución

Aunque el sistema de masas es el mismo que antes, ahora rotan sobre un eje mucho más cercano. Debido a la dependencia en el cuadrado de la distancia al eje de rotación, se esperaría que la inercia rotacional sea significativamente menor.

$\begin{array}{rl}I& =(2\mathrm{kg}\cdot {0.5}^2{\mathrm{m}}^2)+(1\mathrm{kg}\cdot {0.5}^2{\mathrm{m}}^2)+(1\mathrm{kg}\cdot {0.5}^2{\mathrm{m}}^2)+(1\mathrm{kg}\cdot {0.5}^2{\mathrm{m}}^2)\\ & =1.25\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\end{array}$‍

¿Cómo podemos encontrar la inercia rotacional de formas complejas?

Supón que la forma que se muestra en la Figura 5 se hace al soldar tres discos de metal de $10\mathrm{mm}$‍ de grosor (cada uno con una masa $50\mathrm{kg}$‍) a un anillo de metal con masa de $100\mathrm{kg}$‍. Si gira alrededor de un eje central (hacia afuera de la página), ¿cuál es el momento de inercia del objeto?

Solución

Solución

Empezamos por encontrar la inercia rotacional de los cuatro componentes por separado.

Utilizando la ecuación que determinamos previamente para un cilindro hueco, podemos encontrar la inercia rotacional $I_b$‍ del disco grande. Este centroide de este componente ya coincide con el eje de rotación de la parte final, así que no necesitamos ningún tipo de corrección.

$\begin{array}{rl}{I}_b& =\frac{1}{2}m(r_i^2+r_o^2)\\ & =\frac{1}{2}(100\mathrm{kg})\cdot ({0.75}^2+1^2){\mathrm{m}}^2\\ & \simeq 78.125\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\end{array}$‍

Usando el mismo procedimiento para los discos más pequeños, por ahora centrados en sus propios ejes de rotación:

$\begin{array}{rl}{I}_s& =\frac{1}{2}m{r}_c^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot (50\cdot \mathrm{kg})(0.30\mathrm{m}{)}^2\\ & =2.25\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\end{array}$‍

Como cada uno de estos tres discos rotan sobre un punto a una distancia $d$‍ de sus respectivos centroides podemos utilizar el teorema de ejes paralelos para encontrar la inercia de rotación efectiva de $I_s^{\prime }$‍.

$d=\frac{1}{2}(1+0.75)=0.875\mathrm{m}$‍

$\begin{array}{rl}{I}_s^{\prime }& =I_s+m{d}^2\\ & =(2.25\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2)+(50\mathrm{kg})\cdot (0.875\mathrm{m}{)}^2\\ & \simeq 40.5\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\end{array}$‍

Como cada uno de los tres pequeños discos tienen el mismo radio desde el eje de rotación de la pieza, podemos tratarlos como una parte con tres veces la inercia rotacional. Por último, la inercia rotacional del objeto es:

$\begin{array}{rl}I& \simeq 78+3\cdot 40.5\\ & \simeq 200\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\end{array}$‍

¿En la física, en qué otras partes aparece la inercia rotacional?